轴对称（习题）

 例题示范

word/media/image1_1.png例1：已知：如图，AE平分∠FAC，EF⊥AF，EG⊥AC，垂足分别为点F，G，DE是BC的垂直平分线．

求证：BF=CG．

【思路分析】

读题标注：

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1 从条件出发，看到角平分线考虑“角平分线上的点到角两边的距离相等”，结合题目其他条件，EF⊥AF，EG⊥AC，可得EF=EG；

2 看到垂直平分线考虑“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，因此连接BE，CE（如图所示），得到BE=CE；

3 题目所求为BF=CG，证明△BEF≌△CEG即可．

【过程书写】

证明：如图，连接BE，CE

∵AE平分∠FAC，EF⊥AF，EG⊥AC

∴EF=EG

∵DE是BC的垂直平分线

∴BE=CE

∵EF⊥AF，EG⊥AC

∴∠BFE=∠CGE=90°

在Rt△BEF和Rt△CEG中

∴Rt△BEF≌Rt△CEG（HL）

∴BF=CG（全等三角形对应边相等）

 巩固练习

1. 下列是轴对称图形的是（ ）

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A． B． C． D．

2. word/media/image5_1.png一个风筝的设计图如图所示，其主体部分（四边形ABCD）关于线段BD所在的直线对称，AC与BD相交于点O，且AB≠AD，则下列判断错误的是（ ）

A．△ABD≌△CBD

B．△ABC≌△ADC

C．△AOB≌△COB

D．△AOD≌△COD

3. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在AC边上，将△ABC沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点D处．若∠A=30°，则∠BED=_______．

word/media/image6_1.png word/media/image7_1.png

第3题图 第4题图

4. 已知：如图，∠AOB=40°，若CD是OA的垂直平分线，则

∠ACB=__________．

5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．BD平分∠ABC，交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E．若DE+BD=3cm，则AC=__________cm．

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6. word/media/image9_1.png已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交AC于点E，垂足为点D．若BE+CE=12，BC=8，则△ABC的周长为___________．

7. 作图题：利用网格线，作出△ABC关于直线DE对称的图形△A1B1C1．

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8. 已知：如图，P为∠ABC内一点，请在AB，BC边上各取一点M，N，使△PMN的周长最小．

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9. 已知：如图，CD垂直平分线段AB，E是CD上一点，分别连接AC，BC，AE，BE．求证：∠CAE=∠CBE．

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10. 已知：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O．OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E．

求证：OD=OE．

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11. 已知：如图，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别是BC，AB边上的高，垂足分别为点D，E，AD与CE相交于点O，连接OB，∠OBC=∠OBA．求证：OA=OC．

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 思考小结

1. 轴对称的思考层次：

1 全等变换：对应边__________、对应角__________．

2 对应点：对应点所连线段被对称轴_________________；

对称轴上的点到对应点的距离_____________．

3 应用：奶站问题等．

如图，在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP最小．

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【参考答案】

 巩固练习

1. B

2. B

3. 60°

4. 80°

5. 3

6. 32

7. 作图略

8. 作点P关于BA的对称点O1，作点P关于BC的对称点O2，连接O1O2，分别交BA，BC于点M，N，此时△PMN的周长最小．

9. 证明略

提示：利用线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，得出AC=BC，AE=BE，再证明△CAE≌△CBE

10. 证明略

提示：过点O作OF⊥BC于点F，角平分线上的点到角两边的距离相等可得结论

11. 证明略

提示：利用角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，得出OD=OE，再证明△COD≌△AOE

 思考小结

1. 相等、相等

垂直平分；相等

③作点A关于街道的对称点A1，连接A1B交街道于点P，则点P即为满足条件的点

轴对称+（习题及答案）