二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳

1、一元二次方程根的分布情况

设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，

方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

表二：（两根与的大小比较）

表三：（根在区间上的分布）

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是

（1）时，； （2）时，

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：

（1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况：

若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求；

方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内，求的取值范围。分析：①由即得出；②由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或

根的分布练习题

例1、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。

解：由 即 ，从而得即为所求的范围。

例2、已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。

解：由

或即为所求的范围。

例3、已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围。

解：由 即 即为所求的范围。

例4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。

解：由题意有方程在区间上只有一个正根，则 即为所求范围。（注：对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在内，由计算检验，均不复合题意，计算量稍大）

1．二次函数及图象 设有一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，判别式Δ=b2-4ac，当Δ＞0时y=f(x)与x轴有二交点；当Δ=0时，y=f(x)与x轴仅有一交点；当Δ＜0时，y=f(x)与x轴无交点．

当Δ＞0时，设y=f(x)图象与x轴两交点为x1＜x2．一元二次函数y=f(x)与x轴交点x1，x2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根．观察图象不难知道．

图像为

观察图象不难知道△=0，a＞0　, △=0，a＜0

当△＜0时，y=f(x)图象与x轴无公共点，其图象为

观察图象不难知道．a＞0时,绝对不等式f(x)＞0解为x∈R．

a＜0时,绝对不等式f(x)＜0解为x∈R．

2．讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式（组）的求解问题，其方法有3种：

（1）应用求根公式；（2）应用根与系数关系；

（3）应用二次函数图象．在进行转化时，应保证这种转化的等价性．

就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法．

设f（x）=ax2＋bx＋c（a＞0），方程ax2＋bx＋x=0的个根为α，β（α≤β），m，n为常数，且n＜m，方程根的分布无外乎两种情况：

②α，β同居一区间时，不但要考虑端点函数值的符号，还要考虑

三、好题解给你 (1)  预习题 1. 设有一元二次函数y＝2x2-8x+1．试问，

当x∈[3，4]时，随x变大，y的值变大还是变小？

由此y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值分别是什么？

解：经配方有y＝2(x-2)2-7 ∵对称轴x＝2，区间[3，4]在对称轴右边，

∴y＝f(x)在[3，4]上随x变大，y的值也变大，因此ymax=f(4)＝1． ymin＝f(3)＝-5．

2.设有一元二次函数y＝2x2-4ax+2a2+3．试问，此函数对称轴是什么？

当x∈[3，4]时，随x变大，y的值是变大还是变小？与a取值有何关系？

由此，求y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值．

解：经配方有y＝2(x-a)2+3． 对称轴为x=a．

当a≤3时，因为区间[3，4]在对称轴的右边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值也变大．

当3＜a＜4时，对称轴x=a在区间[3，4]内，此时，若3≤x≤a，随x变大，y的值变小，但若a≤x≤4，随x变大，y的值变大．

当4≤a时，因为区间[3，4]在对称轴的左边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值反而变小．

