江苏省扬州中学教育集团树人学校中考数学一模试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．﹣2的倒数是( )

A．2 B． C．﹣ D．不存在

2．下列运算正确的是( )

A．a6÷a2=a3 B．a5﹣a3=a2

C．（3a3）2=6a9 D．2（a3b）2﹣3（a3b）2=﹣a6b2

3．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )

A．选①② B．选①③ C．选②④ D．选②③

4．（1999•广州）若0＜a＜1，则点M（a﹣1，a）在( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．若关于x的方程2x﹣m=x﹣2的解为x=3，则m的值为( )

A．﹣5 B．5 C．﹣7 D．7

6．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为( )

A． B． C． D．

7．求一元二次方程x2+3x﹣1=0的解，除了课本的方法外，我们也可以采用图象的方法：在平面直角坐标系中，画出直线y=x+3和双曲线y=的图象，则两图象交点的横坐标即该方程的解．类似地，我们可以判断方程x3﹣x﹣1=0的解的个数有( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

8．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为( )

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）

9．函数中自变量x的取值范围是__________．

10．国家统计局的相关数据显示，2015年第1季度我国国民生产总值为118000亿元，这一数据用科学记数法表示为__________亿元．

11．若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为__________．

12．已知10m=3，10n=2，则102m﹣n的值为__________．

13．甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5，6，7的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张．若所抽的两张牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若所抽的两张牌面数字的积为偶数，则乙获胜．这个游戏__________．（填“公平”或“不公平”）

14．若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1=0有两个实数根，则k的取值范围是__________．

15．如图是一个废弃的扇形统计图，小华利用它的阴影部分来制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是__________．

16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD于点E，则BE的长为__________．

17．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC=__________．

18．在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为__________．

三、解答题（本大题共有10小题，共96分）

19．（1）计算：﹣22+﹣tan30°+20140；

（2）解方程：2x2+x﹣1=0．

20．先化简，再求值：，其中x是不等式组的一个整数解．

21．田忌赛马的故事为我们熟知．小亮与小齐学习概率初步知识后设计了如下游戏：小亮手中有方块10、8、6三张扑克牌，小齐手中有方块9、7、5三张扑克牌．每人从各自手中取出一张牌进行比较，数字大的为本“局”获胜，每次取得牌不能放回．

（1）若每人随机取手中的一张牌进行比赛，求小齐本“局”获胜的概率；

（2）若比赛采用三局两胜制，即胜2局或3局者为本次比赛获胜者．当小亮的三张牌出牌顺序为先出6，再出8，最后出10时，小齐随机出牌应对，求小齐本次比赛获胜的概率．

22．“知识改变命运，科技繁荣祖国”．某区中小学每年都要举办一届科技比赛．如图为某区某校2015年参加科技比赛（包括电子百拼、航模、机器人、建模四个类别）的参赛人数统计图：

电子百拼建模机器人航模25%25%某校2015年航模比赛参赛人数扇形统计图

（1）该校参加机器人、建模比赛的人数分别是__________人和__________人；

（2）该校参加科技比赛的总人数是__________人，电子百拼所在扇形的圆心角的度数是

__________°，并把条形统计图补充完整；

（3）从全区中小学参加科技比赛选手中随机抽取85人，其中有34人获奖．2015年某区中小学参加科技比赛人数共有3625人，请你估算2015年参加科技比赛的获奖人数约是多少人？

23．某新建的商场有3000m2的地面花岗岩需要铺设，现有甲、乙两个工程队希望承包铺设地面的过程：甲工程队平均每天比乙工程队多铺50m2，甲工程队单独完成该工程的工期是乙工程队单独完成该工程所需工期的．求甲、乙两个工程队完成该工程各需几天？

24．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．

（1）求证：AD=AF；

（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

25．如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，巳知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．

（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于__________度；

（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．

26．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O 上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q．

（1）点D在线段PQ上，且DQ=DC．求证：CD是⊙O的切线；

（2）若sin∠Q=，BP=6，AP=2，求QC的长．

27．如图，二次函数y=ax2﹣x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知点A（﹣1，0），点C（0，﹣2）．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点M是线段BC下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点M的坐标．

