2020年四川省南充高中高考数学模拟试卷（文科）（2月份）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 在复平面内，复数z满足，则z的共轭复数对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知集合，，则的元素个数是

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

3. 质监部门对2辆新能源汽车和3辆燃油汽车进行质量检测，现任取2辆，则选中的2辆都为燃油汽车的概率为

A. B. C. D.

4. 若，且，则

A. B. C. D.

5. 已知椭圆与双曲线的焦点相同，则双曲线渐进线方程为

A. B. C. D.

6. 已知向量，，且，则     

A. B. C. 6 D. 8

7. 在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a，b，c直接求出三角形的面积．据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式，即，其中我国南宋著名数学家秦九韶约在数书九章里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是，这个公式中的应该是

A. B. C. D.

8. 函数，则下列结论正确的是

A. 的最大值为1

B. 的最小正周期为

C. 的图象关于直线对称

D. 的图象关于点对称

9. 直三棱柱中，，，则直线与所成角的大小为

A. B. C. D.

10. 已知函数为定义在R上的奇函数，是偶函数，且当时，，则

A. B. C. D. 0

11. 已知O为坐标原点，抛物线C：上一点A到焦点F的距离为6，若点P为抛物线C准线上的动点，则的最小值为

A. 4 B. C. D.

12. 已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知实数x，y满足不等式组，则的最小值为______．

14. 已知函数在点处的切线方程为，则________．

15. 代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A码头南偏东的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A码头从受到台风影响到影响结束，将持续多少小时______ ．

16. 已知所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，，，，则多面体的外接球的表面积为______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 设数列满足，其中．

Ⅰ证明：是等比数列；

Ⅱ令，设数列的前n项和为，求使成立的最大自然数n的值．

18. 交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T，其范围为，分别有五个级别：畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵．晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示．

Ⅰ用分层抽样的方法从交通指数在，，的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；

Ⅱ从Ⅰ中抽出的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率．

19. 如图1所示，在等腰梯形ABCD中，，，垂足为E，，，将沿EC折起到的位置，如图2所示，使平面平面ABCE．

连结BE，证明：平面；

在棱上是否存在点G，使得平面，若存在，直接指出点G的位置不必说明理由，并求出此时三棱锥的体积；若不存在，请说明理由．

20. 如图，已知抛物线C：的焦点是F，准线是抛物线上任意一点M到y轴的距离比到准线的距离少2

写出焦点F的坐标和准线l的方程；

已知点，若过点F的直线交抛物线C于不同的两点A、均与P不重合，直线PA、PB分别交l于点M、N求证：．

21. 已知函数为自然对数的底数，．

Ⅰ当时，求函数的极小值；

Ⅱ若当时，关于x的方程有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．

22. 在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情．在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线．如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为，M为该曲线上的任意一点．

当时，求M点的极坐标；

将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求的最大值．

23. 已知函数．

求不等式的解集；

记的最大值为m，且正实数a，b满足，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：由，得，

．

则z的共轭复数对应的点的坐标为，位于第四象限．

故选：D．

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

2.【答案】B

【解析】解：解得，或或，

，，，

集合有3个元素．

故选：B．

可解方程组，该方程组有几组解，便有几个元素．

考查描述法、列举法的定义，以及集合、元素的定义．

3.【答案】D

【解析】解：质监部门对2辆新能源汽车和3辆燃油汽车进行质量检测，现任取2辆，

基本事件总数，

选中的2辆都为燃油汽车包含的基本事件个数，

选中的2辆都为燃油汽车的概率．

故选：D．

基本事件总数，选中的2辆都为燃油汽车包含的基本事件个数，由此能求出选中的2辆都为燃油汽车的概率．

本题考査概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4.【答案】D

【解析】解：由，得到，

则，又，所以，

则，所以．

故选：D．

把已知的等式中的，利用同角三角函数间的基本关系化简后，得到关于的方程，根据的度数，求出方程的解即可得到的值，然后利用特殊角的三角函数值，由的范围即可得到的度数，利用的度数求出即可．

此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的范围．

5.【答案】A

【解析】解：依题意椭圆与双曲线的焦点相同，

可得：，

即，，可得

双曲线的渐近线方程为：

故选：A．

设双曲线的焦距为2c，由题意可得，即有a，b的关系，结合双曲线的基本量关系和离心率公式，计算可得所求值．

本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查焦点坐标和渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了向量垂直的充要条件，向量的坐标运算，属于基础题．

