广东省韶关市2016年高三第一次模拟考试文科数学(含答案)

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韶关市2016届高三调研测试数学（文科）试题
第Ⅰ卷
一、本大题共12小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．(1设全集为R,函数f(x2x的定义域为M,则CRM为（）
A．(2,
B．(,2
C．(,2]
D．[2,

（2）已知点A(1,0,B(1,3，向量a(2k1,2，若ABa，则实数k的值为(
A．2B．1C．1D．2（3）若复数z满足(1izi，则复数z的模为（）
A．
12
B．
22
C．2D．2
（4）在某次测量中得到的A样本数据如下：41,44,45,51,43,49，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A，B两样本的下列数据特征对应相同的是
A．众数B．中位数C．平均数D．标准差
（5）过抛物线y4x的焦点F的直线l交该抛物线于A,B两点，点A在第一象限，若
2
|AF|3，则直线l的斜率为（）
A．1B．2C．3D．22

（6）如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形.如果三棱柱的体积为123，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为
A．12B．14C．16D．18
（7）已知{an}为等比数列，设Sn为{an}的前n项和，若Sn2an1，则a6（）A．32B．31C．64D．62（8）如图给出的是计算1
i=1开始S=0
111L的值的352015
i=i+2
程序框图，其中判断框内应填入的是（）
A．i2012B．i2014C．i2016D．i2018
SS
1
i
是
否输出S
x2a,x1
（9）已知实数a0，函数f(x，
x,x1
2
结束


若f(1af(1a，则实数a的取值范围是（）A.(,2]B．[2,1]
C．[1,0D．(,0
（10）已知函数f(xsin(x(0,0的最小正周期是，将函数f(x图象向左平移（）A.在区间[C.在区间[


个单位长度后所得的函数图象过点P(0,1，则函数f(xsin(x3

,]上单调递减B.在区间[,]上单调递增6363,]上单调递减D.在区间[,]上单调递增3636

（11）某几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形，侧视图为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其外接球的表面积为（）A．5B．
20
328
．C．8D．3
（12）已知定义在R上的函数yf(x满足：函数yf(x1的图象关于直线x1对称，
,0f,x(xf且当x(
'
x'((f(x是函数f(x的导函数成立.若
1111
a(sinf(sin，b(ln2f(ln2,c(log1f(log1,则a,b,c的大小关系是
222424
（）
A．abc
B．bacC．cabD．acb
第Ⅱ卷
本卷包括必考题与选考题两部分，第（13）至（21）题是必考题，每个试题考生必须做
答，第（22）至（24）是选考题，考生根据要求做答。二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．（13）等差数列{an}中，a21,a69,则{an}的前7项和S7=.
xy50

（14）已知实数x,y满足约束条件xy0，则z2x4y的最大值为.
y0
（15）函数f(xx6x9x10的零点个数为个.
（16）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂
3
2



AB、OB成等差数列，且BF与FA同直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知OA、
向．则双曲线的离心率为______________.

三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
（17）（本小题满分12分）已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边，若asinC2sinA.（Ⅰ）求c的值;
（Ⅱ）若a3，b3,求ABC的面积.

（18）（本小题满分12分）
据统计，2015年“双11”天猫总成交金额突破912亿元。某购物网站为优化营销策略，对在11月11日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的1000名网购者（其中有女性800名，男性200名）进行抽样分析．采用根据性别分层抽样的方法从这1000名网购者中抽取100名进行分析，得到下表：（消费金额单位：元）
女性消费情况：
消费金额人数男性消费情况：消费金额人数
(0,2005
200,400400,600600,800[800,1000]
10
15
47
x
(0,2002
200,400400,600600,800
3
10
y
[800,1000]
2
（Ⅰ）计算x,y的值；在抽出的100名且消费金额在800,1000（单位：元）的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率；（Ⅱ）若消费金额不低于600元的网购者为
女士男士
“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，
网购达人
根据以上统计数据填写右面22列联表，并回答能
非网购达人
否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否
总计
为‘网购达人’与性别有关?”附：
总计
P(k2k00.10
k0
2
0.050.0255.024
0.0100.0056.6357.879
2.7063.841
n(adbc2
（k，其中nabcd）
(ab(cd(ac(bd



（19）（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD是矩形，AB1,AD
2,E是AD的中点，BE与AC交于点F,
G
GF平面ABCD.
（Ⅰ）求证：AF面BEG；
(Ⅱ若AFFG,求点E到平面ABG距离.