28．如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

（2）求正方形边长及顶点C的坐标；

（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；

（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

江苏省扬州中学教育集团树人学校中考数学一模试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．﹣2的倒数是( )

A．2 B． C．﹣ D．不存在

【考点】倒数．

【分析】根据倒数定义可知，﹣2的倒数是﹣．

【解答】解：﹣2的倒数是﹣．

故选C．

【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是

倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．

倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

2．下列运算正确的是( )

A．a6÷a2=a3 B．a5﹣a3=a2

C．（3a3）2=6a9 D．2（a3b）2﹣3（a3b）2=﹣a6b2

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．

【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．

【解答】解：A、a6÷a2=a4，故本选项错误；

B、不是同类项，不能合并，故本选项错误；

C、（3a3）2=9a6，故本选项错误；

D、2（a3b）2﹣3（a3b）2=﹣a6b2，故本选项正确．

故选D．

【点评】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方法则，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．

3．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )

A．选①② B．选①③ C．选②④ D．选②③

【考点】正方形的判定．

【分析】根据要判定四边形是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形进而分别分析得出即可．

【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，

所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；

B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，

所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；

C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，

所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；

D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，

所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查了正方形的判定方法：

①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；

②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．

③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．

4．（1999•广州）若0＜a＜1，则点M（a﹣1，a）在( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】点的坐标．

【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．

【解答】解：∵0＜a＜1，

∴a﹣1＜0，

∴点M（a﹣1，a）在第二象限，故选B．

【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的坐标的符号：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．

5．若关于x的方程2x﹣m=x﹣2的解为x=3，则m的值为( )

A．﹣5 B．5 C．﹣7 D．7

【考点】一元一次方程的解．

【分析】把x的值代入方程计算即可求出m的值．

【解答】解：把x=3代入方程得：6﹣m=3﹣2，

解得：m=5，

故选B

【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

6．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为( )

A． B． C． D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．

【解答】解：从上边看从上边看第一层是一个小正方形，第二层是第一层正上一个小正方形，右边一个小正方形，

故选：D．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上边看得到的图形．

7．求一元二次方程x2+3x﹣1=0的解，除了课本的方法外，我们也可以采用图象的方法：在平面直角坐标系中，画出直线y=x+3和双曲线y=的图象，则两图象交点的横坐标即该方程的解．类似地，我们可以判断方程x3﹣x﹣1=0的解的个数有( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．

【分析】根据题意断方程x3﹣x﹣1=0的解的个数可以转化为确定y=x2﹣1和y=的交点坐标即可．

【解答】解：由x3﹣x﹣1=0得：x3﹣x=1

方程两边同时除以x得：x2﹣1=，

在同一坐标系中作出y=x2﹣1和y=的图象为：

观察图象有一个交点，

∴可以判断方程x3﹣x﹣1=0的解的个数有1个，

故选B．

【点评】本题考查了反比例函数的图象和二次函数的图象，解题的关键是将方程转化为求图象的交点情况．

8．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为( )

A． B． C． D．

【考点】相交弦定理；勾股定理．

【分析】设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，QA=r﹣m．利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．

【解答】解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，

QA=r﹣m．

在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC=QP•QD．

即（r﹣m）（r+m）=m•QD，所以QD=．

连接DO，由勾股定理，得QD2=DO2+QO2，

即，

解得

所以，

故选D．

【点评】本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”．熟记并灵活应用定理是解题的关键．

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）

9．函数中自变量x的取值范围是x≥2．

【考点】函数自变量的取值范围．

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．

【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，

解得：x≥2，

故答案为：x≥2．

【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

10．国家统计局的相关数据显示，2015年第1季度我国国民生产总值为118000亿元，这一数据用科学记数法表示为1.18×105亿元．

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将118000用科学记数法表示为：1.18×105．

故答案为：1.18×105．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

11．若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为6．

【考点】多边形内角与外角．

【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，外角和等于360°列出方程求解即可．

【解答】解：设多边形的边数是n，

根据题意得，（n﹣2）•180°﹣360°=360°，

解得n=6．

故答案为：6．

【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．

12．已知10m=3，10n=2，则102m﹣n的值为．

【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】根据幂的乘方，可得同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，可得答案．

