广东省广州市越秀区培正中学2020-2021学年九年级第二次月考数学试题-

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广东省广州市越秀区培正中学2020-2021学年九年级第二次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（ ） A．任意实数
B．m≠1 C．m≠﹣1 D．m＞1 2．下面图形中，是中心对称图形的是（ ）. A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中，点P(3,4关于原点对称的点的坐标是（ ） A．(3,4
B．(3,4
C．(4,3
D．(3,4
4．下列事件中是不可能事件的是（ ） A．三角形内角和小于180° C．买体育彩票中奖
B．两实数之和为正
D．抛一枚硬币2次都正面朝上
5．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（ ） A．1：2 6．把抛物线y（ ）
A．yx12 C．y(x122
2B．1：5 C．1：100 D．1：10 x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为B．yx12 D．yx12
227．如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，以点C为圆心，以CA为半径作⊙C，则△ABC斜边的中点D与⊙C的位置关系是（ ）

A．点D在⊙C上 B．点D在⊙C内

C．点D在⊙C外 D．不能确定
8．今年“十一”长假某湿地公园迎来旅游高峰，第一天的游客人数是1.2万人，第三天的游客人数为2.3万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．2.3 （1+x）2=1.2 B．1.2（1+x）2=2.3 C．1.2（1﹣x）2=2.3 D．1.2+1.2（1+x）+1.2（1+x）2=2.3 9．（2011•重庆）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（ ）

A．60° B．50° C．40° D．30°
10．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是(


A．﹣4＜P＜0
二、填空题
B．﹣4＜P＜﹣2 C．﹣2＜P＜0 D．﹣1＜P＜0 11．在一个有15万人的小镇，随机调查了1000人，其中200人会在日常生活中进行垃圾分类，那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是_____． 12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），AB⊥x轴于点B，以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的2倍得到△OA1B1，且点A1在第二象限，则点A1的坐标为_____．

13．圆锥的底面半径为4cm，母线长为12cm，则该圆锥的侧面积为 cm2．

14．已知方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则它的另一个根是_____．
15．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则其对称轴方程是_____，方程x2+bx+c＝0的解是_____．

16．如图，AB=AC，∠CAB=90°，∠ADC=45°，AD=1，CD=3，则BD=___．


三、解答题 17．解方程 （1）x2+4x﹣5＝0 （2）（x﹣3）（x+3）＝2x+6．
18．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到A1OB1． （1）画出旋转后的图形； （2）点A1的坐标为 ；
（3）求线段OB在旋转过程中所扫过的图形面积（写过程）．

19．某校九年级（1）班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计如表所示： 自选项目 立定跳远
人数
b 频率
0.18
三级蛙跳 一分钟跳绳 投掷实心球 推铅球 合计

（1）求a，b的值；
12 8 16 5 50 0.24 a 0.32 0.10 1 （2）若该校九年级共有400名学生，试估计年级选择“一分钟跳绳”项目的总人数； （3）在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生，为了了解学生的训练效果，从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中至少有一名女生的概率．
20．已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2． （1）求实数a的取值范围； （2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．
21．如图所示，在▱ABCD中，AE：EB＝1：2． （1）求△AEF与△CDF的周长比； （2）如果S△AEF＝6cm2，求S△CDF和S△ADF．

22．如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD，墙长24m．设AB长为x m，矩形的面积为S m2． （1）写出S与x的函数关系式；
（2）当AB长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？ （3）当花圃的面积为150m2时，AB长为多少米？

23．已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，E为BC边中点．

（1）尺规作图：以AC为直径，作⊙O，交AB于点D（保留作图痕迹，不需写作法）． （2）连结DE，求证：DE为⊙O的切线； （3）若AC＝5，DE＝15，求BD的长．
8
24．如图所示抛物线yax2bxc过点A1,0，点C0,3，且OBOC （1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D,E在直线x1上的两个动点，且DE1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，求点P的坐标.
25．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆上．
（1）当正方形的顶点F也在半圆弧上时，半圆的半径与正方形边长的比为 ； （2）当正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆⊙O的半径r＝4，求半圆的直径AB的值；
（3）若半圆的半径为R，直接写出⊙O半径r可取得的最大值．




参考答案
1．C 【分析】
本题根据一元二次方程的定义求解：一元二次方程必须满足二次项系数不为0，所以m+1≠0，即可求得m的值． 【详解】
解：根据一元二次方程的定义得：m+1≠0，即m≠﹣1， 故选：C． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，掌握定义是解题关键． 2．D 【解析】
试题分析：根据中心对称图形的概念可求解．A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确. 故选D．
考点：中心对称图形． 3．B 【分析】
根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y），可以直接写出答案． 【详解】
点P(-3，4关于原点对称的点的坐标是(3，-4 ． 故选：B． 【点睛】
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时坐标变化特点：横纵坐标均互为相反数． 4．A 【解析】
根据三角形的内角和定理，可知：“三角形内角和等于180°”，故是不可能事件；