（20）（本小题满分12分）
A
B
C
F
D
E
x2y2
已知椭圆C:221(ab0的两焦点为F12,0,F2
ab

2,0，且过点Q(2,1

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P(0,2的直线l交椭圆于M,N两点,以线段MN为直径的圆恰好过原点，,求出直线l的方程;
（21）（本小题满分12分）已知函数f(xlnx.
（Ⅰ）求函数f(x的图象在x1处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得对任意的x(,，都有函数yf(x
12m
的图象在x
ex
g(x的图象的下方？若存在，请求出最大整数m的值；若不存在，请说理由.
x
（参考数据：ln20.6931，,ln31.0986,e1.6487,3e1.3956）.


请考生在第(22、(23、(24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AF是圆E切线,F是切点,割线ABCBM是圆E的直径，EF交AC于D，
AB
1
AC，EBC300,MC2.3
B
A
（Ⅰ）求线段AF的长；
（Ⅱ）求证：AD3ED.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
E
D
F
M
C
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线C1：
x4cost,x6cos,
（t为参数），C2：（为参数）.
y3sint,y2sin,
（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t

，Q为C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线2
C3:cos3sin823距离的最小值.

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数f(x|2x3||x1|.（Ⅰ）解不等式f(x4；
（Ⅱ）若存在x,1使不等式a1f(x成立，求实数a的取值范围.
3
2




韶关市2016届高三调研测试数学（文科）
参考解答和评分标准
一、选择题：，ABBDDCACBBDA(1【解析】解析：Mx|x2
CRM(2,，选A
→→
(2【解析】AB＝(2,3，∵AB⊥a，∴2(2k－1＋3×2＝0，∴k＝－1，∴选B.(3【解析】由已知z
i(1i1+i112
，选B.i,所以|z|
(1i(i12222
(4【解析】根据统计数字特征的意义，选D
(5【解析】由题可知焦点F(1,0，设点A(xA,yA,B(xB,yB，由|AF|3，则xA2,即A(2,22，故直线l斜率为22，选D
(6【解析】设圆柱的底面半径为R，三棱柱的底面边长为3R，由得R2，S圆柱侧2R2R16.选C
3
(3R22R1234
(7【解析】当n1时，a11，当n2时，an2an1an2n1，答案选A(8选C
(9【解析】当a0，1a1，f(1a(1aa1，1a1，
2
得a3a20解得f(1a(1a22aa24a1，由f(1af(1a
2a1所以，a[2,1]，选B
(10【解析】依题意，2,f(xsin(2x，平移后得到的函数是
ysin(2x
22
，其图象过（0，1）=1，因为0，所以，，所以，sin(33


6
，f(xsin(2x

6
，故选B
(11【解析】设外接球的球心O，E,M分别是BCD,ACD的外心，OE平面BCD，
A
OM平面ACD，则R2(22(
解得R
2
32
，3
DO
B
E
MF
C
287
，故S球表选D.
33


另解：设F是BC的中点，如图建立坐标系。则A(2,1,0
z
B(0,1,0,C(0,1,0,D(0,0,3
D
设O((x,y,z是球心，球的半径为r,由OAOBOCr得
(x22(y12z2x2(y12z2222222
(x2(y1zx(y1z222222(x2(y1zxy(z3
解得x1,y0,z
CO
A
x
F
By
712222
所以，rxy(z3
33
S球表
28
3
(12【解析】：因为函数yf(x1的图象关于直线x1对称，所以yf(x关于y轴对称，所以函数yxf(x为奇函数.因为[xf(x]'f(xxf'(x，所以当x(,0时，
[xf(x]'f(xxf'(x0，函数yxf(x单调递减，当x(0,时，函数yxf(x单
调递减.0sin
111111
，1ln2lne，log12，0sinln2log1，22222424
所以abc，选A.
二、填空题：
题号答案
13
14
15
16
3501
5
2
(13【解析】s7
7(a1a77(a2a6710
35222
xy50

