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2016年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．

等边三角形 B．

正五边形 C．

矩形 D．

平行四边形

2．下列计算正确的是（　　）

A．2a3•3a2=6a6 B．a3+2a3=3a6

C．a÷b×=a D．（﹣2a2b）3=﹣8a6b3

3．由若干个小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11

4．在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＞1 B．x＜1 C．x≤1 D．x≥1

5．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和等于5的概率是（　　）

A． B． C． D．

6．在平面直角坐标系中，直线y=2x﹣6不经过（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（　　）

A．3 B．2.5 C．4 D．3.5

8．将抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC=6，∠C=45°，tan∠ABC=3，则BD等于（　　）

A．2 B．3 C．3 D．2

10．如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是（　　）

A．71 B．78 C．85 D．89

11．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣8，﹣1），B（﹣6，﹣9），C（﹣2．﹣9），D（﹣4，﹣1）．先将四边形ABCD沿x轴翻折，再向右平移8个单位长度，向下平移1个单位长度后，得到四边形A1B1C1D1，最后将四边形A1B1C1D1，绕着点A1旋转，使旋转后的四边形对角线的交点落在x轴上，则旋转后的四边形对角线的交点坐标为（　　）

A．（4，0） B．（5，0） C．（4，0）或（﹣4，0） D．（5，0）或（﹣5，0）

12．如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：

①FH=2BH；②AC⊥FH；③S△ACF=1；④CE=AF；⑤EG2=FG•DG，

其中正确结论的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题（每小题3分，满分24分）

13．时光飞逝，小学、中学的学习时光已过去，九年的在校时间大约有16200小时，请将数16200用科学记数法表示为______．

14．如图，AD和CB相交于点E，BE=DE，请添加一个条件，使△ABE≌△CDE（只添一个即可），你所添加的条件是______．

15．某商品的进价为每件100元，按标价打八折售出后每件可获利20元，则该商品的标价为每件______元．

16．若四个互不相等的正整数中，最大的数是8，中位数是4，则这四个数的和为______．

17．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB=6，BC=3，则∠BDC=______度．

18．已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1=______．

19．如图，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD=4，则DC=______．

20．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC+BD=40，AB=12，点E是BC边上一点，直线OE交CD边所在的直线于点F，若OE=2，则DF=______．

三、解答题(满分60分）

21．先化简，再求值：÷（x﹣），其中x=﹣2．

22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点（﹣1，8）并与x轴交于点A，B两点，且点B坐标为（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．

注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）

23．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB的中点，BC=6，CD=5，过点A作AE⊥AD且AE=AD，过点E作EF垂直于AC边所在的直线，垂足为点F，连接DF，请你画出图形，并直接写出线段DF的长．

24．为了解“足球进校园”活动开展情况，某中学利用体育课进行了定点射门测试，每人射门5次，所有班级测试结束后，随机抽取了某班学生的射门情况作为样本，对进球的人数进行整理后，绘制了不完整的统计图表，该班女生有22人，女生进球个数的众数为2，中位数为3．

女生进球个数的统计表

（1）求这个班级的男生人数；

（2）补全条形统计图，并计算出扇形统计图中进2个球的扇形的圆心角度数；

（3）该校共有学生1880人，请你估计全校进球数不低于3个的学生大约有______人．

25．快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：

（1）请直接写出快、慢两车的速度；

（2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式；

（3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？直接写出答案．

26．在▱ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD=BD．

（1）如图①，求证：BP+BQ=BC；

（2）请直接写出图②，图③中BP、BQ、BC三者之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）和（2）的条件下，若DQ=1，DP=3，则BC=______．

27．某绿色食品有限公司准备购进A和B两种蔬菜，B种蔬菜每吨的进价比A中蔬菜每吨的进价多0.5万元，经计算用4.5万元购进的A种蔬菜的吨数与用6万元购进的B种蔬菜的吨数相同，请解答下列问题：

