中学自主招生数学试卷

一．选择题（满分30分，每小题3分）

1．估计﹣2的值在（　　）

A．0到l之间 B．1到2之问 C．2到3之间 D．3到4之间

2．已知图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（　　）

A． B．

C． D．

3．下列计算正确的是（　　）

A．3x2﹣2x2＝1 B． +＝ C．x÷y•＝x D．a2•a3＝a5

4．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

5．甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，则成绩比较稳定的是（　　）

A．甲稳定 B．乙稳定 C．一样稳定 D．无法比较

6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（　　）

A． B．

C． D．

7．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则函数y＝﹣bx+k的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

8．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（　　）

A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣36x+36＝0

C．4x2+4x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0

9．如图，在菱形ABCD中，点P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，设点P运动时间为x，△APC的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（　　）

A． B．

C． D．

10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（　　）

A． B．2 C．π D．π

二．填空题（满分18分，每小题3分）

11．因式分解：a3﹣9a＝　 　．

12．方程＝的解是　 　．

13．已知，如图，扇形AOB中，∠AOB＝120°，OA＝2，若以A为圆心，OA长为半径画弧交弧AB于点C，过点C作CD⊥OA，垂足为D，则图中阴影部分的面积为　 　．

14．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则此抛物线的对称轴是　 　．

15．已知点A是双曲线y＝在第一象限的一动点，连接AO，过点O做OA⊥OB，且OB＝2OA，点B在第四象限，随着点A的运动，点B的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为　 　．

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝17，将矩形ABCD绕点D按顺时针方向旋转得到矩形DEFG，点A落在矩形ABCD的边BC上，连接CG，则CG的长是　 　．

三．解答题

17．（9分）（x+3）（x﹣1）＝12（用配方法）

18．（9分）如图，在矩形ABCD中，M是BC中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图．

（1）在图1中，作AD的中点P；

（2）在图2中，作AB的中点Q．

19．（10分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝4．

20．（10分）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？

（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；

（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？

（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．

21．（12分）如图，在⊙O中，点A是的中点，连接AO，延长BO交AC于点D．

（1）求证：AO垂直平分BC．

（2）若，求的值．

22．（12分）如图，将一矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数y＝（x＞0）的图象与边BC交于点F

（1）若△OAE的面积为S1，且S1＝1，求k的值；

（2）若OA＝2，OC＝4，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边AB、边BC交于点E和F，当△BEF沿EF折叠，点B恰好落在OC上，求k的值．

23．（12分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B、C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）

24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣，过点A（﹣3，2）和点B（2，），与y轴交于点C，连接AC交x轴于点D，连接OA，OB

（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣的函数表达式；

（2）求点D的坐标；

（3）∠AOB的大小是　 　；

（4）将△OCD绕点O旋转，旋转后点C的对应点是点C′，点D的对应点是点D′，直线AC′与直线BD′交于点M，在△OCD旋转过程中，当点M与点C′重合时，请直接写出点M到AB的距离．