根据实数的加法，可知两实数之和可能为正，可能是0，可能为负，故是可能事件； 根据买彩票可能中奖，故可知是可能事件；
根据硬币的特点，抛一枚硬币2次有可能两次都正面朝上，故是可能事件. 故选A. 5．C 【解析】
根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100． 故选：C．
点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方． 6．C 【分析】
根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可. 【详解】 解：把抛物线yx2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y(x122. 故选：C. 【点睛】
此题考查了抛物线的平移，属于基本题型，熟知抛物线的平移规律是解答的关键. 7．B 【解析】
根据勾股定理，由△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，求得AB=10，然后根据直角三角形的的性质，斜边上的中线等于斜边长的一半，即CD=5＜AC=6，所以点D在在⊙C内. 故选B. 8．B 【解析】如果每天的增长率都为x，利用第一天到第三天的人数关系，列出方程：1.2（1+x）2=2.3. 故选：B．

点睛：本题考查增长率问题，关键是知道两天的变化，知道两天前的情况和两天后的情况，列方程． 9．B 【详解】
在△OCB中，OB=OC（⊙O的半径）， ∴∠OBC=∠0CB（等边对等角）；
∵∠OCB=40°，∠C0B=180°﹣∠OBC﹣∠0CB， ∴∠COB=100°；
又∵∠A=∠C0B（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）， ∴∠A=50°， 故选B． 10．A 【详解】
解:∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0． ∵对称轴在y轴的左边，∴b＜0．∴b＞0．
2a∵图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b﹣2=0． ∴a=2﹣b，b=2﹣a．∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2． 把x=﹣1代入得：y=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣4， ∵b＞0，∴b=2﹣a＞0．∴a＜2．
∵a＞0，∴0＜a＜2．∴0＜2a＜4．∴﹣4＜2a﹣4＜0，即﹣4＜P＜0． 故选A． 【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键． 11．1
5【解析】
根据概率的概念，由符合条件的人数除以样本容量，可得P（在日常生活中进行垃圾分2001=. 100051故答案为. 5类）=
12．（﹣2，4） 【解析】
根据题意，可由将△OAB放大为原来的2倍得到△OA1B1，可知位似图形的位似比为1：2，2，2×2）因此可知A1的坐标为（-1×，即（﹣2，4）. 故答案为（﹣2，4）. 13．48 【分析】
2，把相应数值代入即可求解． 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷【详解】
解：圆锥的侧面积=2π×4×12÷2=48π． 故答案为：48π．
点睛：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长． 14．-3 【解析】
设另一根为x1，则1·x1= -3 ， 解得，x1=－3， 故答案为－3．
15．x＝﹣1 x1＝﹣3，x2＝1 【分析】
（1）根据二次函数与x轴的交点的坐标（x1，0）、（x2，0）和对称轴方程x入求出即可；
（2）根据二次函数与x轴的交点坐标能求出方程x2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1． 【详解】
解：（1）∵从图象可知，二次函数与x轴的交点的坐标是（﹣3，0），（1，0）， ∴对称轴方程是xx1x2，代2311；
2（2）由图象可知方程x2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1， 故答案为：（1）x＝﹣1；（2）x1＝﹣3，x2＝1．

【点睛】
本题考查了对函数图象的理解，正确读取图象是解题关键． 16．11. 【解析】 【分析】
如图，过点A作AE⊥AD交CD于E，连接BE．证明△BAE≌△CAD（SAS），∠BED=90°，利用勾股定理求出BD即可． 【详解】
如图，过点A作AE⊥AD交CD于E，连接BE．

∵∠DAE=90°，∠ADE=45°， ∴∠ADE=∠AED=45°， ∴AE=AD=1，DE=2， ∵∠DAE=∠BAC=90°， ∴∠BAE=∠CAD， ∵AB=AC，
∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴CD=BE=3，∠AEB=∠ADC=45°， ∴∠BED=90°， ∴BD=BE2DE2故答案为11． 【点睛】
本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题32(2211

