第一章 导数及其应用

一， 导数的概念

1..已知的值是（ ）

A. B. 2 C. D. －2

变式1：（ ）

A．－１ Ｂ．－2 C．－3 D．1

变式2： （ ）

A． B． C． D．

导数各种题型方法总结

请同学们高度重视：

首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：

1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法

5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）

与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令得到两个根；

第二步：画两图或列表；

第三步：由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）

第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；

（请同学们参看2010省统测2）

例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，

（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围；

（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.

解:由函数 得

（1） 在区间上为“凸函数”，

则 在区间[0,3]上恒成立

解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于

解法二：分离变量法：

∵ 当时, 恒成立,

当时, 恒成立

等价于的最大值（）恒成立，

而（）是增函数，则

(2)∵当时在区间上都为“凸函数”

则等价于当时 恒成立

变更主元法

再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）

例2：设函数

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.

（二次函数区间最值的例子）

解：（Ⅰ）

令0,' altImg='d0382519afa56b9ed182de680169b65f.png' w='82' h='21' class='_2'>得的单调递增区间为（a,3a）

令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）

∴当x=a时，极小值= 当x=3a时，极大值=b.

（Ⅱ）由||≤a，得：对任意的恒成立①

则等价于这个二次函数 的对称轴 （放缩法）

即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。上是增函数.（9分）

∴

于是，对任意，不等式①恒成立，等价于

又∴

点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

第三种：构造函数求最值

题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型

例3；已知函数图象上一点处的切线斜率为，

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）当时，求的值域；

（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。

解：（Ⅰ）∴， 解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减

又

∴的值域是

（Ⅲ）令

思路1：要使恒成立，只需，即分离变量

思路2：二次函数区间最值

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为在给定区间上恒成立， 回归基础题型

解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

例4：已知，函数．

（Ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；

（Ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围．

解：.

（Ⅰ）∵ 是偶函数，∴ . 此时，，

令，解得：.

列表如下：

可知：的极大值为， 的极小值为.

（Ⅱ）∵函数是上的单调函数，

∴，在给定区间R上恒成立判别式法

则 解得：.

综上，的取值范围是.

例5、已知函数

（I）求的单调区间；

（II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想

（I）

1、

当且仅当时取“=”号，单调递增。

2、

单调增区间：

单调增区间：

（II）当 则是上述增区间的子集：

1、时，单调递增 符合题意

2、，

综上，a的取值范围是[0，1]。

三、题型二：根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题

解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；

第三步：解不等式（组）即可；

例6、已知函数，，且在区间上为增函数．

（1） 求实数的取值范围；

（2） 若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．

解：（1）由题意 ∵在区间上为增函数，

∴0' altImg='d813e336bdd2ebdf47c6b551700eed89.png' w='194' h='22' class='_4'>在区间上恒成立（分离变量法）

即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为

（2）设，

令得或由（1）知，

①当时，，在R上递增，显然不合题意…

②当时，，随的变化情况如下表：

由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即 ∴，解得

综上，所求的取值范围为

根的个数知道，部分根可求或已知。

例7、已知函数

（1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值；

（2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由。

解：（1）∵的图像过原点，则 ，

又∵是的极值点，则

（2）设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，等价于有含的三个根，即：

整理得：

即：恒有含的三个不等实根

（计算难点来了：）有含的根，

则必可分解为，故用添项配凑法因式分解，

十字相乘法分解：

恒有含的三个不等实根

等价于有两个不等于-1的不等实根。

题2：切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数

例7、已知函数在点处取得极小值－4，使其导数0' altImg='634e0231a21a388254e137f1d5518da8.png' w='75' h='21' class='_4'>的的取值范围为，求：（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

（1）由题意得：

∴在上；在上0' altImg='634e0231a21a388254e137f1d5518da8.png' w='75' h='21' class='_4'>；在上

因此在处取得极小值

∴①，②，③

由①②③联立得：，∴

（2）设切点Q，

过

令，

求得：，方程有三个根。

需：

故：；因此所求实数的范围为：

题3：已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数

解法：根分布或判别式法

例8、

解：函数的定义域为（Ⅰ）当m＝4时，f (x)＝ x3－x2＋10x，

＝x2－7x＋10，令0' altImg='8baaf0ef5eac596ebf01a45909545fc1.png' w='75' h='21' class='_4'> ， 解得或.

