2020—2021学年高三年级模拟考试（人教版）

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一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卷的相应区域答题）

1.已知复数z满足（1+i）•z＝3﹣i，则|z|＝（　　）

A．5 B．3 C． D．

【解答】解：由（1+i）•z＝3﹣i，得z＝，

∴|z|＝||＝．

故选：C．

【知识点】复数的模

2.设U＝R，A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|x≤1}，则A∩（∁UB）＝（　　）

A．{x|0＜x≤4} B．{x|1≤x＜4} C．{x|0＜x＜4} D．{x|1＜x＜4}

【解答】解：集合A＝{x|x2﹣4x＜0}＝{x|0＜x＜4}，

∵U＝R，B＝{x|x≤1}，

∴∁UB＝{x|x＞1}，

∴A∩（∁UB）＝{x|1＜x＜4}，

故选：D．

【知识点】交、并、补集的混合运算

3.已知a＝20.3，b＝0.32，c＝log0.32，则（　　）

A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a

【解答】解：∵a＝20.3＞20＝1，

0＜b＝0.32＜0.30＝1，

c＝log0.32＜log0.31＝0，

∴c＜b＜a．

故选：D．

【知识点】对数值大小的比较

4.函数的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

【解答】解：f（﹣x）＝＝＝﹣f（x）则函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B．

当x＞0在0的右侧，当x→0，f（x）＞0，排除D，

故选：C．

【知识点】函数的图象与图象的变换

5.裴波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多•裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，

∴数列{an}的前40项为：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，

10946，17711，28657，46368，75025，121393，196418，317811，514229，832040，1346269，

2178309，3524578，5702887，9227465，14930352，24157817，39088169，63245986，10334155，

其中能被3整除的有10个，分别为：

3，21，144，987，6765，46368，317811，1346269，2178309，14930352．

∴从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是P＝．

故选：A．

【知识点】古典概型及其概率计算公式

6.将向量绕原点O顺时针方向旋转75°得到，则＝（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：将向量绕原点O顺时针方向旋转75°得到，

设＝（x，y），则x＝＝，y＝＝﹣．

∴＝（，﹣）．

故选：C．

【知识点】两角和与差的三角函数

7.已知数列{an}满足2a1+22a2+…+2nan＝n（n∈N*），数列的前n项和为Sn，则S2019＝（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵2a1+22a2+…+2nan＝n，

∴n＝1时，2a1＝1，解得，

n≥2时，2a1+22a2+…+2n﹣1an﹣1＝n﹣1，

两式相减，得：2nan＝1，∴，

∴＝＝＝，

∴数列的前n项和：

Sn＝（1﹣）+（）+（）+…+（）＝1﹣＝，

∴S2019＝．

故选：A．

【知识点】数列的求和

8.已知函数f（x）在R上满足f（4﹣x）＝2f（x）﹣2x2+5x，则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是（　　）

A．y＝﹣x B．y＝x﹣4 C．y＝3x﹣8 D．y＝5x﹣12

【解答】解：f（4﹣x）＝2f（x）﹣2x2+5x，①

把4﹣x替换成x，得f（x）＝2f（4﹣x）﹣2（4﹣x）2+5（4﹣x）＝2f（4﹣x）﹣2x2+11x﹣12，②

①代入②，得f（x）＝2x2﹣7x+4，

f'（x）＝4x﹣7，f'（2）＝1，f（2）＝8﹣14+4＝﹣2，

故曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝（x﹣2）﹣2＝x﹣4，

即y＝x﹣4，

故选：B．

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

9.函数在上单调递增，且图象关于x＝﹣π对称，则ω的值为（　　）

A． B． C．2 D．

【解答】解：要使函数的递增，

则，化简得：，

已知在单增，所以．

又因为图象关于x＝﹣π对称，，所以，

因为ω＞0，此时k＝﹣1，所以，

故选：A．

【知识点】正弦函数的图象

10.如图，半径为6的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥高之差的绝对值为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【解答】】解：设球的半径为R，圆锥底面半径为r，上面圆锥的高为h，则下面圆锥的高为2R﹣h，

