参数方程的概念

教学目标：（1）通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

（2）分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

（3）能掌握消去参数的一些常用技巧：代人消参法、三角消参等；

重点难点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义

教学过程：1.问题提出：已知圆C的方程为，过点P1(1,0) 作圆C的任意弦，交圆C于另一点P2,求P1P2的中点M的轨迹方程.

书中列举了六种解法，其中解法六运用了什么方法求得M点的轨迹方程？此种方法是如何设置参数的，其几何意义是什么？

设M() ，由 ，消去k,得，因M与P1不重合，所以M点的轨迹方程为（）

解法六的关键是没有直接寻求中点M的轨迹方程,而是通过引入第三个变量k（直线的斜率），间接地求出了x与y的关系式，从而求得M点的轨迹方程.实际上方程（1）和（）（2）都表示同一个曲线，都是M点的轨迹方程.这两个方程是曲线方程的两种形式.

方程组（1）是曲线的参数方程，变数k是参数，方程（2）是曲线的普通方程.

（2）、抽象概括：参数方程的概念。

1、 曲线的参数方程

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数， (1) 并且对于t的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程.

联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数.

2、 求曲线的参数方程

求曲线参数方程一般程序：

(1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；

(2) 选参：选择合适的参数；

(3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x，y的关系

式，并由此分别解出用参数表示的x、y的表达式.

(4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程

3、 曲线的普通方程

相对与参数方程来说，把直接确定曲线C上任一点的坐标（x,y）的方程F（x,y）＝0叫做曲线C的普通方程.

4、 参数方程的几个基本问题

(1) 消去参数，把参数方程化为普通方程.

(2) 由普通方程化为参数方程.

(3) 利用参数求点的轨迹方程.

(4) 常见曲线的参数方程.

3、曲线的普通方程与曲线的参数方程的区别与联系

曲线的普通方程＝0是相对参数方程而言，它反映了坐标变量与y之间的直接联系；而参数方程， t是通过参数t反映坐标变量与y之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数，变数的个数比方程的个数多1；曲线的参数方程中，有三个变数两个方程，变数的个数比方程的个数多1个.从这个意义上讲，曲线的普通方程和参数方程是“一致”的.

参数方程 普通方程 ； 普通方程 参数方程

这时普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.

说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。

（2）参数是联系变量x，y的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

曲线的参数方程 （t为参数，t）是表示一条确定的曲线；

含参数的方程＝0却表示具有某一共同属性的曲线系，两者是有原则区别的.

（3）由此可以看出参数方程和普通方程是同一曲线的两种不同的表达形式.我们对参数方程并不陌生，在求轨迹方程的过程中，我们通过设参变量k,先求得曲线的参数方程再化为普通方程，进而求得轨迹方程.参数法是求轨迹方程的一种比较简捷、有效的方法.

例1、（课本第28页例1）已知曲线C的参数方程是(t为参数)（1）判断点(0,1), (5,4)与曲线C的位置关系；（2）已知点(6,a)在曲线C上，求a的值。

分析：只要把参数方程中的t消去化成关于x,y的方程问题易于解决。学生练习。

反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y的方程问题求解。

1、参数方程化普通方程

例2：化参数方程（t≥0,t为参数）为普通方程，说明方程的曲线是什么图形.

解: 由(2)解出t，得t=y－1，代入(1)中，得

(y≥1)即(y≥1)方程的曲线是顶点为(0,1),对称轴平行于x轴，开口向左的抛物线的一部分.

点拨：先由一个方程解出t，再代入另一个方程消去参数t,得到普通方程，这种方法是代入消参法.

例3：当tR时，参数方程（t为参数），表示的图形是（ ）

A 双曲线 B 椭圆 C 抛物线 D 圆

点拨：解法1使用了代数消元法，解法2观察方程（1）、（2）的“外形”很像三角函数中的万能公式，使用了三角消参法.

当x和y是t的有理整函数时，多用代入或加减消元法消去参数；

当x和y是t的有理分式函数时，也可以用代入消参法，但往往需要做些技巧性的处理.至于三角消参法，只在比较巧合的情况下使用.

例4：将下列方程化为普通方程：

(1) （为参数） (2) （t为参数）

解:(1)做＝(cos2+sin2+sin)－(1+sin)＝0

＝0，但由于，即0≤≤.

∴参数方程只表示抛物线的一部分，即（0≤≤）

(2)解方程组得(1) (2) (1)×(2)得＝1

从知≥1（提示应用均值定理）

所求的普通方程为＝1 (≥1)

点拨：(1)从方程组的结构看含绝对值，三角函数，通过平方去绝对值，利用三

角消参法化为普通方程；

(2)观察方程组的结构，先利用消元法，求出，,再消t.

方法总结：将参数方程化普通方程方法：（基本思想是消参）

(1)代入消参法； (2)代数变换法（＋，－，×，÷，乘方）

(3)三角消参法

注意：参数取值范围对取值范围的限制.(参数方程与普通方程的等价性）

2、普通方程化参数方程

例5：设，为参数，化方程为参数方程。

解：消y得

∴

由于R，所以和所确定的取值范围是一致的，故主要任选其一构成参数方程即可.

所求的参数方程为R

例6：以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数，将方程4＝16化成参数的方程是 .

解：设M()是椭圆4＝16上异于A的任意一点，则，

(≠0）以代入椭圆方程，得=0,

∴另有点

∴所求椭圆的参数方程为 或

方法总结：将普通方程化参数方程方法：

已知

四）基础知识测试：

1、曲线（t为参数）与轴交点的坐标是（ ）

A （1，4） B （，0） C （1，－3） D （±，0）

2、在曲线（t为参数）上的点是（ ）

A （0，2） B （－1，6） C （1，3） D （3，4）

3、参数方程（为参数）所表示的曲线是（ ）

A 直线 B 抛物线 C 椭圆 D 双曲线

4、与参数方程（t为参数, tR）表示同一曲线的方程是（ ）

A （t为参数, tR） B （t为参数, tR）

C （为参数, R） D （t为参数, tR）

5、曲线（0<<1）的参数方程是（ ）

A （为参数, ,kZ） B （t为参数, t≠0）

C（为参数,为锐角）

D （为参数, , kZ）

小结：1．本节学习的数学知识；2、本节学习的数学方法。学生自我反思、教师引导，抓住重点知识和方法共同小结归纳、进一步深化理解。

高中数学 参数方程的概念参数方程的概念教案 北师大版选修4