的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 17．（1）x=1或x=﹣5；（2）x=﹣3或x=5． 【解析】
试题分析：（1）根据因式分解—十字相乘法，分解因式后，由ab=0的性质求解即可； （2）通过移项，添括号，构成能因式分解的一元二次方程，因式分解后由ab=0的性质求解即可. 试题解析：（1）∵x2+4x﹣5=0， ∴（x﹣1）（x+5）=0， 则x﹣1=0或x+5=0， 解得：x=1或x=﹣5；
（2）∵（x﹣3）（x+3）﹣2（x+3）=0， ∴（x+3）（x﹣5）=0， 则x+3=0或x﹣5=0， 解得：x=﹣3或x=5．
18．（1）详见解析；（2）点A1的坐标为：（﹣2，3）；（3）S扇形BOB1【分析】
（1）根据旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）根据所画图形得出点A1的坐标；
（3）利用扇形面积公式进而得出线段OB在旋转过程中所扫过的图形面积． 【详解】
解：（1）如图所示：△A1B1O即为所求；
5
2
（2）点A1的坐标为：（﹣2，3）； （3）点B扫过的图形为扇形BOB1，

∵旋转角为90°， ∴∠BOB1＝90°， ∵点B（1，3），
OB10，
nr290105S扇形BOB1．
3603602【点睛】
本题考查了作图——旋转变换和扇形面积的计算，熟练掌握知识点是解题关键． 19．（1）a＝0.16；b＝9；（2）64；（3）【分析】
（1）根据表格求出a与b的值即可；
（2）计算出50名学生选择“一分钟跳绳”项目的人数，进而可估计该校九年级有400名学生，选择“一分钟跳绳”项目的总人数；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出抽取的两名学生中至少有一名女生的情况，即可求出所求概率． 【详解】
解：（1）根据题意得：a＝1﹣（0.18+0.24+0.32+0.10）＝0.16； b＝50×0.18＝9；
（2）4000.16＝64（人）；
（3）男生编号为A、B、C，女生编号为D、E， 男A 男B 男C 女D 女E
男A
（A，B） （A，C） （A，D） （A，E）
男B （B，A）

（B，C） （B，D） （B，E）
男C （C，A） （C，B）

（C，D） （C，E）
女D （D，A） （D，B） （D，C）

（D，E）
女E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D）

7．
10
共有20种情况，其中有1名女生的情况有12种，有2名女生的情况有2种，因此至少有一名女生的情况包括两种情况，共14种， ∴抽取的两名学生中至少有一名女生的概率为：【点睛】
本题考查了用样本估计总体，用列表法与树状图法计算概率，熟练掌握并运用知识点是解题关键．
20．（1）a≤3；（2）a=﹣1． 【解析】
试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值. 试题解析：（1）∵方程有两个实数根，
∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3； （2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2， ∵x12x22+4x1+4x2=1，
∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1， ∵a≤3， ∴a=﹣1．
21．（1）1：3；（2）S△CDF＝54 cm2，S△ADF＝18cm2． 【分析】
（1）由题易证△AEF∽△CDF，由相似三角形的性质：周长之比等于相似比即可求出△AEF与△CDF的周长的比；
（2）由（1）可知△AEF∽△CDF，由相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方即可求出S△CDF，再根据三角形面积关系求出S△ADF即可． 【详解】
解：（1）∵AE：EB＝1：2， ∴AE：AB＝1：3，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴△AEF∽△CDF 147=． 2010
∴C△AEF：C△CDF＝EF：DF＝AE：CD＝AE：AB＝1：3， 即△AEF与△CDF的周长比为1：3； （2）∵△AEF∽△CDF， ∴S△AEF：S△CDF＝（AE：CD）2， 即6：S△CDF＝（1：3）2 ∴S△CDF＝6×9＝54（cm2），
S△AEFEF1，
S△ADFDF3∴S△ADF＝3×6＝18（cm2）． 【点睛】
本题主要考查了学生对相似三角形的判定与性质、三角形的面积、平行四边形的性质等知识点的理解与掌握，此题主要利用了相似三角形的周长比等于相似比和相似三角形面积比是相似比的平方．
22．（1）S＝﹣2x2+40x；（2）当x＝10时，所围成的花圃面积最大，最大值为200m2；（3）当花圃的面积为150m2时，AB长为15米． 【分析】
（1）由AB＝CD＝x知BC＝40﹣2x，根据矩形的面积公式可得函数解析式； （2）将所得函数解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质求解可得； （3）在函数解析式中令y＝150，求出x的值，再由x的范围取舍即可得． 【详解】
解：（1）S＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x， 即函数关系式为：S＝﹣2x2+40x； （2）由题意，得：0＜40﹣2x≤24， 解得8≤x＜20，
又由（1），得S＝﹣2（x﹣10）2+200，
∴当x＝10时，所围成的花圃面积最大，最大值为200m2； （3）由﹣2（x﹣10）2+200＝150， 解得 x1＝5，x2＝15， ∵8≤x＜20，
∴当花圃的面积为150m2时，AB长为15米．

