北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷

高三数学（文科） 2012.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

9．函数的定义域是______.

10．双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是______．

11．若曲线在原点处的切线方程是，则实数______．

12．在△中，三个内角，，的对边分别为，，．若，，

，则______．

13．已知是公比为的等比数列，若，则 ； ______．

14．设，不等式组所表示的平面区域是．给出下列三个结论：

① 当时，的面积为；

②，使是直角三角形区域；

③ 设点,对于有．

其中，所有正确结论的序号是______．

三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15.（本小题满分13分）

已知函数，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的最大值和最小值.

16.（本小题满分13分）

某种零件按质量标准分为五个等级.现从一批该零件中随机抽取个，对其等

级进行统计分析，得到频率分布表如下：

（Ⅰ）在抽取的个零件中，等级为的恰有个，求；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为和的所有零件中，任意抽取个，求抽取的个零

件等级恰好相同的概率.

17．（本小题满分14分）

如图，正三棱柱的侧棱长和底面边长均为，是的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：∥平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．

18.（本小题满分13分）

已知函数，其中.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若在上的最大值是，求的值.

19.（本小题满分14分）

已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点

，求的取值范围.

20.（本小题满分13分）

已知数列.如果数列满足，，

其中，则称为的“衍生数列”.

（Ⅰ）写出数列的“衍生数列”；

（Ⅱ）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：；

（Ⅲ）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，….依次将数列，，，…的首项取出，构成数列.

证明：是等差数列.

北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末

高三数学（文科）参考答案及评分标准

2012.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1. C； 2. D； 3. B； 4. A； 5. D； 6. C ； 7. A； 8. A .

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.； 10.； 11.；

12.； 13.，； 14. ①、③.

注：13题第一问2分，第二问3分；14题多选、少选、错选均不给分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.

15.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：. ………………4分

（Ⅱ）解：. ………………8分

因为，所以. ………………9分

当，即时，的最大值为； ………………11分

当，即时，的最小值为. ………………13分

16.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由频率分布表得 ，

即. ………………2分

由抽取的个零件中，等级为的恰有个，

得. ………………4分

所以. ………………5分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，等级为的零件有个，记作；等级为的零件有个，

记作.

从中任意抽取个零件，所有可能的结果为：

共计种. ………………9分

记事件为“从零件中任取件，其等级相等”.

则包含的基本事件为共4个. ………………11分

故所求概率为. ………………13分

17.（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为是正三棱柱，

所以平面.

又平面，

所以. ………………3分

因为 △是正三角形，是的中点，

所以， ………………4分

所以平面. ………………5分

（Ⅱ）证明：连结，交于点，连结.

由是正三棱柱，

得 四边形为矩形，为的中点.

又为中点，所以为中位线，

所以∥， ………………8分

因为平面，平面，

所以∥平面. ………………10分

（Ⅲ）解：因为， ………………12分

所以. ………………14分

18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：. ………………3分

当时，，从而函数在上单调递增. ………………4分

当时，令，解得，舍去. ………………5分

此时，与的情况如下：

所以，的单调增区间是；单调减区间是.…………7分

（Ⅱ）① 当时，由（Ⅰ）得函数在上的最大值为.

令，得，这与矛盾，舍去. ………………9分

② 当时，，由（Ⅰ）得函数在上的最大值为.

令，得，这与矛盾，舍去. ………………10分

③ 当时，，由（Ⅰ）得函数在上的最大值为.

令，解得，适合. ………………12分

综上，当在上的最大值是时，. ………………13分

19.（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距是.依题意，得. ………………1分

因为椭圆的离心率为，

所以，. ………………3分

故椭圆的方程为. ………………4分

（Ⅱ）解：当轴时，显然. ………………5分

当与轴不垂直时，可设直线的方程为.

由消去整理得.

………………7分

设，线段的中点为.

则. ………………8分

所以，.

线段的垂直平分线方程为.

在上述方程中令，得. ………………10分

当时，；当时，.

所以，或. ………………12分

综上，的取值范围是. ………………13分

20.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：. ………………3分

（Ⅱ）证明： 因为，

，

，

……

，

由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得

即，. ………………8分

（Ⅲ）证明：对于数列及其“衍生数列”，

因为，

，

，

……

，

由于为奇数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，

相加得

即.

设数列的“衍生数列”为，

因为，，

所以， 即成等差数列. ………………12分

同理可证，也成等差数列.

从而是等差数列. ………………13分

北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷（数学文）