求出向量的坐标，根据向量垂直的充要条件，得到关于m的方程，求解即可．

【解答】

解：向量，，

，

又，

，

解得．

故选D．

7.【答案】C

【解析】解：，其中．

．

，这个公式中的应该是．

故选：C．

，其中代入化简可得：，即可得出．

本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8.【答案】C

【解析】【分析】

首先把函数的关系式转换为正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．

【解答】

解：函数，

，

，

所以：函数的最大值为2，最小值为0，

函数的最小正周期为，

当时，整理得：所以：函数的图象关于对称，

当时，，函数的图象关于对称，

故选：C．

9.【答案】B

【解析】解：如图，



不妨设，

则0，，0，，0，，1，，

，，

，

则直线与所成角的大小为．

故选：B．

以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出与 的坐标，利用数量积求夹角公式求解．

本题考查异面直线所成角，训练了两角空间向量求解空间角，是基础题．

10.【答案】C

【解析】解：根据题意，函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称，

则有，

又由函数为定义在R上的奇函数，则，

则有，

则，则函数是周期为8的周期函数，

则有，

又由为奇函数，则，

，

则；

故选：C．

根据题意，由为偶函数可得，结合函数的奇偶性可得分析可得，进而可得是周期为8的周期函数，据此可得，，结合函数的解析式计算可得答案．

本题考查函数的奇偶性与对称性，涉及函数的周期，关键是求出函数的周期，属于基础题．

11.【答案】C

【解析】【分析】

由已知条件，结合抛物线性质求出A点坐标，求出坐标原点关于准线的对称点的坐标点B，由，知的最小值为，由此能求出结果．

本题主要考查抛物线的相关知识．两条线段之和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．

【解答】

解：抛物线的准线方程为，

，

到准线的距离为6，即A点的横坐标为4，

点A在抛物线上，

的坐标

坐标原点关于准线的对称点的坐标为，

，

的最小值：．

故选C．

12.【答案】B

【解析】解：函数的定义域为R，ex' class='_7'>．

因为函数有两个极值点，所以ex' class='_7'>有两个不同的零点，

故关于x的方程有两个不同的解，

令，则1-xex' class='_7'>，

当时，0' altImg='fa766ee48ffb29d77fddad988c118cff.png' w='78' h='21' omath='g'(x)>0' class='_7'>，

当时，' class='_7'>，所以函数在区间上单调递增，

在区间上单调递减，

又当时，；

当时，，且，故，

所以，

故选：B．

求出函数的定义域，函数的导数，求出函数的极值点，以及函数的单调性，结合函数的最值，求解m的范围即可．

本题考查函数的导数以及函数的极值，函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．

13.【答案】

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，



化目标函数为，

由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．

；

的最小值为：．

故答案为：．

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题

14.【答案】3

【解析】【分析】

本题主要考查函数与导数的关系，特别是曲线的切线与函数导数之间的关系，属于中档题．

由，得' class='_7'>，因为函数在点处的切线方程是，故适合方程，且' class='_7'>；联立可得结果．

【解答】

解：由，得ex' class='_7'>，

因为函数在点处的切线方程是，

所以' class='_7'>解得，．

所以．

故答案为：3．

15.【答案】小时

【解析】解：在距港口的A码头南偏东的400千米的海面

将台风中心视为点B，则过B作BC垂直正东线于点C，则，

台风中心350千米的范围都会受到台风影响

所以在BC线上取点D使得千米

因为千米，千米是直角

根据勾股定理

千米因为350千米的范围内都会受到台风影响

所以影响距离是千米

小时

故答案为小时．

将台风中心视为点B，进而可知AB的长度，过B作BC垂直正东线于点C，进而可知，，在BC线上取点D使得千米进而根据勾股定理求得DC，进而乘以2，再除以速度即是A码头从受到台风影响的时间．

本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考生运用所学知识解决实际问题的能力．

16.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了多面体的外接球，是中档题．

设球心到平面ABCD的距离为d，利用所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，，，可得E到平面ABCD的距离为，从而，求出，即可求出多面体的外接球的表面积．

【解答】

解：设球心到平面ABCD的距离为d，则

所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，，，

到平面ABCD的距离为，

，

，，

多面体的外接球的表面积为．

故答案为：．

17.【答案】解：Ⅰ，

是首项为，公比为2的等比数列；

Ⅱ由Ⅰ知，，即，

，

，

，

．

，

，

单调递增．，

．

故使成立的最大自然数．

【解析】Ⅰ运用等比数列的定义即可得证；

Ⅱ运用等比数列的通项公式和求和公式，错位相减法求和，计算可得所求．

本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，错位相减法求和，属于中档题．

18.【答案】解：Ⅰ由直方图可知：

，，．

所以这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为6个，9个，3个．

拥堵路段共有个，按分层抽样从18个路段中选出6个，

每种情况分别为：，，，

即这三个级别路段中分别抽取的个数为2，3，1．

Ⅱ记Ⅰ中选取的2个轻度拥堵路段为，，选取的3个中度拥堵路段为，，，

选取的1个严重拥堵路段为C，则从6个路段选取2个路段的可能情况如下：

，，，，，，，，，，，，，，，共15种可能，

其中至少有1个轻度拥堵的有：

，，，，，，，，，共9种可能，

所以所选2个路段中至少1个路段轻度拥堵的概率为．

【解析】Ⅰ由直方图求出这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为6个，9个，3个．按分层抽样从18个路段中选出6个，能求出这三个级别路段中分别抽取的个数．

