2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B

我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 16019013

所属学校（请填写完整的全名）： 河南理工大学万方科技学院

参赛队员 (打印并签名) ：1. 赵志领

2. 王京广

3. 郭涛

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 冯广庆

（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）

日期： 2014 年 9 月 12 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

创意平板折叠桌的数学模型

摘要

本文主要研究的是创意平板折叠桌的设计加工问题，对设计加工参数进行分析和优化并为公司开发设计折叠桌软件提供数学模型，为解决这些问题建立不同的数学模型并用MATLAB进行模型求解。

针对问题一，本文建立了模型Ⅰ——动态变化及数学描述模型。利用解析几何求出每根桌腿由平铺状态到完全展开过程中转过的角度来描述折叠桌动态变化过程，并在此基础上用MATLAB解出设计加工参数:桌腿木条开槽长度，三维空间桌脚边缘线。

针对问题二，本文建立模型Ⅱ——设计加工参数模型。采用多目标决策分析方法使产品达到稳固性好、加工方便、用材最少，所以开槽长度和长方形平板面积必须达到最小，对于任意给定的高度和圆形桌面直径确定：

①决策变量：（桌面最外侧木条的半长），（最外侧桌腿的竖直偏角），（最外侧折叠处到钢筋位置距离与最外侧桌腿的比值）

②目标函数 : (开槽总长度)，长方形木板面积

用MATLAB求解出多组方案并确定目标函数最小的最优方案，列出设计加工参数。

针对问题三，本文建立了模型Ⅲ——软件设计模型。根据客户设定的高度、桌面边缘线形状大小为客户提供三种桌面形状：①圆形桌面，②圆弧和矩形组合桌面，③“8”字形桌面。对于圆形桌面可参照模型Ⅱ；对于组合桌面，可在模型Ⅱ的基础上通过增大最外侧桌面木条的长度来实现；对于“8”字形桌面则可将两个组合桌面的直线边进行对接，所以模型三的建立和求解便可在模型Ⅱ的基础上改动来实现。

关键词：解析几何 MATLAB 多目标决策分析 EXLINK

1.问题重述

某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。

试建立数学模型讨论下列问题：

1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。

2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。

3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌。给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

2.问题分析

2.1问题一的分析

问题一要求我们建立模型描述折叠桌的动态变化过程并给出设计加工参数，由于长方形平板尺寸和每根木条的宽度及钢筋的位置都为已知，所以只需假设最外侧桌面木条的半长，根据桌子的对称性研究桌子左边最外侧到中间的桌腿，利用空间几何建立数学模型，再用MATLAB对模型求解得出设计加工参数，用EXLINK导出每根桌腿转过的角度。

2.2问题二的分析

问题二要求我们做到产品稳固性好、加工方便、用材最少，对于已定的桌高和桌面直径确定最优设计加工参数。由问题一中折叠桌桌腿的几何关系建立多目标决策分析模型确定决策变量和目标函数，用MATLAB确定最优设计加工参数。

2.3问题三的分析

问题三要求我们为折叠桌的设计软件提供数学模型，可根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线形状大小和桌脚边缘线的大致形状来给出所需平板的尺寸及加工参数，对此我们充分的利用问题二的模型来设计桌面边缘线的形状，使所建立的软件设计模型易于求解。

3.模型的假设

假设一：不考虑加工对长方形平板宽度带来的影响

假设二：桌腿钢筋不会发生形变

假设三：描述桌脚边缘线时桌脚为质点

假设四：外侧桌腿和钢筋固定良好

假设五：铰链不会发生形变且对设计加工参数无影响

4.问题一模型的建立与求解

4.1符号说明：

4.2模型Ⅰ的建立（数据单位均为）

根据桌子的对称性只需研究桌子左边最外侧到中间的10根桌腿，设最外侧桌腿为第一根桌腿，其桌面木条的半长为，以第一根桌脚为原点建立空间直角坐标系（见图1）

图1

根据问题一所给尺寸计算出：

第一根桌腿：腿长

第一根桌腿底部距桌子竖直对称面的距离

桌腿与竖直方向的夹角

钢筋位置到桌子竖直对称面距离

钢筋位置距桌面高度

图2

图3

根据图2和图3计算可以得出：

第根桌面木条的半长

桌面外接圆半径

第根桌腿腿长

第根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离

第根桌腿的竖直夹角

第根桌腿钢筋位置以上长度

第根桌腿底部距地面的高度

第根桌腿底部到桌子竖直对称面的距离

桌腿底部坐标

为了得出每根木条的开槽长度，利用第根桌腿钢筋位置以上长度减去桌子平铺时候钢筋位置与折叠点的距离即：

4.3模型Ⅰ的求解

根据题中所给的图和木板的厚度，大致可以假设桌面最外侧木条半长为3，用MATLAB编程进行求解，程序见附录一

通过EXLINK导出桌面与竖直方向夹角，制出表格描述折叠桌动态变化的过程（见表1）

表1

用MATLAB画出桌脚边缘线（见图3），程序见附录二

图4

桌脚边缘线各点坐标参数如下表：

表2

用EXLINK导出设计加工参数：

桌面外接圆半径

桌腿开槽长度见下表：

表3

开槽位置见下表：

表4

4.问题二模型的建立与求解

5.1符号说明：

5.2模型Ⅱ的建立（数据单位均为）

采用多目标决策分析方法使产品达到稳固性好、加工方便、用材最少，所以开槽长度和长方形平板面积必须达到最小，对于任意给定的高度和圆形桌面直径确定最优设计加工参数，即输入桌高及桌面直径得出最优加工参数开槽长度以及所需长方木板长和宽