令 ， 解得

可知函数f(x)的单调递增区间为和（5，＋∞），单调递减区间为．

（Ⅱ）＝x2－(m＋3)x＋m＋6,

要使函数y＝f (x)在（1，＋∞）有两个极值点,＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在（1，＋∞）

根分布问题：

则0;\\ \frac{m+3}{2}>1.\end{matrix}\right.' altImg='c14604459adf04a84e0684b23b2db6dd.png' w='259' h='149' class='_5'>， 解得m＞3

例9、已知函数，（1）求的单调区间；（2）令＝x4＋f（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．

解：（1）

当时，令0' altImg='85134dc2002461bd06bed652251023c2.png' w='73' h='26' class='_5'>解得，令解得，

所以的递增区间为，递减区间为.

当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.

（2）有且仅有3个极值点

=0有3个根，则或，

方程有两个非零实根，所以

或

而当或时可证函数有且仅有3个极值点

其它例题：

1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是－11.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围.

解：（Ⅰ）

令=0,得

因为，所以可得下表：

因此必为最大值,∴因此， ，

即，∴，∴

（Ⅱ）∵，∴等价于，

令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，

为此只需，即，

解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].

2、（根分布与线性规划例子）

（1）已知函数

(Ⅰ) 若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行, 求的解析式；

(Ⅱ) 当在取得极大值且在取得极小值时, 设点所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程.

解： (Ⅰ). 由, 函数在时有极值 ,

∴

∵ ∴

又∵ 在处的切线与直线平行,

∴ 故

∴ ……………………. 7分

(Ⅱ) 解法一: 由 及在取得极大值且在取得极小值,

∴ 0\\ {f}'(1)<0\\ {f}'(2)>0\end{matrix}\right.' altImg='d266be0ef813b7e08d5e7627ae241c65.png' w='87' h='114' class='_6'> 即 令, 则

∴ ∴ 故点所在平面区域S为如图△ABC,

易得, , , , ,

同时DE为△ABC的中位线,

∴ 所求一条直线L的方程为:

另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分, 设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G, 则 ,

由 得点F的横坐标为:

由 得点G的横坐标为:

∴ 即

解得: 或 (舍去) 故这时直线方程为:

综上,所求直线方程为: 或 .…………….………….12分

(Ⅱ) 解法二: 由 及在取得极大值且在取得极小值,

∴ 0\\ {f}'(1)<0\\ {f}'(2)>0\end{matrix}\right.' altImg='d266be0ef813b7e08d5e7627ae241c65.png' w='87' h='114' class='_6'> 即 令, 则

∴ ∴ 故点所在平面区域S为如图△ABC,

易得, , , , ,

同时DE为△ABC的中位线, ∴所求一条直线L的方程为:

另一种情况由于直线BO方程为: , 设直线BO与AC交于H ,

由 得直线L与AC交点为:

∵ , ,

∴ 所求直线方程为: 或

3、（根的个数问题）已知函数的图象如图所示。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f ( x )的解析式；

（Ⅲ）若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。

解：由题知：

（Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且= 0

得

（Ⅱ）依题意 = – 3 且f ( 2 ) = 5

解得a = 1 , b = – 6

所以f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3

（Ⅲ）依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 )

= 3ax2 + 2bx – 3a – 2b 由= 0b = – 9a ①

若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ②

由① ② 得 – 25a + 3＜8a＜7a + 3＜a＜3

所以 当＜a＜3时，方程f ( x ) = 8a有三个不同的根。………… 12分

4、（根的个数问题）已知函数

（1）若函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间；

（2）若，讨论曲线与的交点个数．

解：（1）

………………………………………………………………………2分

令0' altImg='8baaf0ef5eac596ebf01a45909545fc1.png' w='75' h='21' class='_7'>得

令得

∴的单调递增区间为，，单调递减区间为…………5分

（2）由题得

即

令……………………6分

令得或……………………………………………7分

当即时

此时，，，有一个交点；…………………………9分

当即时，

,

∴当即时,有一个交点；

当即时，有两个交点；

　 当时，，有一个交点．………………………13分

综上可知，当或时，有一个交点；

当时，有两个交点．…………………………………14分

5、（简单切线问题）已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数．

（Ⅰ） 若函数在处有极值，求的解析式；

（Ⅱ） 若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围．

函数中任意性和存在性问题探究

高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究

一、相关结论：

结论1：；【如图一】

结论2：；【如图二】

结论3：；【如图三】

结论4：；【如图四】

结论5：的值域和的值域交集不为空；【如图五】

【例题1】：已知两个函数;

(1) 若对,都有成立，求实数的取值范围；

(2) 若,使得成立，求实数的取值范围；

(3) 若对,都有成立，求实数的取值范围；

解：（1）设,（1）中的问题可转化为：时，恒成立，即。

；

当变化时，的变化情况列表如下：

因为,所以，由上表可知，故k-45≥0，得k≥45,即k∈[45,+∞).

