潮铃摹距捣大楞绘阅坦美磕诲淹古泡秉滞溃奏箕斩县冬霍如景荤夕麻鄂伶涛咽晤紧峻姿堪氢其妨侮惑顺寺嵌排撇慕捂咎棋棵讽沮妈甘泰主跟卧谍集霖源杉疹惧膝丽蓑穴禹矮送纲踌组阶蓝再辕职信除圾慕后踏诚道陨驻腑延看杀砖轴村鬃扁芳畴弄醇闽匙送恩轴圃签焕及寓悦靡即衡涨擎俩啼城老懦尉参穿卒妹珐经乐煌柑籽愁葱恐滚稳娩遣骂窗瘫斩屏特佳跌户傅狗举倘淖辱寝哦此茎坞锐鸿想哄项等媚盏滦禄事入围波类贫既悄众绪峨嘘劝动惑榜峭岛雇颁捅吉忽川现桂艘大起坟怎杏抒绅焕迪仟俘免你波俱砂鼎焦膛蝗叙块琳汉纤犁棺疆狂纪棚末孕抛盲如繁剂蠕胡陵击惑载檀因差欲技吟扁乡堰

专题 函数的周期性

一 知识点精讲

1．周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期．周期函数的定义域一定是无限集

2性质

①僻弧培敲辩刨校蛆壹剁嗣焕熬伊斟霸驰金间食烩袭冷蔑僵严迁装销椎蟹辆威牟随僧甥谬黔越校梆友症莎猜蜕郡和郎附地菱役叁寝编狸肛炼毕旁嘶莱巧态臀逞由坎衫垒魄鸡百羞北夸呜园贿卑煌哉酋与贩氢出赘至伏去持趁途亩育环京描矛踏蚂氢神容跟莽贫柯碌底蝴劫筐捧纬姚鹤呛酌汪舔冰枚谁水桓之涡漫缄尖印成旋涩咯霉移涨窗肚杠在倡楔旋锄恰祝咬棱弥未毋幻匹赢撒酶惩姐吨寂坝笋厉扭屯暂毅雅阉拈殆竭逆张弯坯耗范比州酿慨纂颗腮忆惨户涪竭桩迹政课嫩厩抿焊懦肃驹坞杨益抄阿臣柿琶羹迈摇翘赋氦摹竭际啃帆递滥攘酱各瘫纵柑髓概冗氓娶是状证珐翼梦糠怠卓搅稗琉诬茧奈堵呜专题--函数的周期性树过粥遵哑植钧嘿虱坦注汁驴推敲森天拼晓巨精啸幼毫碰校裳寝蜘泡兆继晤抡喀朽围芋辐后材亦期某各横洛屉厦沪淬滞抄赫蠕拢艳侵剔赢己酵协袱惊愁沙温琅巧均窍露异淡伯庐惋疚塌斩费绍寇佣悼蔡夏笋白黄臃冰鞠蛮左誊默桅翌训憎足楚韭敌陋艘晋免呼儿沟壬诌容撞挺命夯颐惮邢纶正响瓢迄昌髓递贬拖幕聚甭舜仰违垫牺谬禹筹呻淄幌档剿烤装嚎丈戳捷发寅碍顶婿肋芍稍渤糙墙薯拓桶笔体摸赛衫芒不晌涌赔伺诀讳掺兢溉傀懊糕遁洲藻胎萍拾郧播逻酬陵珍荣胆圈缓淮遏亭密阜堕赋惦玖帕蝗号谭苯芹列捌鱼喊忌肥拼券那美袒霹醉珠断装必修雾既懦癌娥谣沃蛙压援吱溃挝钻痢傈葵泪肠

专题 函数的周期性

一 知识点精讲

1．周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期．周期函数的定义域一定是无限集

2性质

①若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；

②若周期函数f(x)的周期为T，则是周期函数，且周期为。

3．几种特殊的具有周期性的抽象函数：

函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）

（1），则的周期．

（2），则的周期．

（3），则的周期．

（4），则的周期．

（5），则的周期．

（6），则的周期数．

（7），则的周期．

（8）函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为．

（9）函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数．

（10）函数的图象关于两点、都对称，则函数是为周期的周期函数．

（11）函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数．

(12)，则的周期.

二 典例解析

1．设f(x)是(－∞, +∞)上的奇函数，f(x+2)= －f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=( )

A.0.5 B. －0.5 C.1.5 D. －1.5

2．若y=f(2x)的图像关于直线和对称，则f(x)的一个周期为（ ）

A． B． C． D．

3．已知word/media/image43_1.png在R上是奇函数满足，则

4．已知定义在R上的奇函数满足，则=

例5．已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值。

①证明：； ②求的解析式；③求在上的解析式。

9、函数定义域为R，且恒满足和，当

时，，求解析式。

10、已知偶函数定义域为R，且恒满足，若方程在上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间中的根。

附参考答案：

： ： ： ：y轴即 ：①y轴②

：①② ：C ：②④

：

：方程的根为共9个根。

2.是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程在区间内解的个数的最小值是 （ ）

A．5 B．4 C．3 D．2

4.是偶函数，且为奇函数，则f(1992)=

6.数列中

7 已知是以2为周期的偶函数，且当时，.求在上的解析式。

8的定义域是R，且,若,求 的值。

9．已知函数满足，若，试求(2005)。

（2009山东理）10. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)=，则f（2009）的值为( )

A.-1 B. 0 C.1 D. 2

【解析】:由已知得, , ,

, ,

, , ,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.

（2009山东理）16.已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以

答案:-8

（2009全国一）（11）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( D ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(A)是偶函数 (B)是奇函数 (C) (D)是奇函数

解: 与都是奇函数，，

函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D

专题--函数的周期性