2008—2012河南中考数学几何压轴题

1．（08河南）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形．求点C的坐标．

word/media/image1.emf

2. (09河南)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.

(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；

②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；

(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．

3，（2010河南）（1)操作发现

如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE．且点G在矩形ABCD内部.小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？请说明理由.

(2)问题解决

保持(1)中的条件不变，若DC=2DF，求word/media/image4.gif的值.

(3)类比探究

保持(1)中的条件不变，若DC=n·DF，求word/media/image4.gif的值.

4.（2011河南）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5word/media/image5.gif，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.（1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.

5. （2012河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.

原题：如图1，在word/media/image7.wmf中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若word/media/image8.wmf，求word/media/image9.wmf的值。

（1）尝试探究

在图1中，过点E作word/media/image10.wmf交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ，word/media/image9.wmf的值是

（2）类比延伸

如图2，在原题的条件下，若word/media/image11.wmf则word/media/image9.wmf的值是 （用含word/media/image12.wmf的代数式表示），试写出解答过程。

（3）拓展迁移

如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若word/media/image14.wmf，则word/media/image15.wmf的值是 （用含word/media/image16.wmf的代数式表示）.

2. （2009河南）（1）①30，1；②60，1.5；

（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.

∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.

∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形.

在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,∴∠A=300.

∴AB=4,AC=2word/media/image5.gif. ∴AO=word/media/image18.gif=word/media/image5.gif .

在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.

∴BD=2.∴BD=BC.

又∵四边形EDBC是平行四边形， ∴四边形EDBC是菱形

3. （2010河南）（1）同意.连接EF，则∠EGF = ∠D=90°,EG = AE = ED,EF = EF,

∴Rt△EGF ≌ Rt△EDF. ∴GF = DF.

（2）由（1）知，GF = DF.设DF = x ，BC = y ，则有GF = x，AD = y.

∵DC = 2DF, ∴CF = x ,DC = AB = BG = 2x , ∴BF = BG + GF = 3x.

在Rt△BCF中，BC2+CF2 = BF2 .即y2+x2=(3x)2.

∴y = word/media/image19.gifx , ∴ word/media/image4.gif=word/media/image20.gif=word/media/image21.gif

（3）由（1）知，GF = DF.设DF = x，BC = y，则有GF = x，AD = y.

∵DC = n·DF, ∴ DC = AB = BG = nx.

∴CF = (n-1)x，BF = BG + GF =（n+1）x.

在Rt△BCF中，BC2+CF2 = BF2，即y2+[(n-1)x]2=[(n+1)x]2

∴ y = 2word/media/image22.gifx, ∴word/media/image4.gif=word/media/image23.gif=word/media/image24.gif (或word/media/image25.gif)

4.（2011河南）（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t.

又∵AE=t，∴AE=DF.…………………………………………………………………………2分

（2）能.理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.

又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形.…………………………………………………3分

∵AB=BC·tan30°=word/media/image27.gifword/media/image28.gif

若使word/media/image29.gif为菱形，则需word/media/image30.gif

即当word/media/image31.gif时，四边形AEFD为菱形.……………………………………………………5分

（3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形.

在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE.即10-2t=2t，word/media/image33.gif.………………7分

②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，∴∠ADE=∠DEF=90°.

∵∠A=90°-∠C=60°，∴AD=AE·cos60°.

即word/media/image34.gif…………………………………………………………………………9分

③∠EFD=90°时，此种情况不存在.

综上所述，当word/media/image33.gif或4时，△DEF为直角三角形.……………………………………10分

5.（2012河南）（1）word/media/image35.wmf

(2)word/media/image36.wmf 作EH∥AB交BG于点H，则word/media/image37.wmf

∴word/media/image38.wmf

∵AB=CD，∴word/media/image39.wmf

EH∥AB∥CD，∴word/media/image40.wmf

∴word/media/image41.wmf，∴CG=2EH

∴word/media/image42.wmf

（3）word/media/image43.wmf

【提示】过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H。

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