高中高一数学必修1知识点总结（3）

第一章 集合与函数（3）

一、函数表示法

1、三种表示方法

（1）解析法：必须注明函数的定义域；

（2）列表法：选取的自变量的值要有代表性，应能反映定义域的特征．

（3）图象法：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等。注意判断一个图形是否是函数图象的依据；解析法便于算出函数的精确值。列表法便于查出函数值。图象法便于了解函数的性质。

2、关于函数的解析式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)

2、函数的图像

1、定义：

在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．

C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上，即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }。图象C常常是一条光滑的连续曲线(或直线),但也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

2、画法：

A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换。

3、常用的函数的图像

应熟悉并熟练地作出一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数及三个三角函数的图像。

4、作用：

1、直观的看出函数的性质；

2、利用数形结合的方法分析解题的思路，提高解题的速度。

3、往往可由图像发现解题中的错误。

二、分段函数和复合函数

1、分段函数

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

注意：

（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

2、复合函数

如果函数y=f(u) (u∈M),u=g(x) (x∈A),则函数y=f[g(x)]=F(x)（定义域为 ） 称为f、g的复合函数。

两个函数能复合成为一个复合函数的充要条件是：外层函数的定义域与内层函数的值域之交集非空。

三、函数的几何性质

1、函数的单调性

(1)概念

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x12时，都有f(x1)2)（f(x1) >f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增（减）函数，区间D称为y=f(x)的单调增（减）区间。

注意：

① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

② 必须是对于区间D内自变量的任意两个值x1，x2；当x12时，都有f(x1)2) 。

(2)几何意义

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3)函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

步骤：①任取x1、x2∈D，且x12；②作差f(x1)－f(x2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④ 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤定论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法

从图象上看升降，从左到右上升者为增函数，下降者为减函数。

(C)复合函数的单调性

   两个函数复合而成的复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性之间的关系是：同增异减。

注意：

函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集.

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