根据上述分析，可知．当a≤3时，ymax=f(4)=2a2-16a+35．ymin=f(3)＝2a2-12a+21．

当3＜a＜4时，ymin＝f(a)＝3．其中，a≤3.5时，ymax＝f(4)＝2a2-16a+35．

a≥3.5时，ymax＝f(3)＝2a2-12a+21．当a≥4时，ymax＝f(3)＝2a2-12a+21．ymin＝f(4)＝2a2-16a+35．

(1) (2)  基础题 例1．设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)＝0．试问：

(1)m为何值时，有一正根、一负根．(2)m为何值时，有一根大于1、另一根小于1．

(3)m为何值时，有两正根．(4)m为何值时，有两负根．

(5)m为何值时，仅有一根在[1，4]内？

解：(1)设方程一正根x2，一负根x1，显然x1、x2＜0，依违达定理有m+2＜0．

∴　 m＜-2． 反思回顾：x1、x2＜0条件下，ac＜0，因此能保证△＞0．

(2)设x1＜1，x2＞1，则x1-1＜0，x2-1＞0只要求(x1-1)(x2-1)＜0，即x1x2-(x1+x2)+1＜0．

依韦达定理有 (m+2)+2(m-1)+1＜0．

(3)若x1＞0，x2＞0，则x1+x2＞0且x1，x2＞0,故应满足条件

依韦达定理有

(5)由图象不难知道，方程f(x)＝0在[3，4]内仅有一实根条件为f(3)·f(4)＜0，即

[9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]＜0．

∴(7m+1)(9m+10)＜0．

例2. 当m为何值时，方程 有两个负数根？

解：负数根首先是实数根，∴ ，由根与系数关系：要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负，

两根之积为正．由以上分析，有

即

∴当 时，原方程有两个负数根．

 (3)  应用题

例1. m取何实数值时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的两个实根都大于2？

解：设f（x）=x2+（m-2）x+5-m，如图原方程两个实根都大于2

所以当-5＜m≤-4时，方程的两个实根大于2．

例2．已知关于x方程：x2-2ax＋a＝0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1，β＞2，求实根a的取值范围．

解：设f（x）=x2-2ax＋a，则方程f（x）=0的两个根α，β就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标，如图0＜α＜1，β＞2的条件是：

＜1，β＞2．

例3．m为何实数时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的一个实根大于2，另一个实根小于2.

解：设f（x）=x2＋（m-2）x＋5-m，如图，原方程一个实根大于2，另一个实根小于2的充要条件是f（2）＜0，即4＋2（m-2）＋5-m＜0．解得m＜-5．所以当m＜-5时，方程的一个实根大于2，另一个实根小于2．

(2) (4)  提高题

例1．已知函数 的图象都在x轴上方，求实数k的取值范围．

解：（1）当 ，则所给函数为二次函数，图象满足：

  ，即

解得： （2）当 时，

若 ，则 的图象不可能都在x轴上方，∴

若 ，则y=3的图象都在x轴上方 由（1）（2）得：

反思回顾：此题没有说明所给函数是二次函数，所以要分情况讨论．

例2．已知关于x的方程（m-1）x2-2mx＋m2+m-6=0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β，求实数m的取值范围．

解：设f(x)=x2-2mx+m2＋m-6，则方程f（x）=0的两个根α，β，就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标．

如图，0＜α＜1＜β的条件是

解得

例3．已知关于x的方程3x2-5x＋a=0的有两个实根α，β，满足条件α∈（-2，0），β∈（1，3），求实数a的取值范围．

解：设f（x）=3x2-5x＋a，由图象特征可知方程f（x）=0的两根α，β，并且α∈（-2，0），β∈（1，3）的

解得-12＜a＜0．

四、课后演武场 1.已知方程(m-1)x2+3x-1=0的两根都是正数，则m的取值范围是（ B ）

A． 　　　B． 　　　C． 　　D．

2.方程 x2+(m2-1)x+(m-2)=0的一个根比1大，另一个根比-1小，则m的取值范围是（ C ）

A．0＜m＜2　　　B．-3＜m＜1　　　C．-2＜m＜0　　　D．-1＜m＜1

3.已知方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ C ）

A． 　　　　　　　　　　B．

C． 　　　　　D．

4．已知关于x的方程3x2+（m-5）x＋7=0的一个根大于4，而另一个根小于4，求实数m的取值范围．

可知方程f（x）=0的一根大于4，另一根小于4的充要条件是：f（4）＜0）

5．已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m的取值范围．

征可知方程f（x）=0的两根都在（0，2）内的充要条件是

2、二次函数在闭区间上的最大、最小值问题探讨

设，则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况：

对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：

（1）若，则，；

（2）若，则，

另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小。

二次函数在闭区间上的最值练习

二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。例1、函数在上有最大值5和最小值2，求的值。

解：对称轴，故函数在区间上单调。

（1）当时，函数在区间上是增函数，故 ；

（2）当时，函数在区间上是减函数，故

例2、求函数的最小值。

解：对称轴 （1）当时，；（2）当时，；

（3）当时，

改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？

解：（1）当时，； （2）当时，。

2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？

解：（1）当时，，；

（2）当时，，；

（3）当时，，；

（4）当时，，。

例3、求函数在区间上的最小值。 解：对称轴

（1）当即时，；

（2）当即时，；

（3）当即时，

例4、讨论函数的最小值。

解：，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线，，当，，时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）

因此，（1）当时，；（2）当时，；

（3）当时，

二次函数根的分布