（1）求A，B两种蔬菜每吨的进价；

（2）该公司计划用14万元同时购进A，B两种蔬菜，若A种蔬菜以每吨2万元的价格出售，B种蔬菜以每吨3万元的价格出售，且全部售出，请求出所获利润W（万元）与购买A种蔬菜的资金a（万元）之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，要求A种蔬菜的吨数不低于B种蔬菜的吨数，若公司欲将（2）中的最大利润全部用于购买甲、乙两种型号的电脑赠给某中学，甲种电脑每台2100元，乙种电脑每台2700元，请直接写出有几种购买电脑的方案．

28．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x2﹣3x+2=0的两个根（OA＞OC）．

（1）求点A，C的坐标；

（2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数y=（k≠0）的图象的一个分支经过点E，求k的值；

（3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2016年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．

等边三角形 B．

正五边形 C．

矩形 D．

平行四边形

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；

B、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；

C、矩形是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项正确；

D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；

故选C．

2．下列计算正确的是（　　）

A．2a3•3a2=6a6 B．a3+2a3=3a6

C．a÷b×=a D．（﹣2a2b）3=﹣8a6b3

【考点】整式的混合运算；分式的乘除法．

【分析】A、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可作出判断；

B、原式不能合并，错误；

C、原式利用乘除法则计算得到结果，即可作出判断；

D、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．

【解答】解：A、原式=6a5，错误；

B、原式=3a3，错误；

C、原式=a××=，错误；

D、原式=﹣8a6b3，正确，

故选D

3．由若干个小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11

【考点】由三视图判断几何体．

【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．

【解答】解：综合主视图和俯视图，底层最少有5个小立方体，第二层最少有3个小立方体，第三层最少有1个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是9个，

故选B．

4．在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＞1 B．x＜1 C．x≤1 D．x≥1

【考点】函数自变量的取值范围．

【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．

【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，

解得：x≥1．

故选：D．

5．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和等于5的概率是（　　）

A． B． C． D．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和等于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和等于5的有4种情况，

∴两次摸出的小球的标号之和等于5的概率是：．

故选C．

6．在平面直角坐标系中，直线y=2x﹣6不经过（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】一次函数的性质．

【分析】根据k，b的符号判断直线所经过的象限，然后确定必不经过的象限．

【解答】解：∵由已知，得：k=2＜0，b=﹣6＜0，

∴图象经过第一、三、四象限，

∴必不经过第二象限．

故选：B．

7．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（　　）

A．3 B．2.5 C．4 D．3.5

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】连接OA，根据垂径定理得到AP=AB，利用勾股定理得到答案．

【解答】解：连接OA，

∵AB⊥OP，

∴AP==3，∠APO=90°，又OA=5，

∴OP===4，

故选C．

8．将抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．

【分析】抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后的到的新的二次函数的解析式为y=x2﹣9，令x2﹣9=0求其解即可知道抛物线与x轴的交点的横坐标，两点之间的距离随即可求．

【解答】解：将抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度，

其解析式变换为：y=x2﹣9

而抛物线y=x2﹣9与x轴的交点的纵坐标为0，

所以有：x2﹣9=0

解得：x1=﹣3，x2=3，

则抛物线y=x2﹣9与x轴的交点为（﹣3，0）、（3，0），

所以，抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为6

9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC=6，∠C=45°，tan∠ABC=3，则BD等于（　　）

A．2 B．3 C．3 D．2

【考点】解直角三角形．

【分析】根据三角函数定义可得AD=AC•sin45°，从而可得AD的长，再利用正切定义可得BD的长．

【解答】解：∵AC=6，∠C=45°，

∴AD=AC•sin45°=6×=6，

∵tan∠ABC=3，

∴=3，

∴BD==2，

故选：A．

10．如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是（　　）

A．71 B．78 C．85 D．89

【考点】规律型：图形的变化类．

【分析】观察图形可知，第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；…；则第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n，进而得出答案．