【解答】解：102m=32=9，

102m﹣n=102m÷10n=，

故答案为：．

【点评】本题考查了同底数幂的除法，利用幂的乘方得出同底数幂的除法是解题关键．

13．甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5，6，7的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张．若所抽的两张牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若所抽的两张牌面数字的积为偶数，则乙获胜．这个游戏不公平．（填“公平”或“不公平”）

【考点】游戏公平性．

【分析】根据游戏规则可知：牌面数字分别为5，6，7的三张扑克牌中，随意抽取2张，积有9种情况，其中5种是偶数，4种是奇数．那么甲、乙两人取胜的概率不相等；故这个游戏不公平．

【解答】解：从5、6、7中任意找两个数，积有35、30、42、25、36、49，其中30、35、42都是两次，即共9种情况，其中奇数的有4种，偶数的有5种，显然是不公平的．

故答案为：不公平

【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

14．若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1=0有两个实数根，则k的取值范围是k≥﹣，且k≠0．

【考点】根的判别式．

【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．

【解答】解：∵a=k，b=2（k+1），c=k﹣1，

∴△=4（k+1）2﹣4×k×（k﹣1）=3k+1≥0，

解得：k≥﹣，

∵原方程是一元二次方程，

∴k≠0．

故本题答案为：k≥﹣，且k≠0．

【点评】总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

②△=0⇔方程有两个相等的实数根；

③△＜0⇔方程没有实数根．

（2）一元二次方程的二次项系数不为0．

15．如图是一个废弃的扇形统计图，小华利用它的阴影部分来制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是3.6．

【考点】圆锥的计算；扇形统计图．

【分析】算出扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．

【解答】解：扇形的弧长为=7.2π，

∴圆锥的底面半径是7.2π÷2π=3.6．

故答案为：3.6．

【点评】考查圆锥的计算；用到的知识点为：圆锥的弧长=圆锥的底面周长．

16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD于点E，则BE的长为2﹣2．

【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形；正方形的性质．

【分析】过E作EM⊥AB于M，根据正方形性质得出AO⊥BD，AO=OB=OC=OD，由勾股定理得出2AO2=22，求出AO=OB=，在Rt△BME中，由勾股定理得：2ME2=BE2，求出即可．

【解答】解：过E作EM⊥AB于M，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AO⊥BD，AO=OB=OC=OD，

则由勾股定理得：2AO2=22，

AO=OB=，

∵EM⊥AB，BO⊥AO，AE平分∠CAB，

∴EM=EO，

由勾股定理得：AM=AO=，

∵正方形ABCD，

∴∠MBE=45°=∠MEB，

∴BM=ME=OE，

在Rt△BME中，由勾股定理得：2ME2=BE2，

即2（2﹣）2=BE2，

BE=2﹣2，

故答案为：2﹣2．

【点评】本题考查了角平分线性质和正方形性质，勾股定理的应用，注意：角平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

17．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC=．

【考点】三角形中位线定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义．

【分析】根据中位线的性质得出EF∥BD，且等于BD，进而得出△BDC是直角三角形，求出即可．

【解答】解：连接BD，

∵E、F分别是AB、AD的中点，

∴EF∥BD，且等于BD，

∴BD=4，

∵BD=4，BC=5，CD=3，

∴△BDC是直角三角形，

∴tan C==，

故答案为：

【点评】此题主要考查了锐角三角形的定义以及三角形中位线的性质以及勾股定理逆定理，根据已知得出△BDC是直角三角形是解题关键．

18．在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为（0，12）或（0，﹣12）．

【考点】圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理．

【分析】如解答图所示，构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与y轴的交点即为所求的点C．

注意点C有两个．

【解答】解：设线段BA的中点为E，

∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB=10，E（﹣1，0）．

（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=；

以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，

∵∠BCA为⊙P的圆周角，

∴∠BCA=∠BPA=45°，即则点C即为所求．

过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1，

在Rt△PFC中，PF=1，PC=，由勾股定理得：CF==7，

∴OC=OF+CF=5+7=12，

∴点C坐标为（0，12）；

（2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）．

综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）．

故答案为：（0，12）或（0，﹣12）．

【点评】本题难度较大．由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点所在．

三、解答题（本大题共有10小题，共96分）

19．（1）计算：﹣22+﹣tan30°+20140；

（2）解方程：2x2+x﹣1=0．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程-因式分解法；特殊角的三角函数值．

