中学物理介绍了麦克斯韦电磁场理论的两个要点：（1）变化的磁场产生电场；（2）变化的电场产生磁场。这个内容比较抽象，教材中没有作进一步深入地讲解，所以学生对此只有一点肤浅的了解。然而这里提出了一种新的电场—感应电场。笔者觉得对感应电场的认识有必要适当加深，因为它对其他一些电磁学问题有关十分密切的关联影响。本文就变化的磁场产生的感应电场中几个问题的理解谈一点肤浅的认识。

一、感生感应电动势的本质

在电磁感应现象中，产生感应电动势的原因不同，感应电动势的本质也就不同，一类是由于闭合电路一部分导体与磁场之间发生相对运动而产生的感应电动势，把它称之为动生感应电动势；另一类是磁场与闭合电路间相对静止，穿过闭合电路的磁场在发生变化而产生的感应电动势，称之为感生感应电动势。这里只对感生感应电动势的本质简单分析说明。

在半径为R的圆柱形空间内存在方向垂直于纸面向里、磁感强度为B的匀强磁场（这种磁场可由长直通电螺线管产生）。现设法使此匀强磁场的磁感强度B以（T／S）（c 为常量）的变化率均匀增大，由麦克斯韦电磁场理论可知，变化的磁场会在其周围空间产生一个感应电场，根据对称性，此感应电场的电场线是一系列闭合同心圆（这一点与静电场完全不同）。由于电场线闭合，也称涡旋电场。如图1所示。感应电场的方向可以借助于楞次定律判定，此处应为逆时针方向。当感应电场中有导体存在时，可能会产生感应电动势，要看导体所在位置。若没有导体存在，此感应电场依然存在。

如图2所示，把一有小开口的金属圆环ab放置在上述匀强磁场中，感应电场对金属圆环中的自由电子有电场力作用，使电子作顺时针定向移动，而堆积在a端，从而形成b端电势高，a端电势低的感应电动势。可见，产生感生感应电动势的本质是：变化的磁场产生的感应电场对导体中的自由电子有电场力作用，使导体中的自由电子定向移动而产生的。

若如图3所示的导体棒cd过磁场区域圆的圆心放置，由于感应电场与金属棒处处垂直，金属棒上的自由电子不会受到沿棒方向的作用力，也就不会作沿棒方向作定向移动，所以，金属棒两端不会产生感应电动势。所以任何沿半径方向放置的金属棒上都不会有感应电动势。

二、感应电场的存在区域

感应电场不但存在于磁场区域内，也同样存在于磁场区域外围空间。这一点可以用下面事实来理解。如图4所示，在磁场区域外围，与磁场区域圆同心放置一个半径为r（r＞R）金属圆环，当内部磁场发生变化时，此金属圆环中的磁通量在发生变化，由法拉弟电磁感应定律可知：圆环中一定有感应电动势存在。这个感生感应电动势是怎样产生的呢？是什么非静电力对圆环中的自由电子做功呢？不可能是其他原因，一定是磁场区域外围也存在感应电场，使导体中的自由电子受到感应电场力作用作定向运动从而产生感应电动势。

三、感应电场的电场强度

感应电动势是由感应电场强度对空间的积累而产生的，即感应电动势是感应电场强度对某一闭合回路的线积分，由于均匀变化的磁场产生稳定的电场，再由于对称性可知，同一圆周上各点的感应电场强度大小一定相等，所以这个积分可以这样表达：，由此可以求出感应电场的电场强度为： 。如图5所示，有一半径为R金属圆环，恰好放在磁场边界上。根据法拉弟电磁感应定律可求得圆环中有感应电动势为：ε＝。所以圆周上各点的感应电场强度大小为：。