【解答】解：第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；

第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；

第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；

…；

则第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n，

所以第8个图形共有小正方形的个数为：9×9+8=89．

故选D．

11．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣8，﹣1），B（﹣6，﹣9），C（﹣2．﹣9），D（﹣4，﹣1）．先将四边形ABCD沿x轴翻折，再向右平移8个单位长度，向下平移1个单位长度后，得到四边形A1B1C1D1，最后将四边形A1B1C1D1，绕着点A1旋转，使旋转后的四边形对角线的交点落在x轴上，则旋转后的四边形对角线的交点坐标为（　　）

A．（4，0） B．（5，0） C．（4，0）或（﹣4，0） D．（5，0）或（﹣5，0）

【考点】坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-对称；坐标与图形变化-平移．

【分析】根据题意画出图形，发现有两种情况：①对角线交点落在x轴正半轴上，②对角线交点落在x轴负半轴上；先求平移后的四边形A1B1C1D1对角线交点E1的坐标，求OE1的长，从而求出结论．

【解答】解：由题意得：A1（0，0），C1（6，8），

根据四个点的坐标可知：四边形ABCD是平行四边形，

∴对角线交点E1是A1C1的中点，

∴E1（3，4），

由勾股定理得：A1E1==5，

当对角线交点落在x轴正半轴上时，对角线的交点坐标为（5，0），

当对角线交点落在x轴负半轴上时，对角线的交点坐标为（﹣5，0），

故选D．

12．如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：

①FH=2BH；②AC⊥FH；③S△ACF=1；④CE=AF；⑤EG2=FG•DG，

其中正确结论的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【考点】四边形综合题．

【分析】①②、证明△ABH≌△ADF，得AF=AH，再得AC平分∠FAH，则AM既是中线，又是高线，得AC⊥FH，证明BH=HM=MF=FD，则FH=2BH；所以①②都正确；