【分析】（1）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果；

（2）方程利用因式分解法求出解即可．

【解答】解：（1）原式=﹣4+2﹣×+1=﹣4+2﹣1+1=﹣2；

（2）2x2+x﹣1=0，

分解因式得：（x+1）（2x﹣1）=0，

解得：x1=﹣1，x2=．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．先化简，再求值：，其中x是不等式组的一个整数解．

【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．

【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，约分后得到原式=﹣x2﹣x+2，然后解不等式组得到整数解，再把满足条件的一个整数代﹣x2﹣x+2进行计算即可．

【解答】解：原式=•

=•

=﹣（x+2）（x﹣1）

=﹣x2﹣x+2，

解不等式组，

由①得x≤2，

由②得x＞﹣1，

所以不等式组的解集为﹣1＜x≤2，其整数解为0，1，2，

由于x不能取1和2，

所以当x=0时，原式=﹣0﹣0+2=2．

【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．也考查了解一元一次不等式组．

21．田忌赛马的故事为我们熟知．小亮与小齐学习概率初步知识后设计了如下游戏：小亮手中有方块10、8、6三张扑克牌，小齐手中有方块9、7、5三张扑克牌．每人从各自手中取出一张牌进行比较，数字大的为本“局”获胜，每次取得牌不能放回．

（1）若每人随机取手中的一张牌进行比赛，求小齐本“局”获胜的概率；

（2）若比赛采用三局两胜制，即胜2局或3局者为本次比赛获胜者．当小亮的三张牌出牌顺序为先出6，再出8，最后出10时，小齐随机出牌应对，求小齐本次比赛获胜的概率．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小齐本“局”获胜的情况，利用概率公式即可求得答案；

（2）据题意，小亮出牌顺序为6、8、10时，小齐随机出牌的情况有：（9，7，5），（9，5，7），（7，9，5），（7，5，9），（5，9，7），（5，7，9），又由小齐获胜的情况只有（7，9，5）一种，利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：（1）画树状图得：

∵每人随机取一张牌共有9种情况，小齐获胜的情况有（8，9），（6，9），（6，7）共3种，

∴小齐获胜的概率为P1=；

（2）据题意，小亮出牌顺序为6、8、10时，

小齐随机出牌的情况有6种情况：（9，7，5），（9，5，7），（7，9，5），（7，5，9），（5，9，7），（5，7，9），7 分

∵小齐获胜的情况只有（7，9，5）一种，

∴小齐获胜的概率为P2=．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与列举法求概率的知识．此题难度适中，注意理解题意是解此题的关键，注意概率=所求情况数与总情况数之比．

22．“知识改变命运，科技繁荣祖国”．某区中小学每年都要举办一届科技比赛．如图为某区某校2015年参加科技比赛（包括电子百拼、航模、机器人、建模四个类别）的参赛人数统计图：

电子百拼建模机器人航模25%25%某校2015年航模比赛参赛人数扇形统计图

（1）该校参加机器人、建模比赛的人数分别是4人和6人；

（2）该校参加科技比赛的总人数是24人，电子百拼所在扇形的圆心角的度数是

120°，并把条形统计图补充完整；

（3）从全区中小学参加科技比赛选手中随机抽取85人，其中有34人获奖．2015年某区中小学参加科技比赛人数共有3625人，请你估算2015年参加科技比赛的获奖人数约是多少人？

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

【分析】（1）由图知参加机器人、建模比赛的人数；

（2）参加建模的有6人，占总人数的25%，根据总人数=参加航模比赛的人数÷25%，算出电子百拼比赛的人数，再算出所占的百分比×360°；

（3）先求出随机抽取80人中获奖的百分比，再乘以我市中小学参加科技比赛比赛的总人数．

【解答】解：（1）由条形统计图可得：该校参加机器人、建模比赛的人数分别是4人，6人；

（2）该校参加科技比赛的总人数是：6÷25%=24，

电子百拼所在扇形的圆心角的度数是：（24﹣6﹣6﹣4）÷24×360°=120°，

条形统计图补充如下：

（3）34÷85=0.4，

0.4×3625=1450（人）．

答：今年参加科技比赛比赛的获奖人数约是1450人．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

23．某新建的商场有3000m2的地面花岗岩需要铺设，现有甲、乙两个工程队希望承包铺设地面的过程：甲工程队平均每天比乙工程队多铺50m2，甲工程队单独完成该工程的工期是乙工程队单独完成该工程所需工期的．求甲、乙两个工程队完成该工程各需几天？