在△OO1C中，有R2＝r2+（R﹣h）2，得r2＝2Rh﹣h2．

两个圆锥体积和为V1＝＝（2Rh﹣h2）

球的体积V2＝．

由题意，＝＝．

所以4h2﹣8Rh+3R2＝0，即h＝．

所以下面的圆锥的高为．

则这两个圆锥高之差的绝对值为||＝R＝6．

故选：C．

【知识点】球的体积和表面积

11.已知函数f（x）＝ln|x|﹣a|x|+有4个零点，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0，e2） B．（﹣∞，e2） C． D．

【解答】解：由题意，可知|x|＞0，

令t＝|x|，则t＞0．

故y＝lnt﹣at+，

∵函数f（x）＝ln|x|﹣a|x|+有4个零点，

∴y＝lnt﹣at+有2个零点．

即曲线y＝lnt与直线y＝at﹣有2个交点．

根据题意，画图如下：

则直线在y＝﹣与直线y＝at﹣与曲线y＝lnt相切之间即有2个交点．

①当直线在y＝﹣时，a＝0；

②当直线y＝at﹣与曲线y＝lnt相切时，设切点为（t0，y0）．

对于曲线y＝lnt：y′＝，＝．

∴曲线y＝lnt在切点（t0，y0）的切线方程为：

y﹣y0＝（t﹣t0），

整理，得y＝t﹣1+lnt0，

∴﹣1+lnt0＝﹣，解得t0＝．

∴a＝＝＝．

∴实数a的取值范围为（0，）．

故选：C．

【知识点】函数的零点与方程根的关系

12.如图，F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为双曲线Γ：＝1（a，b＞0）的左、右焦点，过点F1作直线l，使直线l与圆（x﹣c）2+y2＝r2相切于点P，设直线l交双曲线Γ的左右两支分别于A、B两点（A、B位于线段F1P上），若|F1A|：|AB|：|BP|＝2：2：1，则双曲线Γ的离心率为（　　）

A．5 B． C． D．

【解答】解：由|F1A|：|AB|：|BP|＝2：2：1，可设|BP|＝t，|AB|＝2t，|F1A|＝2t，

由双曲线的定义可得|F2B|＝|F1B|﹣2a＝4t﹣2a，

|F2A|＝|F1A|+2a＝2t+2a，

直线l与圆（x﹣c）2+y2＝r2相切于P，可得|PF2|＝r，且∠F1PF2＝90°，

在直角三角形PBF2中，t2+r2＝（4t﹣2a）2，

在直角三角形PAF2中，9t2+r2＝（2t+2a）2，

上面两式消去r，可得8t2＝6t•（4a﹣2t），

即有t＝a，可得r＝a，

在直角三角形F1PF2中，可得25t2+r2＝4c2，

即为36a2+a2＝4c2，

化为e＝＝．

故选：B．

【知识点】双曲线的性质

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请在答题卷的相应区域答题）

13.已知函数f（x）＝则f（f（﹣1））＝　　．

【解答】解：∵函数f（x）＝，

∴f（﹣1）＝（）﹣1﹣1＝1，

∴f（f（﹣1））＝f（1）＝2×12﹣ln1＝2．

故答案为：2．

【知识点】函数的值

14.已知实数x，y满足约束条件：，则z＝2﹣2x+y的最大值为　　　　　　．

【解答】解：由实数x，y满足约束条件：，作出可行域如图，则z＝2﹣2x+y的最大值就是u＝2x﹣y的最小值时取得．

联立，解得A（1，1），

化目标函数u＝﹣2x+y为y＝2x+u，

由图可知，当直线y＝2x+u过A时，直线在y轴上的截距最小，此时z有最大值为2﹣2+1＝．

故答案为：．

【知识点】简单线性规划

15.函数y＝+1与函数y＝k（x﹣2）的图象有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是　　﹣　　　　　﹣　　．