③可以直接求出FC的长，计算S△ACF≠1，错误；

④根据正方形边长为2，分别计算CE和AF的长得结论正确；

⑤利用相似先得出EG2=FG•CG，再根据同角的三角函数列式计算CG的长为1，则DG=CG，所以⑤也正确．

【解答】解：①②如图1，∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，

∵AE平分∠DAC，

∴∠FAD=∠CAF=22.5°，

∵BH=DF，

∴△ABH≌△ADF，

∴AH=AF，∠BAH=⊂FAD=22.5°，

∴∠HAC=∠FAC，

∴HM=FM，AC⊥FH，

∵AE平分∠DAC，

∴DF=FM，

∴FH=2DF=2BH，

故选项①②正确；

③在Rt△FMC中，∠FCM=45°，

∴△FMC是等腰直角三角形，

∵正方形的边长为2，

∴AC=2，MC=DF=2﹣2，

∴FC=2﹣DF=2﹣（2﹣2）=4﹣2，

S△AFC=CF•AD≠1，

所以选项③不正确；

④AF===2，

∵△ADF∽△CEF，

∴，

∴，

∴CE=，

∴CE=AF，

故选项④正确；

⑤在Rt△FEC中，EG⊥FC，

∴EG2=FG•CG，

cos∠FCE=，

∴CG===1，

∴DG=CG，

∴EG2=FG•DG，

故选项⑤正确；

本题正确的结论有4个，

故选C．

二、填空题（每小题3分，满分24分）

13．时光飞逝，小学、中学的学习时光已过去，九年的在校时间大约有16200小时，请将数16200用科学记数法表示为　1.62×104　．

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将16200用科学记数法表示为：1.62×104．

故答案为：1.62×104．

14．如图，AD和CB相交于点E，BE=DE，请添加一个条件，使△ABE≌△CDE（只添一个即可），你所添加的条件是　AE=CE　．

【考点】全等三角形的判定．

【分析】由题意得，BE=DE，∠AEB=∠CED（对顶角），可选择利用AAS、SAS进行全等的判定，答案不唯一．

【解答】解：添加AE=CE，

在△ABE和△CDE中，

∵，

∴△ABE≌△CDE（SAS），

故答案为：AE=CE．

15．某商品的进价为每件100元，按标价打八折售出后每件可获利20元，则该商品的标价为每件　150　元．

【考点】一元一次方程的应用．

【分析】设该商品的标价为每件为x元，根据八折出售可获利20元，可得出方程：80%x﹣100=20，再解答即可．

【解答】解：设该商品的标价为每件x元，

由题意得：80%x﹣100=20，

解得：x=150．

答：该商品的标价为每件150元．

故答案为：150．

16．若四个互不相等的正整数中，最大的数是8，中位数是4，则这四个数的和为　17或18　．

【考点】中位数．

【分析】根据中位数的定义得出第二个数和第三个数的和是8，再根据这四个数是不相等的正整数，得出这两个数是3和5，再根据这些数都是正整数得出第一个数是2或1，再把这四个数相加即可得出答案．

【解答】解：∵中位数是4，最大的数是8，

∴第二个数和第三个数的和是8，

∵这四个数是不相等的正整数，

∴这两个数是3和5，

∴这四个数是1，3，5，8或2，3，5，8，

∴这四个数的和为17或18；

故答案为：17或18．

17．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB=6，BC=3，则∠BDC=　30　度．

【考点】圆周角定理．

【分析】连接AC，首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后根据直角三角形的两边利用锐角三角函数确定∠A的度数，然后利用圆周角定理确定答案即可．

【解答】解：连接AC，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵AB=6，BC=3，

∴sin∠CAB===，

∴∠CAB=30°，

∴∠BDC=30°，

故答案为：30．

18．已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1=　﹣3　．

【考点】二次函数图象上点的坐标特征．

【分析】将点（﹣2，4）代入y=ax2﹣3x+c（a≠0），即可求得4a+c的值，进一步求得4a+c﹣1的值．

【解答】解：把点（﹣2，4）代入y=ax2﹣3x+c，得

4a+6+c=4，

∴4a+c=﹣2，

∴4a+c﹣1=﹣3，

故答案为﹣3．

19．如图，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD=4，则DC=　5　．

【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．

【分析】过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得到BF=CF=BC，由AB的垂直平分线交AB于点E，得到BD=AD=4，设DF=x，根据勾股定理列方程即可得到结论．

【解答】解：过A作AF⊥BC于F，

∵AB=AC，

∴BF=CF=BC，

∵AB的垂直平分线交AB于点E，

∴BD=AD=4，

设DF=x，

∴BF=4+x，

∵AF2=AB2﹣BF2=AD2﹣DF2，

即16﹣x2=36﹣（4+x）2，

∴x=1，

∴CD=5，

故答案为：5．

20．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC+BD=40，AB=12，点E是BC边上一点，直线OE交CD边所在的直线于点F，若OE=2，则DF=　18或30　．

【考点】矩形的性质．

【分析】作ON⊥BC于N，由矩形的性质得出∠ABC=90°，AD∥BC，CD=AB=12，OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD，得出OB=OC，AC=BD=20，由勾股定理求出BC，由等腰三角形的性质得出BN=CN=BC=8，由三角形中位线定理得出ON=AB=6，再由勾股定理求出EN，分两种情况：①求出CE的长，由平行线得出△DMF∽△CEF，得出对应边成比例，即可得出结果；②求出CE的长，由平行线证出△ONE∽△FCE，得出对应边成比例求出CF，即可得出DF的长．

【解答】解：作ON⊥BC于N，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，AD∥BC，CD=AB=12，

OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD，

∴OB=OC，

∵AC+BD=40，

∴AC=BD=20，

∴BC===16，

∵ON⊥BC，

∴BN=CN=BC=8，

∴ON=AB=6，

∴EN===2，

∴CE=CN+EN=10，

分两种情况：①如图1所示：

∵AD∥BC，OB=OD，

∴DM：BE=OD：OB=1，△DMF∽△CEF，

∴DM=BE=BC﹣CE=6，，

即，

解得：DF=18；

②如图2所示：由①得：CE=CN﹣EN=6，

∵CD⊥BC，ON⊥BC，

∴ON∥CD，

∴△ONE∽△FCE，

∴，即，

解得：CF=18，

∴DF=CD+CF=12+18=30；

故答案为：18或30．

三、解答题(满分60分）

21．先化简，再求值：÷（x﹣），其中x=﹣2．

【考点】分式的化简求值．

【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把x的值代入进行计算即可．

【解答】解：原式=÷

=•

=，

当x=﹣2时，原式==﹣．

22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点（﹣1，8）并与x轴交于点A，B两点，且点B坐标为（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．

注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）

【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．

【分析】（1）将已知点的坐标代入二次函数的解析式，解关于b、c的二元一次方程组即可；

（2）过点P作PH⊥Y轴于点H，过点B作BM∥y轴交直线PH于点M，过点C作CN⊥y轴叫直线BM于点N，则S△CPB=S矩形CHMN﹣S△CHP﹣S△PMB﹣S△CNB

【解答】i解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点（﹣1，8）与点B（3，0），

∴

解得：

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3

（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴P（2，﹣1）

过点P作PH⊥Y轴于点H，过点B作BM∥y轴交直线PH于点M，过点C作CN⊥y轴叫直线BM于点N，如下图所示：

S△CPB=S矩形CHMN﹣S△CHP﹣S△PMB﹣S△CNB

=3×4﹣×2×4﹣﹣

=3

即：△CPB的面积为3

23．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB的中点，BC=6，CD=5，过点A作AE⊥AD且AE=AD，过点E作EF垂直于AC边所在的直线，垂足为点F，连接DF，请你画出图形，并直接写出线段DF的长．

【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．

【分析】分两种情况：①点E在CF上方，根据直角三角形的性质得出AC=8，作DG⊥AC可得AG=4、DG=3，再证△EAF≌△ADG可得AF=DG=3，即GF=7，由勾股定理即可得答案；②点E在AC下方时，与①同理可得．

【解答】解：①如图1，当点E在CF上方时，

∵点D为斜边AB的中点，BC=6，CD=5，

∴CD=AD=DB=AB=5，

∴AB=10，AC=8，

过点D作DG⊥AC于G，

∴AG=CG=AC=4，DG=BC=3，∠EFA=∠AGD=90°，

∴∠EAF+∠AEF=90°，

又∵AE⊥AD，

∴∠EAF+∠DAG=90°，

∴∠AEF=∠DAG，

在△EAF和△ADG中，

∵，

∴△EAF≌△ADG（AAS），

∴AF=DG=3，

∴在Rt△DFG中，DF===；

②如图2，当点E在AC下方时，作DH⊥AC于H，

与①同理可得△DAH≌△AEF，

∴AF=DH=3，

∴FH=AH﹣AF=1，

则DF===，

综上，DF的长为或．

24．为了解“足球进校园”活动开展情况，某中学利用体育课进行了定点射门测试，每人射门5次，所有班级测试结束后，随机抽取了某班学生的射门情况作为样本，对进球的人数进行整理后，绘制了不完整的统计图表，该班女生有22人，女生进球个数的众数为2，中位数为3．