【考点】分式方程的应用．

【分析】设乙工程队平均每天铺xm2，根据甲工程队单独完成该工程的工期是乙工程队单独完成该工程所需工期的，可得出方程，解出即可．

【解答】解：设乙工程队平均每天铺xm2，则甲工程队平均每天铺（x+50）m2，

由题意得，=×，

解得：x=150，

经检验，x=150是原方程的解．

=20，20×=15．

答：甲工程队完成该工程需15天，乙工程队完成该工程需20天．

【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

24．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．

（1）求证：AD=AF；

（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．

【分析】（1）由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AEF≌△DEB，即可得AD=BD，又由在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AD=BD=CD=BC，即可证得：AD=AF；

（2）由AF=BD=DC，AF∥BC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB=AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，AD=DC，继而可得四边形ADCF是正方形．

【解答】（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠EAF=∠EDB，

∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

在△AEF和△DEB中，

，

∴△AEF≌△DEB（ASA），

∴AF=BD，

∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，

∴AD=BD=DC=BC，

∴AD=AF；

（2）解：四边形ADCF是正方形．

∵AF=BD=DC，AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵AB=AC，AD是中线，

∴AD⊥BC，

∵AD=AF，

∴四边形ADCF是正方形．

【点评】此题考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

25．如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，巳知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．

（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于30度；

（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【分析】（1）根据俯角以及坡度的定义即可求解；

（2）在直角△PHB中，根据三角函数即可求得PB的长，然后在直角△PBA中利用三角函数即可求解．

【解答】解：（1）30；

（2）由题意得：∠PBH=60°，

∵∠ABC=30°，

∴∠ABP=90°，又∠APB=45°，

∴△PAB为等腰直角三角形，

在直角△PHB中，PB===20．

在直角△PBA中，AB=PB=20≈34.6米．

答：A，B两点间的距离是34.6米．

【点评】本题主要考查了俯角的问题以及坡度的定义，正确利用三角函数是解题的关键．

26．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O 上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q．

（1）点D在线段PQ上，且DQ=DC．求证：CD是⊙O的切线；

（2）若sin∠Q=，BP=6，AP=2，求QC的长．

【考点】切线的判定；解直角三角形．

【分析】（1）如图，连结OC．欲证明CD是⊙O的切线，只需证得CD⊥OC即可；

（2）如图，作OH⊥BC，H为垂足．通过解Rt△BQP和在Rt△BHO中，可以求得BQ=10、．然后由等腰三角形“三线合一”的性质得到，则CQ=BQ﹣BC=．

【解答】解：（1）如图，连结OC．

∵DQ=DC，

∴∠Q=∠QCD．

∵OC=OB，

∴∠B=∠OCB．

∵QP⊥BP，

∴∠QPB=90° 即∠B+∠Q=90°，

∴∠QCD+∠OCB=90°，

∴∠OCD=90°，

∴CD⊥OC，即CD是⊙O的切线；

（2）如图，作OH⊥BC，H为垂足．

∵BP=6，AP=2，

∴AB=8，．

在Rt△BQP中，sinQ==，

∴BQ=10，cos∠B=sin∠Q=

在Rt△BHO中，cos∠B=，

∴．

∵OH⊥BC，

∴，

∴CQ=BQ﹣BC=．

（法二：连结AC，证△ABC∽△QBP，得，，∴CQ=BQ﹣BC=）．

【点评】本题考查了切线的判定和解直角三角形的应用，切线的判定定理是：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查圆周角定理的推论以及解直角三角形．

27．如图，二次函数y=ax2﹣x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知点A（﹣1，0），点C（0，﹣2）．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点M是线段BC下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点M的坐标．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于a、c的二元一次方程组，求得a、c的值，从而可求得抛物线的解析式；