(14【解析】实数x,y满足约束条件xy0对应的平面区域如
y0
图为ABO对应的三角形区域，当动直线z2x4y经过原点时，目标函数取得最大值为z=0.，
(15【解析】f(xx6x9x10，f'(x3x12x93(x1(x3，由此
3
2
2
10，所以方程可知函数的极大值为f(160，极小值为f(3x36x29x100的实根个数为1个.



OBmd，AB、OB成等差数列，(16【解析】因为OA、所以可设OAmd，ABm，
画出草图，如图，由勾股定理可得：(md2m2(md2得：d
1bABm4
m，tanAOF，tanAOBtan2AOF＝＝，4aOAmd3
b
a4b1
由倍角公式，解得：，则离心率e＝2
3ba2
1a
2
22c5ab＝＝．
a2a

三、解答题
(17解：(I在△ABC中，根据正弦定理，
于是c

ca
„„„„„„„„„„„„2分sinCsinA
2a
2„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分a
c2b2a25
„„„„„„„„6分(II在△ABC中，根据余弦定理，得cosA
2cb6
2
由于0A，所以sinA1cosA
11
„„„„„„„„„„8分6
所以SABC
1
bcsinA„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分2
11111
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分23
262
（18）解：（Ⅰ）依题意，女性应抽取80名，男性应抽取20名„„„„„„„„„„„„1分
x80(51015473„„„„„„„„„„„„„„„„„2分y20(231023„„„„„„„„„„„„„„„„3分
抽出的100名且消费金额在800,1000（单位：元）的网购者中有三位女性设为A,B,C；两位男性设为a,b，从5人中任选2人的基本事件有：
(A,B,(A,C,(A,a,(A,b,(B,C,(B,a,(B,b,(C,a,(C,b,(a,b共10
件„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分设“选出的两名网购者恰好是一男一女”为事件A事件A包含的基本事件有：


(A,a,(A,b,(B,a,(B,b,(C,a,(C,b共6件„„„„„„„„„„„„„5分P(A
63
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分105
（Ⅱ）22列联表如下表所示
网购达人非网购达人总计
女性男性
总计
503080515205545100

„„„„„„„„„„„„„„„„8分
n(adbc2
则k
(ab(cd(ac(bd
2
100(50153052„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分
802055459.091„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分9.0916.635且P(k26.6350.010„„„„„„„„„„„„„„„11分
答：在犯错误的概率不超过0.010的前提下可以认为“是否为‘网购达人’”与性别有关
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分（19）证法1：
∵四边形ABCD为矩形，∴AEF∽CBF，∴
AFEFAE1
„„„„„1分CFBFBC2
又∵矩形ABCD中，AB1,AD2，∴AE
62
2
,AC32
在RtBEA中，BE
AB2AE2
∴AF
2613
，BDBE„„„„„2分AC
3333
2
2
在ABF中，AFBF(
326
(21AB233

∴AFB90，即ACBE„„„„„4分
∵GF平面ABCD，AC平面ABCD∴ACGF„„„„„5分又∵BEGFF，BE,GF平面BCE∴AF平面BEG„„„„„6分证法2：（坐标法）证明KACKBE1，得ACBE，往下同证法1．


（2）在RtAGF中，AG
AF2GF2(
3236
(2
333
在RtBGF中，BG
BF2GF2(
623
(21„„„„„„„„„8分33
在ABG中，AG
6
，BGAB13
∴SABG
16305166
„„„„„„„„„„„„10分1(2
2366236
设点E到平面ABG的距离为d，则
11
SABGdSABFGF，„„„„„„„„„„„„11分33
123
1
SGF22330„„„„„„„„„„„„12分∴dABF
10SABG5
6