若把金属圆环放置在磁场区域内，即r＜R，圆环中的感应电动势为：，则圆周上各点的感应电场强度大小为：。可见在磁场区域内，感应电场强度E与半径r成正比。

若把金属圆环放在磁场区域外围，即r＞R，圆环中的感应电动势为：，则圆周上各点的感应电场强度大小为：。可见在磁场区域外围，感应电场强度E与半径r成反比。

画出磁场区域内、外的感应电场强度E与半径r的关系的图线如图6所示。

四、磁场区域内不同半径r处的感应电场强度大小不同，为什么同一金属圆环，在不同位置的感应电动势大小却是相等的？

如图7所示，把同一金属圆环放在上述均匀变化的匀强磁场中的不同位置1、2上，由法拉弟电磁感应定律可知，当穿过金属圆环的磁通量在变化时，金属圆环中一定有感应电动势，并且感应电动势都等于：，然而位置1、2处的感应电场强度大小应该与半径成正比，必有E2＞E1。感应电场强度不同而感应电动势却相等这是为什么？

这是由于圆环各部分与感应电场强度方向的交角不同而造成的。为了计算方便一些，这里把圆环换成两个面积相等的部分扇形3、4，按如图8所示位置放在上述磁场中，由于两沿半径的边与感应电场强度方向垂直而不产生感应电动势，另外两段圆弧边与感应电场强度方向平行，且同一圆弧上各点的感应电场强度大小相等，所以产生的感应电动势等于感应电场强度与圆弧边长的乘积。这样处理目的是使计算方便。如果放置其他形状的闭合回路，结果一样，只是计算要繁杂些。

下面对3部分扇形详细分析分析计算如下：

如图9所示，由于ab、cd两边与感应电场强度方向垂直，不产生感应电动势。设ad对应的半径为r1，所在位置上各点的感应电场强度大小为E1，产生的感应电动势为ε1，bc对应的半径为r2，所在位置上各点的感应电场强度大小为E2，产生的感应电动势为ε2，两圆弧对应的圆心角均为θ。利用前面结论得：； ，所以ad边的感应电动势为：，方向为逆时针方向。同理可得： bc边的感应电动势为：，方向也为逆时针方向。所以整个闭合回路的感应电动势为（S为部分扇形的面积）。可见，感应电场强度的大小与所在位置有关，但整个闭合回路感应电动势却与位置无关，仅仅由磁通量的变化率和闭合回路的面积决定。

五、当闭合回路在变化的磁场区域外围时，虽然外围空间也存在感应电场，但为什么整个闭合回路的感应电动势却为零？

这个问题也可以通过分析计算来理解。如图10所示，部分扇形金属框abcd放置在磁场区域外围，ab、cd与感应电场方向垂直，不产生感应电动势。ad圆弧边产生的感应电动势为：；bc圆弧边产生的感应电动势：；ad、bc两边的感应电动势方向均为逆时针方向，所以整个闭合回路的感应电动势为ε＝ε1-ε2＝0。这与法拉弟电磁感应定律是一致的，因为闭合回路内没有变化的磁场，当然没有磁通量的变化率，也就没有感应电动势。

六、一段导体放置在变化的磁场中，没有形成闭合电路，如何运用法拉弟电磁感应定律来理解它产生的感应电动势？感应电动势的大小、方向如何确定？

如图11所示，有一半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，此匀强磁场的磁感强度B以（T／S）（c 为常量）的变化率均匀增大。有一长为2R的金属棒，一半放置在磁场中，A端和中点C恰好在磁场边界上。求金属棒AB的感应电动势大小和方向。

分析和解：由前文所述，变化的磁场内、外区域均存在感应电场，如图12所示，感应电场强度方向与金属棒不垂直，各处的感应电场强度沿棒方向的分量，促使金属棒中的自由电子作定向移动，从而产生感应电动势。由于感应电场强度沿棒的分量由A→B，所以自由电子将向A端移动，形成B端电势高，A端电势低的感应电动势，故感应电动势方向为A→B。

感应电动势大小，可以由法拉弟电磁感应定律求得，设想另加两根金属棒OA、OB，构成闭合回路OAB，由于OA、OB上各点的感应电场强度方向与棒垂直，所以OA、OB棒不产生感应电动势，整个闭合回路OAB的感应电动势就是AB棒的感应电动势。所以金属棒AB上的感应电动势为：

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2002年2月20日

感应电场问题