（2）先求得点B的坐标，然后求得AB、AC、BC的长，依据勾股定理的逆定理可证明△ABC为直角三角形，△ABC的外心为AB的中，从而可求得为外接圆圆心的坐标；

（3）过点M作ME⊥AB，垂足为E，ME交BC于点D．先求得直线BC的解析式，设点M的坐标为（a，a2﹣a﹣2）．则点D的坐标为（a，a﹣2），用含a的式子表示出△BCM的面积，依据配方法可求得△CBM面积的最大值以及此时点M的坐标．

【解答】解：（1）∵将A（﹣1，0）、点C（0，﹣2）代入抛物线的解析式得：，解得；，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2．

（2）令y=0得：x2﹣x﹣2=0，解得：x1=﹣1，x2=4．

∴B（4，0）．

∴AB=5．

∴AB2=25．

在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=AO2+OC2=5，在Rt△OBC中，由勾股定理得；CB2=OC2+OB2=20．

∴AB2=AC2+BC2．

∴△ABC为直角三角形．

∴△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为．

∴△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（，0）．

（3）如图所示：过点M作ME⊥AB，垂足为E，ME交BC于点D．

设BC的解析式为y=kx+b．

∵将B（4，0），C（0，﹣2）代入得：，解得：k=，b=﹣2，

∴抛物线的解析式为y=．

设点M的坐标为（a，a2﹣a﹣2）．则点D的坐标为（a，a﹣2）．

∵MD=EM﹣ED，

∴MD=a﹣2﹣（a2﹣a﹣2）=﹣a2+2a．

∴S△CBM=OB•DM=﹣a2+4a=﹣（a﹣2）2+4．

∴当a=2时，△CBM的面积有最大值，△CBM的面积的最大值为4．

∵将a=2代入y=a2﹣a﹣2得：y=﹣3，

∴点M的坐标为（2，﹣3）．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、勾股定理和勾股定理的逆定理、配方法求二次函数的最值，列出△BCM的面积与a的函数关系式是解题的关键．

28．如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

（2）求正方形边长及顶点C的坐标；

（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；

（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

【考点】二次函数综合题；坐标与图形性质；一次函数的图象；三角形的面积；直角三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）根据题意，观察图象可得x与t的关系，进而可得答案；

（2）过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，易得BF=8，OF=BE=4，进而在Rt△AFB中，由勾股定理可得AB=10；进一步易得△ABF≌△BCH，再根据BH与OG的关系，可得C的坐标；

（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，易得△APM∽△ABF；进而可得对应边的比例关系，解可得AM、PM与t的关系，由三角形面积公式，可得答案．

（4）此题需要分类讨论：当P在BC上时，求得t的值；当P在CD上时，求得t的值；即当t=时；当P在BA上时，求得t的值．

【解答】解：（1）Q（1，0）Q的图象是一条直线，且过点（11，0）．

且点P运动速度每秒钟1个单位长度．

（2）过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF=8，OF=BE=4．

∴AF=10﹣4=6．

在Rt△AFB中，AB==10，

过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H．

∵∠ABC=90°，AB=BC，

∴△ABF≌△BCH．

∴BH=AF=6 CH=BF=8．

∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12．

∴所求C点的坐标为（14，12）．

（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，

则△APM∽△ABF．

∴，

∴．

∴AM=t，PM=t，

∴PN=OM=10﹣t，ON=PM=t．

设△OPQ的面积为S（平方单位），

∴S=×（10﹣t）（1+t）=5+t﹣t2（0≤t≤10），

说明：未注明自变量的取值范围不扣分．

∵a=﹣，

∴当t=﹣=时，△OPQ的面积最大．

此时P的坐标为（，）．

（4）OP与PQ相等，组成等腰三角形，即当P点的横坐标等于Q点的横坐标的一半时，

当P在BC上时，8+（t﹣10）=（t+1），解得：t=﹣15（舍去）

当P在CD上时，14﹣（t﹣20）=（t+1），解得：t=，

即当t=时，OP与PQ相等．

当P在BA上时，t=，OP与PQ相等，

∴当t=或t=时，OP与PQ相等．

【点评】本题是一道动态解析几何题，对学生的运动分析，数形结合的思想作了重点的考查，有一定的难度．

2020届扬州中学教育集团树人学校中考数学一模试卷（有答案）