（20）解：(Ⅰ由题意可得
2aACBC

22


2
10
2

22

2
10„„„„„„„„2分
2
422
a2b2a2c2422.
x2y2
1.„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分椭圆的标准方程是
42
(Ⅱ由题意直线的斜率存在,可设直线l的方程为ykx2k0.设M,N两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2.
ykx2
联立方程:2„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分2
x2y4
消去y整理得,12k
8kx40
8k4
,xx有x1x2„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分1222
12k12k
若以MN为直径的圆恰好过原点,则OMON,所以x1x2y1y20,„„„„8分
所以,x1x2kx12kx220,
即1kx1x22kx1x240„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分
2

2
x
2



41k216k2
40所以,22
12k12k
84k2
0,„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分即2
12k
得k22,k2.
所以直线l的方程为y

2x2,或y2x2.
所以过P(0,2的直线l:y2x2使得以弦MN为直径的圆恰好过原点.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分（21）解：（1）因为f(x
1
，所以f(11，则所求切线的斜率为1，………………2分x
又f(1ln10，故所求切线的方程为yx1.„„„„„„„„„„„4分
1mex
（2）假设存在实数m满足题意，则不等式lnx对x(,恒成立.
2xx
1x
即mexlnx对x(,恒成立.„„„„„„„„„„„„„„„6分
2
xx
令h(xexlnx，则h(xelnx1，
1xx
令(xelnx1，则'(xe，„„„„„„„„„„„„7分
x
1
11
因为'(x在(,上单调递增，'(e220，'(1e10，且'(x的
22111x
图象在(,1上连续，所以存在x0(,1，使得'(x00，即e00，则
22x0
x0lnx0，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分
1
所以当x(,x0时，(x单调递减；当x(x0,时，(x单调递增，
2
11x
则(x取到最小值(x0e0lnx01x012x0110，
x0x0
1
所以h(x0，即h(x在区间(,内单调递增.„„„„„„„„„„11分
2
11
11112
所以mh(elne2ln21.99525，
2222
所以存在实数m满足题意，且最大整数m的值为1.„„„„„„„„„12分
（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲解：（Ⅰ）因为BM是圆E直径
所以,BCM90，„„„„„„„„„„„„1分
0
又MC2,EBC30，
0
A
BDH
EF
所以BC23，„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分又AB
M
C
1
AC,3


可知AB
1
BC3，所以AC33„„„„„„„„„„„„„3分2
根据切割线定理得：
AF2ABAC3339，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分
即AF3„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分（Ⅱ）过E作EHBC于H，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分
则EDH～ADF，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分从而有
EDEH
，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分ADAF
1
又由题意知CHBC3，EB2
2
所以EH1，„„„„„„„„„„„„„9分因此
ED1
，即AD3ED„„„„„„„„„„„„„10分AD3

（23）（本小题满分10分）
（Ⅰ）C1:(x42(y321,，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分
x2y2C2:1„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分
364
C1为圆心是(4,3，半径是1的圆.„„„„„„„„„„„„„„„3分C2为中心在坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是6，短半轴长是2的椭圆.
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

时，P(4,4，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分2
设Q(6cos,2sin
（Ⅱ）当t
则M(23cos,2sin，„„„„„„„„„„„„„„„6分
C3为直线x3y(8230，„„„„„„„„„„„„„„7分
M到C3的距离d
(23cos3(2sin(823
2

„„„„„„„„8分

3cos3sin6
2
23cos(6
6

233cos(
从而当cos(


6
„„„„„„„„„„„„„„„9分

6
1,时，d取得最小值33„„„„„„„„„„„„10分


（24）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）∵f(x|2x3||x1|.
3
3x2x2
3
f(xx4x1„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分
2
x13x2

33xx1x1
f(x4或2或„„„„„„„„„4分2
3x243x24x44x2或0x1或x1„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分
综上所述，不等式f(x4的解集为：,2(0,„„„„„„„„„6分（Ⅱ）存在x,1使不等式a1f(x成立a1(f(xmin
„„„„„„„7分
由（Ⅰ）知，x,1时，f(xx4
3
2
32
x
35
时，(f(xmin„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分2253
a1a„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分
22
∴实数a的取值范围为
3
,„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分2

广东省韶关市2016年高三第一次模拟考试文科数学(含答案)

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