女生进球个数的统计表

（1）求这个班级的男生人数；

（2）补全条形统计图，并计算出扇形统计图中进2个球的扇形的圆心角度数；

（3）该校共有学生1880人，请你估计全校进球数不低于3个的学生大约有　1160　人．

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数．

【分析】（1）根据进球数为3个的人数除以占的百分比求出男生总人数即可；

（2）求出进球数为4个的人数，以及进球数为2个的圆心角度数，补全条形统计图即可；

（3）求出进球数不低于3个的百分比，乘以1880即可得到结果．

【解答】解：（1）这个班级的男生人数为6÷24%=25（人），

则这个班级的男生人数为25人；

（2）男生进球数为4个的人数为25﹣（1+2+5+6+4）=7（人），进2个球的扇形圆心角度数为360°×=72°；

补全条形统计图，如图所示：

（3）根据题意得：1880×=1160（人），

则全校进球数不低于3个的学生大约有1160人．

故答案为：1160

25．快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：

（1）请直接写出快、慢两车的速度；

（2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式；

（3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？直接写出答案．

【考点】一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式．

【分析】（1）根据路程与相应的时间，求得快车与慢车的速度；

（2）先求得点C的坐标，再根据点D的坐标，运用待定系数法求得CD的解析式；

（3）分三种情况：在两车相遇之前；在两车相遇之后；在快车返回之后，分别求得时间即可．

【解答】解：（1）快车速度：180×2÷（）=120千米/时，

慢车速度：120÷2=60千米/时；

（2）快车停留的时间：﹣×2=（小时），

+=2（小时），即C（2，180），

设CD的解析式为：y=kx+b，则

将C（2，180），D（，0）代入，得

，

解得，

∴快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式为y=﹣120x+420（2≤x≤）；

（3）相遇之前：120x+60x+90=180，

解得x=；

相遇之后：120x+60x﹣90=180，

解得x=；

快车从甲地到乙地需要180÷120=小时，

快车返回之后：60x=90+120（x﹣﹣）

解得x=

综上所述，两车出发后经过或或小时相距90千米的路程．

26．在▱ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD=BD．

（1）如图①，求证：BP+BQ=BC；

（2）请直接写出图②，图③中BP、BQ、BC三者之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）和（2）的条件下，若DQ=1，DP=3，则BC=　2或4　．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）根据平行四边形的性质证明△ADP≌△CBQ，得BQ=PD，由AD=BD=BC得：BC=BD=BP+PD=BP+BQ；

（2）图②，证明△ABP≌△CDQ，得PB=DQ，根据线段的和得结论；

图③，证明△ADP≌△CBQ，得PD=BQ，同理得出结论；

（3）分别代入图①和图②条件下的BC，计算即可．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠ADB=∠CBD，

∵AP∥CQ，

∴∠APQ=∠CQB，

∴△ADP≌△CBQ，

∴DP=BQ，

∵AD=BD，AD=BC，

∴BD=BC，

∵BD=BP+DP，

∴BC=BP+BQ；

（2）图②：BQ﹣BP=BC，理由是：

∵AP∥CQ，

∴∠APB=∠CQD，

∵AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

∴∠ABP=∠CDQ，

∵AB=CD，

∴△ABP≌△CDQ，

∴BP=DQ，

∴BC=AD=BD=BQ﹣DQ=BQ﹣BP；

图③：BP﹣BQ=BC，理由是：

同理得：△ADP≌△CBQ，

∴PD=BQ，

∴BC=AD=BD=BP﹣PD=BP﹣BQ；

（3）图①，BC=BP+BQ=DQ+PD=1+3=4，

图②，BC=BQ﹣BP=PD﹣DQ=3﹣1=2，

∴BC=2或4．

27．某绿色食品有限公司准备购进A和B两种蔬菜，B种蔬菜每吨的进价比A中蔬菜每吨的进价多0.5万元，经计算用4.5万元购进的A种蔬菜的吨数与用6万元购进的B种蔬菜的吨数相同，请解答下列问题：

（1）求A，B两种蔬菜每吨的进价；

（2）该公司计划用14万元同时购进A，B两种蔬菜，若A种蔬菜以每吨2万元的价格出售，B种蔬菜以每吨3万元的价格出售，且全部售出，请求出所获利润W（万元）与购买A种蔬菜的资金a（万元）之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，要求A种蔬菜的吨数不低于B种蔬菜的吨数，若公司欲将（2）中的最大利润全部用于购买甲、乙两种型号的电脑赠给某中学，甲种电脑每台2100元，乙种电脑每台2700元，请直接写出有几种购买电脑的方案．