由问题一中图1解得第一根桌腿长度,设最外侧桌腿钢筋的位置到折叠处的长度与桌腿的长度比值为

根据图1和图2得出第一根桌腿钢筋位置距桌面的距离，桌宽，

第根桌面木条的半长为

第根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离

第根桌腿钢筋位置以上长度

所以可求出第根桌腿的槽长，即得出桌腿的总槽长，从而有：

①决策变量：（桌面最外侧木条的半长），（最外侧桌腿的竖直偏角），（最外侧折叠处到钢筋位置距离与最外侧桌腿的比值）

②目标函数

5.3模型Ⅱ的求解

根据题中所给的图和问题一中木板的厚度，大致可以假设桌面最外侧木条半长等于3，用MATLAB求解出多组方案。

对折叠桌进行力学分析可得，当折叠桌的外侧桌腿垂直于地面时，折叠桌能承受的正压力是最大的，此时能承受的侧向压力是最小的。当桌腿未完全展开时，其抗侧压力性能强于抗正压力，若使折叠桌既能有较好的抗正压力和抗侧压力，则桌腿要与地面保持合适的夹角。

通过对问题一中折叠桌支撑腿与竖直方向的夹角约等于28°，并结合现实生活中实际情况为使折叠桌的稳定性好，不能过小或过大，假设

由已知桌高,桌面直径,输入,的值，输出,方案如下表:

表4

图5

实际情况中，桌面直径和每根木条的宽度是定量，所以不可能很小，满足，由上表数据计算得当时，方案无效。

当桌面平铺时，钢筋必须在圆形桌面以外，即>,可以得出>,根据上表数据计算，当<0.5时，方案无效。

综上所述，上表中灰色部分全为无效方案，剩余全为有效方案，即方案7、8、11、12、15、16、19、20,经比较得出，方案7为最优方案。

用EXLINK导出设计加工参数:

表5

5.问题三模型的建立与求解

6.1符号说明：

6.2模型Ⅲ的建立（数据单位均为）

根据客户设定的高度、桌面边缘线形状大小为折叠桌设计软件提供数学模型，现为客户提供三种桌面形状：①圆形桌面 ②圆弧和矩形组合桌面 ③“8”字形桌面

(1).圆形桌面

直接参照模型Ⅱ中最优方案的为最优钢筋位置，第一根桌腿长度，

桌面木条根数

第一根桌腿钢筋位置距桌面的距离，桌宽，

第根桌面木条的半长为

第根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离

第根桌腿钢筋位置以上长度

所以可求出第根桌腿的槽长

(2).圆弧和矩形组合桌面

为使桌面呈现圆弧和矩形的组合，最外侧桌面木条的长度要较大，现规定当时为组合桌面。

， ，依旧参照模型Ⅱ

桌面木条根数

第一根桌腿长度，第一根桌腿钢筋位置距桌面的距离，桌宽，

第根桌面木条的半长为

第根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离

第根桌腿钢筋位置以上长度

所以可求出第根桌腿的槽长

(3).“8”字形桌面

， ，

桌面木条的根数只需研究桌子一侧前的桌腿

由于“8”字形桌面的桌子是由两个组合桌子链接起来的，所以设计加工研究参数即为组合桌面桌子参数。

6.2模型Ⅲ的求解

针对圆弧和矩形组合桌面

图6

现要加工高， ，用MATLAB和EXLINK解出设计加工参数如下：，

第根桌腿开槽长度：

表6

开槽位置：

表7

针对与“8”字形桌面

图7

现要加工高， ，用MATLAB和EXLINK解出设计加工参数如下：，

第根桌腿开槽长度：

表8

开槽位置：

表9

由flash软件制作得“8”字形桌面动态示意图

图8

6.误差分析

误差分析：

7.模型评价、改进、推广

模型评价：

模型推广：

7.参考文献

[1]房少梅.2014.数学建模理论、方法及应用.北京：科学出版社

[2]姜启源，谢金星,叶俊.2003.数学建模.3版.北京：高等教育出版社

[3]谢金星，薛毅，2007.优化建模与LINDO/LINGO软件.北京：清华大学出版社

[4]张志涌，杨祖樱，2013.MATLAB教程.北京：北京航空航天大学出版社

创意桌展开图

创意平板折叠桌的数学模型数学建模B题