【点睛】
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）BD＝【分析】
（1）根据要求作图即可得；
（2）连结OD，CD，证DE＝EC＝BE得∠1＝∠2，再证∠3＝∠4得∠ODE＝∠2+∠4＝∠1+∠3＝∠ACB＝90°，据此可得OD⊥DE，从而得证； （3）证Rt△BDC∽Rt△BCA得【详解】 解：（1）如图1，
9．
4BDBC＝，代入计算可得． BCAB
（2）证明：如图2，连结OD，CD， ∵AC为直径， ∴∠ADC＝90°， ∵E为BC边中点，
∴DE为Rt△BDC斜边BC上的中线，

∴DE＝EC＝BE， ∴∠1＝∠2， ∵OC＝OD， ∴∠3＝∠4，
∴∠ODE＝∠2+∠4＝∠1+∠3＝∠ACB＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE为⊙O的切线； （3）∵E为BC边中点， ∴BC＝2DE＝∵AC＝5， ∴AB＝15，
425，
4∵∠DBC＝∠CBA， ∴Rt△BDC∽Rt△BCA，
15BDBDBC∴＝，即15＝4，
25BCAB449∴BD＝．
4【点睛】
本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
24．（1）yx22x3，对称轴为直线x1；（2）四边形ACDE的周长最小值为（3）P10131；1(4,5,P2(8,45 【分析】
OB=OC，0）y=a=a=ax2-2ax-3a，（1）则点B（3，，则抛物线的表达式为：（x+1）（x-3）（x2-2x-3）即可求解；
（2）CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，即可求解； （3）S△PCB：S△PCA=11EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，即可求解． 22
【详解】
（1）∵OB=OC，∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a， 故-3a=3，解得：a=-1，
故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3…①； 对称轴为：直线x1
（2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=10、DE=1是常数， 故CD+AE最小时，周长最小，
取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=C′D， 取点A′（-1，1），则A′D=AE，
故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，

四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=10+1+A′D+DC′=10+1+A′C′=10+1+13；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，

直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分， 又∵S△PCB：S△PCA=11EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE， 22则BE：AE，=3：5或5：3， 则AE=53或， 22
即：点E的坐标为（31，0）或（，0），
22将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3， 解得：k=-6或-2，
故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…② 联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去）， 故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点A′点来求最小值，是本题的难点． 25．（1）5:2；（2）AB＝21；（3）r(21R 【分析】
（1）根据圆和正方形的对称性可知：GH11DGGF，在直角三角形FGH中，利用22勾股定理可得HF5，从而用含a的代数式表示半圆的半径为5a，正方形边长为2a，所以可求得半圆的半径与正方形边长的比；
（2）切点分别为I，J，连接EB、AE，OJ、OI，可得OJCI是正方形，且边长是4，可设BD＝x，AD＝y，则BD＝BJ＝x，AD＝AI＝y，分别利用直角三角形ABC和直角三角形AEB中的勾股定理和相似比作为相等关系列方程组求解即可求得半圆的直径AB＝21． （3）根据（2）中得出方程解答即可． 【详解】
解：（1）如图，根据圆和正方形的对称性可知：GHH为半圆的圆心，
11DGGF， 22
不妨设GH＝a，则GF＝2a，
在直角三角形FGH中，由勾股定理可得HF＝5，由此可得，半圆的半径为5a，正方形边长为2a，

所以半圆的半径与正方形边长的比是5a:2a5:2；
（2）因为正方形DEFG的面积为100，所以正方形DEFG边长为10． 切点分别为I，J，连接EB、AE，OI、OJ，

∵AC、BC是⊙O的切线， ∴CJ＝CI，∠OJC＝∠OIC＝90°， ∵∠ACB＝90°，
∴四边形OICJ是正方形，且边长是4，
设BD＝x，AD＝y，则BD＝BI＝x，AD＝AJ＝y，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得（x+4）2+（y+4）2＝（x+y）2①； 在直角三角形AEB中， ∵∠AEB＝90°，ED⊥AB， ∴△ADE∽△BDE∽△ABE， ∴EDBD 即ED2＝AD•BD，即102＝x•y②．
ADED解①式和②式，得x+y＝21， 即半圆的直径AB＝21；
（3）由（2）可得：r(21R，
当点C与点E重合且为半圆弧的中点时，⊙O半径r可取得的最大值为(21R． 【点睛】
本题综合考查了圆、三角形、方程等知识，是由一道综合性很强的题目，难度偏上，需要正确理解相关知识并且能够懂得运用才能很好的答题．

广东省广州市越秀区培正中学2020-2021学年九年级第二次月考数学试题-

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