【考点】一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质．

【分析】（1）设每吨A种蔬菜的进价为x万元，每吨B种蔬菜的进价为（x+0.5）万元，根据用4.5万元购进的A种蔬菜的吨数与用6万元购进的B种蔬菜的吨数相同，可列分式方程求解；

（2）根据所获利润W=A种蔬菜出售所获利润+B种蔬菜出售所获利润，列出函数解析式并化简即可；

（3）先根据A种蔬菜的吨数不低于B种蔬菜的吨数，求得a的取值范围，再根据一次函数W=﹣a+7的性质，求得最大利润，最后根据电脑的价格判断购买电脑的方案数量．

【解答】解：（1）设每吨A种蔬菜的进价为x万元，则每吨B种蔬菜的进价为（x+0.5）万元，依题意得

，

解得x=1.5，

经检验：x=1.5是原方程的解，

∴x+0.5=2，

∴每吨A种蔬菜的进价为1.5万元，每吨B种蔬菜的进价为2万元；

（2）根据题意得，W=（2﹣1.5）×+（3﹣2）×=﹣a+7，

∴所获利润W（万元）与购买A种蔬菜的资金a（万元）之间的函数关系式为：

W=﹣a+7；

（3）当≥时，a≥6，

∵在一次函数W=﹣a+7中，W随着a的增大而减小，

∴当a=6时，W有最大值，W的最大值为﹣1+7=6（万元），

设购买甲种电脑a台，购买乙种电脑b台，则2100a+2700b=60000，

∵a和b均为整数，

∴有三种购买方案．

28．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x2﹣3x+2=0的两个根（OA＞OC）．

（1）求点A，C的坐标；

（2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数y=（k≠0）的图象的一个分支经过点E，求k的值；

（3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】反比例函数综合题．

【分析】（1）利用分解因式法解一元二次方程x2﹣3x+2=0即可得出OA、OC的值，再根据点所在的位置即可得出A、C的坐标；

（2）根据点C的坐标利用待定系数法即可求出直线CD的解析式，根据点A、B的横坐标结合点E为线段AB的中点即可得出点E的横坐标，将其代入直线CD的解析式中即可求出点E的坐标，再利用待定系数法即可求出k值；

（3）假设存在，设点M的坐标为（m，﹣m+1），分别以BE为边、BE为对角线来考虑．根据菱形的性质找出关于m的方程，解方程即可得出点M的坐标，再结合点B、E的坐标即可得出点N的坐标．

【解答】解：（1）x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）=0，

∴x1=1，x2=2，

∵OA＞OC，

∴OA=2，OC=1，

∴A（﹣2，0），C（1，0）．

（2）将C（1，0）代入y=﹣x+b中，

得：0=﹣1+b，解得：b=1，

∴直线CD的解析式为y=﹣x+1．

∵点E为线段AB的中点，A（﹣2，0），B的横坐标为0，

∴点E的横坐标为﹣1．

∵点E为直线CD上一点，

∴E（﹣1，2）．

将点E（﹣1，2）代入y=（k≠0）中，

得：2=，解得：k=﹣2．

（3）假设存在，设点M的坐标为（m，﹣m+1），

以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分两种情况（如图所示）：

①以线段BE为边时，∵E（﹣1，2），A（﹣2，0），E为线段AB的中点，

∴B（0，4），

∴BE=AB==．

∵四边形BEMN为菱形，

∴EM==BE=，

解得：m1=，m2=，

∴M（，2+）或（，2﹣），

∵B（0，4），E（﹣1，2），

∴N（﹣，4+）或（，4﹣）；

②以线段BE为对角线时，MB=ME，

∴=，

解得：m3=﹣，

∴M（﹣，），

∵B（0，4），E（﹣1，2），

∴N（0﹣1+，4+2﹣），即（，）．

综上可得：坐标平面内存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（﹣，4+）、（，4﹣）或（，）．

2016年9月30日

2019年2016年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