小结：①对于闭区间I，不等式f(x)[f(x)]maxk对x∈I时恒成立[f(x)]min>k, x∈I.

②此题常见的错误解法：由[f(x)]max≤[g(x)]min解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f(x)]max≤[g(x)]min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价.

（2）根据题意可知，（2）中的问题等价于h(x)= g(x)－f(x) ≥0在x∈[-3,3]时有解,故[h(x)]max≥0.

由（1）可知[h(x)]max= k+7，因此k+7≥0，即k∈[7,+∞).

(3)根据题意可知，（3）中的问题等价于[f(x)]max≤[g(x)]min，x∈[-3,3].

由二次函数的图像和性质可得, x∈[-3,3]时, [f(x)]max=120－k.

仿照（1），利用导数的方法可求得x∈[-3,3]时, [g(x)]min=－21.

由120－k≥－21得k≥141,即k∈[141,+∞).

说明：这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量.

从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“x”恒成立，还是“x”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜..

二、相关类型题：

　〈一〉、型；

　　形如型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“在上恒成立，则在x∈D上恒成立，则”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型.

例1 ：已知二次函数，若时，恒有，求实数a的取值范围.

　　解：，∴；即；

　　当时，不等式显然成立，　　∴a∈R.

　　当时，由得：，而

　　.　∴.　　又∵，∴，综上得a的范围是。

　　〈二〉、型

　　例2 已知函数，若对，都有成立，则的最小值为____.

　　解 ∵对任意x∈R，不等式恒成立，

　　∴分别是的最小值和最大值.

　　对于函数，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π，即半个周期.

　　又函数的周期为4，∴的最小值为2.

　　〈三〉、.型

　　例3： (2005湖北)在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是(　　)

　　解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件的函数，应是凸函数的性质，画草图即知符合题意；

　　〈四〉、.型

　　例4 已知函数定义域为，，若，时，都有，若对所有，恒成立，求实数取值范围.

　　解：任取，则，由已知，又，∴f，即在上为增函数.

　　∵，∴，恒有；

　　∴要使对所有，恒成立，即要恒成立，

　　故恒成立，令，只须且，

　　解得或或。

　　评注： 形如不等式或恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.

　　〈五〉、.型：

　　例5： 已知，，若当时，)恒成立，求实数t的取值范围.

　　解：在恒成立，即在恒成立在上的最大值小于或等于零.

　　令，，∵

　　∴，即在[0,1]上单调递减，F(0)是最大值.

　　∴，即。

　　〈六〉、型

　　例6：已知函数，若对任意，都有，求的范围.

　　解：因为对任意的，都有成立，

　　∴，∵，令0' altImg='85134dc2002461bd06bed652251023c2.png' w='73' h='26' class='_9'>得x＞3或x＜-1；得；∴在为增函数，在为减函数.

　　∵，∴.∴，∴。

　　〈七〉、（为常数）型；

例7 ：已知函数，则对任意（）都有

恒成立，当且仅当=____，=____时取等号.

　　解：因为恒成立，

　　由，易求得，，∴。

　　例8 ：已知函数满足：(1)定义域为；(2)方程至少有两个实根和；(3)过图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于1.

　　(1)证明|；

　　(2)证明：对任意，都有.

　　证明 (1)略；

　　(2)由条件(2)知，

　　不妨设，由(3)知，

又∵

；∴

〈八〉、型

　　例9： 已知函数，对于时总有成立，求实数的范围.

　　解 由，得，

　　当时，，∵，

∴，　　∴　　

评注 由导数的几何意义知道，函数图像上任意两点连线的斜率的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话)的范围，利用这个结论，可以解决形如|或(m＞0)型的不等式恒成立问题.

考前寄语：①先易后难,先熟后生；②一慢一快：审题要慢,做题要快；③不能小题难做,小题大做,而要小题小做,小题巧做；④我易人易我不大意,我难人难我不畏难；⑤考试不怕题不会,就怕会题做不对；⑥基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分；⑦对数学解题有困难的考生的建议：立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.

导数各类题型方法总结（绝对经典）