Ⅱ记Ⅰ中选取的2个轻度拥堵路段为，，选取的3个中度拥堵路段为，，，选取的1个严重拥堵路段为C，则从6个路段选取2个路段，利用列举法能求出所选2个路段中至少1个路段轻度拥堵的概率．

本题考查频数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

19.【答案】解：证明：因为平面平面ABCE，平面平面，

，平面，

所以平面ABCE，

又因为平面ABCE，所以，

又，，，满足，所以，

又，所以平面．

解：在棱上存在点G，使得平面，

此时点G为的中点．，

由知，平面ABCE，所以，

又，所以平面，

所以CE为三棱锥的高，且，

在中，，，G为斜边的中点，

所以 ，

所以 ．

故在棱上存在点G，使得平面，

此时三棱锥的体积为．

【解析】由，得平面ABCE，从而，由勾股定理得，由此能证明平面．

点G为的中点．，由此能求出在棱上存在点G，使得平面，三棱锥的体积为．

本题考查线面垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

20.【答案】解：由题意知，任意一点E到焦点的距离等于到直线的距离，

由抛物线的定义得抛物线标准方程为．

所以抛物线C的焦点为，准线l的方程为：；

设直线AB的方程为：，令，，

联立直线AB的方程与抛物线C的方程，消去x得，

由根与系数的关系得：．

直线PB方程为：，，

当时，，，同理得：．

，，

，

，．

【解析】结合抛物线的定义，直接写出焦点F的坐标和准线l的方程；

设出AB的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，求出PB的方程，求出M、N的坐标，利用向量的数量积，转化求解求证：即可．

本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查韦达定理以及直线方程的应用，向量的数量积的应用，是难题．

21.【答案】解：Ⅰ当时，，ex-e' class='_10'>，分

令' class='_10'>，则，

x，' class='_10'>，的变化列表如下：

分

所以分

Ⅱ设，，

ex-a+1x' class='_11'>，，

设，x2⋅ex-1x2' class='_11'>，分

由得，，，0' altImg='fb896f2cd237a2ff94052b38bef41621.png' w='78' h='21' omath='h'(x)>0' class='_11'>，在单调递增，

即' class='_11'>在单调递增，' class='_11'>，

当，即时，时，0' altImg='d5a47fac65c14d5e1193bd2dbac26aff.png' w='78' h='21' omath='F'(x)>0' class='_11'>，在单调递增，

又，故当时，关于x的方程有且只有一个实数解分

当，即时，由Ⅰ可知，

所以ex+1x-a≥ex+1x-a' class='_11'>，0' altImg='b921bd46e7f255cfa194ec366c1a4f7c.png' w='209' h='43' omath='F'(ae)≥e⋅ae+ea-a=ea>0' class='_11'>，又，

故，x0)=0' class='_11'>，当时，' class='_11'>，单调递减，又，

故当时，，

在内，关于x的方程有一个实数解1．

又时，0' altImg='d5a47fac65c14d5e1193bd2dbac26aff.png' w='78' h='21' omath='F'(x)>0' class='_11'>，单调递增，

且，

令，

ex-2x' class='_11'>，0' altImg='925f5a113a6fd77c06bf45976c7d2cc7.png' w='174' h='22' omath='s'(x)=ex-2≥e-2>0' class='_11'>，

故' class='_11'>在单调递增，又0' altImg='629b89ea4904e8a67a20354f5281b7f1.png' w='79' h='21' omath='k'(1)>0' class='_11'>，

故时，0' altImg='1eb9eb0f909b2cbe2e45ed4c099cbb91.png' w='78' h='21' omath='k'(x)>0' class='_11'>，在单调递增，

故，故F，

又，由零点存在定理可知，，，

故在内，关于x的方程有一个实数解，

又在内，关于x的方程有一个实数解1．

综上，分

【解析】Ⅰ代入a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可；

Ⅱ求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合方程的解的个数确定a的范围即可．

本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．

22.【答案】解：设点M在极坐标系中的坐标，

由，得，，

，

或

所以点M的极坐标为或

由题意可设，．

由，得，．

故时，的最大值为．

【解析】本题主要考查极坐标系，简单曲线的极坐标方程，属于基础题．

直接利用极坐标方程求解即可．

利用极径的应用和三角函数关系式的变换求出结果．

23.【答案】解：当时，恒成立，，

当时，，解得，

当时，不成立，无解，

综上，原不等式的解集为；

由知，即，

当且仅当，即时等号成立，

的最小值是．

【解析】分类讨论，去绝对值解不等式即可；

由可得，再利用基本不等式即可求得的最小值．

本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式的运用，属于基础题．

2020年四川省南充高中高考数学模拟试卷（文科）（2月份）