【解答】解：由题意，函数y＝+1可变形为x2+（y﹣1）2＝1．

∵1﹣x2≥0，∴﹣1≤x≤1，而y≥1．

∴函数y＝+1的函数图象为圆x2+（y﹣1）2＝1的上半部分．

又∵函数y＝k（x﹣2）表示过定点（2，0）的直线，

根据题意，画图如下：

∵图象有两个不同的公共点，

∴直线应在图中两条之间之间，

①当直线经过点（1，1）时，k＝＝﹣1；

②当直线与曲线相切时，

联立，

整理，得（k2+1）x2﹣2k（2k+1）x+4k（k+1）＝0，

∴△＝4k2（2k+1）2﹣4•（k2+1）•4k（k+1）＝0，

解得k＝﹣．

实数k的取值范围为：（﹣，﹣1]．

故答案为：（﹣，﹣1]．

【知识点】函数的零点与方程根的关系

16.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是AD的中点，动点P在底面正方形ABCD内（不包括边界），若B1P∥平面A1BM，则C1P长度的取值范围是　　　　　　．

【解答】解：取BC中点N，连结B1D，B1N，DN，作CO⊥DN，连结C1O，

∵平面B1DN∥平面A1BM，

∴点P在底面ABCD内的轨迹是线段DN（动点P在底面正方形ABCD内，不包括边界，故不含点N和点D），

在△C1DN中，C1D＝，DN＝C1N＝＝，

∴＝＝，

过C1O⊥DN，则当P与O重合时，C1P长度取最小值，

∴C1P长度的最小值为C1O＝＝，

当P与D重合时，C1P长度取最大值，

∴C1P长度的最大值为C1D＝，

∵P与D不重合，∴C1P长度的取值范围是[，）．

故答案为：[，）．

【知识点】点、线、面间的距离计算

三、解答题（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在答题卷的相应区域答题）

17.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，

（1）求角C的大小；

（2）若c＝3，求a+b的取值范围．

【解答】解：（1）由，

则，可得：a2+b2﹣c2＝ab，

所以：，

而C∈（0，π），

故．

（2）由a2+b2﹣c2＝ab，且c＝3，

可得：（a+b）2﹣2ab﹣9＝ab，

可得：，

可得：（a+b）2≤36，

所以a+b≤6，

又a+b＞c＝3，

所以a+b的取值范围是（3，6]．

【知识点】正弦定理、余弦定理

18.田忌赛马是《史记》中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马，孙膑发也们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等．于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略：比赛即将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马，从而使田忌赢得公子们许多赌注．假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示：

比赛规则规定：一次比由三场赛马组成，每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同，三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者．

（1）如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；

（2）如果比赛约定，只能同等级马对战，每次比赛赌注1000金，即胜利者赢得对方1000金，每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望．

【解答】解：（1）记事件A：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜．

对于事件A，三次比赛中，由于第三场必输，则前两次比赛中田忌都胜．

因此，P（A）＝0.8×0.9＝0.72；

（2）设田忌在每次比赛所得奖金为随机变量ξ，则随机变量ξ的可能取值为﹣1000和1000，

若比赛一次，田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜、负胜胜、胜负胜、胜胜负，

设比赛一次，田忌获胜的概率为P，则．

随机变量ξ的分布列如下表所示：

所以，．

因此，田忌一年赛马获利的数学期望为﹣100×12＝﹣1200金．

【知识点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式、离散型随机变量的期望与方差

19.已知C是以AB为直径的圆周上一点，∠ABC＝，PA⊥平面ABC．

（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若异面直线PB与AC所成的为，求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．

【解答】（1）证明：因为AB为圆的直径，所以AC⊥BC，

又PA⊥平面ABC，而BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，

又AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，

而BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC．

（2）解法1：建系如图所示，令AB＝2t，而，则，，

则A（0，0，0），B（0，2t，0），，令P（0，0，h）（h＞0）

所以，，

因为异面直线PB与AC所成的角为，

故，解得

令平面PBC的一个法向量为，

而，

由，，所以

由，所以，即

而平面PAB的一个法向量为

所以．

解法2：过B作AC的平行线BM交圆于M，连接PM，AM，所以直线PB与AC所成的角即为PB与BM所成的角，

因为AB为圆的直径，所以AM⊥BM，

又PA⊥平面ABC，而BM⊂平面ABC，所以PA⊥BM

又AM∩PA＝A，所以BM⊥平面PAM

而PM⊂平面PAM，所以BM⊥PM，则

令AB＝2t，且所以，AM＝BC＝t，，，

过A作AN⊥PC交PC于N，过A作AQ⊥PB交PB于Q，连接QN，由三垂线定理知QN⊥PB，

所以∠AQN即为二面角C﹣PB﹣A的平面角，

，，，

即为二面角C﹣PB﹣A的余弦值为．

【知识点】二面角的平面角及求法、平面与平面垂直

20.已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，过点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设椭圆的右焦点为F，定点P（2，0），过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A，B两点，以线段AP为直径的圆与直线x＝2的另一个交点为Q，证明：直线BQ恒过一定点，并求出该定点的坐标．

【解答】解：（1）由题知解得a2＝2，b2＝1，

所以椭圆C的方程为．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）因为直线l的斜率不为零，令l的方程为：x＝my+1

由得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，

则，，

因为以AP为直径的圆与直线x＝2的另一个交点为Q，所以AQ⊥PQ，则Q（2，y1）

则，故BQ的方程为：，

由椭圆的对称性，则定点必在x轴上，所以令y＝0，

则，

而，，，

所以，

故直线BQ恒过定点，且定点为．

【知识点】直线与椭圆的综合

21.函数f（x）＝+（1﹣a）x﹣lnx．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）在函数f（x）的图象上取A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的点，令直线AB的斜率为k，则在函数的图象上是否存在点P（x0，y0），且x0＝，使得k＝f′（x0）？若存在，求A，B两点的坐标，若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）由题知定义域为（0，+∞），，

①当a＜﹣1时，，

令f′（x）＞0，解得，f′（x）＜0，解得，

即函数f（x）在上单调递增，在 及（1，+∞）上单调递减；

②当a＝﹣1时，，在（0，+∞）上，

即函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；

③当﹣1＜a＜0时，，

令f′（x）＞0，解得，f′（x）＜0，解得

即函数f（x）在上单调递增，在 （0，1）及上单调递减；

④当a≥0时，

令f′（x）＞0，解得x∈（1，+∞），f′（x）＜0，解得x∈（0，1），

即函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，在 （0，1）上单调递减；

综上所述：

当a＜﹣1时，增区间为，减区间为及（1，+∞）；

当a＝﹣1时，减区间为（0，+∞）；

当﹣1＜a＜0时，增区间为，减区间为（0，1）及；

当a≥0时，减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）；

（2）假设存在，即满足，

因为已知A（x1，y1），B（x2，y2）不妨令0＜x1＜x2，

则＝，

而由

得存在，也就是证存在，

只要证存在，令，故转化为存在，

即需要证明令，

则有，故g（t）在t＞1上单调递增，所以g（t）＞g（1）＝2，故不存在．

【知识点】利用导数研究函数的单调性

22.在直角坐标系xOy中，l是过定点P（1，1）且倾斜角为α的直线．以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．

（1）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）若曲线C与直线l相交于M，N两点，求|PM|+|PN|的取值范围．

【解答】解：（1）∵l是过定点P（1，1）且倾斜角为α的直线．

∴l的参数方程：（t为参数），

∵曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，即ρ2＝4ρcosθ，

∴曲线C的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2＝4．

（2）将l的参数方程代入曲线C的方程得t2+（2sinα﹣2cosα）t﹣2＝0①

由于△＝（2sinα﹣2cosα）2+8＞0恒成立，

∴方程①有两个不等实根t1、t2，

由于t1t2＝﹣2＜0，∴t1、t2异号，

则．

【知识点】简单曲线的极坐标方程

23.已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣2|

（1）解不等式f（x）＜5；

（2）若f（x）≥a2﹣3a﹣恒成立，求a的取值范围．

【解答】解：（1）当，则﹣2x﹣1﹣x+2＜5⇒，

当时，则2x+1﹣x+2＜5⇒，

当x＞2时，则2x+1+x﹣2＜5，此时无解，

故解集为 ；

（2）由（1）知，

所以当时，y的最小值为，

则，即a2﹣3a﹣4≤0，

所以a∈[﹣1，4]．

【知识点】不等式恒成立的问题、绝对值不等式的解法

2020—2021学年高三年级模拟测试卷（人教版）