25．（14分）如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE＝∠ACB．

（1）求证：AH是⊙O的切线；

（2）若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值；

（3）若＝，求证：CD＝DH．

参考答案

1．B．

2．B．

3．D．

4．D．

5．B．

6．A．

7．C．

8．C．

9．A．

10．D．

11．a（a+3）（a﹣3）．

12．x＝﹣4

13．π+．

14．x＝3．

15．y＝﹣．

16．．

17．解：将原方程整理，得

x2+2x＝15（1分）

两边都加上12，得

x2+2x+12＝15+12（2分）

即（x+1）2＝16

开平方，得x+1＝±4，即x+1＝4，或x+1＝﹣4（4分）

∴x1＝3，x2＝﹣5（5分）

18．

解：（1）如图点P即为所求；

（2）如图点Q即为所求；

19．解：原式＝（﹣）÷

＝•

＝，

当x＝4时，原式＝＝．

20．解：（1）10÷20%＝50，

所以本次抽样调查共抽取了50名学生；

（2）测试结果为C等级的学生数为50﹣10﹣20﹣4＝16（人）；

补全条形图如图所示：

（3）700×＝56，

所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名；

（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，

所以抽取的两人恰好都是男生的概率＝＝．

21．（1）证明：延长AO交BC于H．

∵＝，

∴OA⊥BC，

∴BH＝CH，

∴AO垂直平分线段BC．

（2）解：延长BD交⊙O于K，连接CK．

在Rt△ACH中，∵tan∠ACH＝＝，

∴可以假设AH＝4k，CH＝3k，设OA＝r，

在Rt△BOH中，∵OB2＝BH2+OH2，

∴r2＝9k2+（4k﹣r）2，

∴r＝k，

∴OH＝AH＝OA＝k，

∵BK是直径，

∴∠BCK＝90°，

∴CK⊥BC，∵OA⊥BC，

∴OA∥CK，

∵BO＝OK，BH＝HC，

∴CK＝2OH＝k，

∵CK∥OA，

∴△AOD∽△CKD，

∴＝＝＝．

22．解：（1）设E（a，b），则OA＝b，AE＝a，k＝ab

∵△AOE的面积为1，

∴k＝1，k＝2；

答：k的值为：2．

（2）过E作ED⊥OC，垂足为D，△BEF沿EF折叠，点B恰好落在OC上的B′，

∵OA＝2，OC＝4，点E、F在反比例函数y＝的图象上，

∴E（，2），F（4，），

∴EB＝EB′＝4﹣，BF＝B′F＝2﹣，

∴＝，

由△EB′F∽△B′CF得：，

∵DE＝2，

∴B′C＝1，

在Rt△B′FC中，由勾股定理得：

12+（）2＝（2﹣）2，解得：k＝3，

答：k的值为：3．

23．解：过B作BD⊥AC于点D．

在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝4×0.8＝3.2（千米），

∵△BCD中，∠CBD＝90°﹣35°＝55°，

∴CD＝BD•tan∠CBD＝4.48（千米），

∴BC＝CD÷sin∠CBD≈6（千米）．

答：B、C两地的距离大约是6千米．

24．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣过点A（﹣3，2）和点B（2，）

∴ 解得：

∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+x﹣

（2）当x＝0时，y＝ax2+bx﹣＝﹣

∴C（0，﹣）

设直线AC解析式为：y＝kx+c

∴ 解得：

∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣

当y＝0时，﹣x﹣＝0，解得：x＝﹣1

∴D（﹣1，0）

（3）如图1，连接AB

∵A（﹣3，2），B（2，）

∴OA2＝32+（2）2＝21，OB2＝22+（）2＝7，AB2＝（2+3）2+（）2＝28

∴OA2+OB2＝AB2

∴∠AOB＝90°

故答案为：90°．

（4）过点M作MH⊥AB于点H，则MH的长为点M到AB的距离．

①如图2，当点M与点C′重合且在y轴右侧时，

∵△OCD绕点O旋转得△OC'D'（即△OMD）

∴OM＝OC＝，OD'＝OD＝1，∠MOD'＝∠COD＝90°

∴MD'＝＝2，∠MD'O＝60°，∠OMD'＝30°

∵∠MOD'＝∠AOB＝90°

∴∠MOD'+∠BOM＝∠AOB+∠BOM

即∠BOD'＝∠AOM

∵OA＝，OB＝

∴

∴△BOD'∽△AOM

∴∠BD'O＝∠AMO＝60°，

∴∠AMD'＝∠AMO+∠OMD'＝60°+30°＝90°，即AM⊥BD'

设BD'＝t（t＞0），则AM＝t，BM＝BD'﹣MD'＝t﹣2

∵在Rt△AMB中，AM2+BM2＝AB2

∴（t）2+（t﹣2）2＝28

解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝3

∴AM＝3，BM＝1

∵S△AMB＝AM•BM＝AB•MH

∴MH＝

②如图3，当点M与点C′重合且在y轴左侧时，

∴∠MOD'﹣∠AOD'＝∠AOB﹣∠AOD'

即∠AOM＝∠BOD'

∴同理可证：△AOM∽△BOD'

∴∠AMO＝∠BD'O＝180°﹣∠MD'O＝120°，

∴∠AMD'＝∠AMO﹣∠OMD'＝120°﹣30°＝90°，即AM⊥BD'

设BD'＝t（t＞0），则AM＝t，BM＝BD'+MD'＝t+2

∵在Rt△AMB中，AM2+BM2＝AB2

∴（t）2+（t+2）2＝28

解得：t1＝2，t2＝﹣3（舍去）

∴AM＝2，BM＝4

∵S△AMB＝AM•BM＝AB•MH

∴MH＝

综上所述，点M到AB的距离为或．

25．（1）证明：连接OA，

由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，

∵∠ADE＝∠ACB，

∴∠ADE＝∠ADB，

∵BD是直径，

∴∠DAB＝∠DAE＝90°，

在△DAB和△DAE中，

，

∴△DAB≌△DAE，

∴AB＝AE，又∵OB＝OD，

∴OA∥DE，又∵AH⊥DE，

∴OA⊥AH，

∴AH是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知，∠E＝∠DBE，∠DBE＝∠ACD，

∴∠E＝∠ACD，

∴AE＝AC＝AB＝6．

在Rt△ABD中，AB＝6，BD＝8，∠ADE＝∠ACB，

∴sin∠ADB＝＝，即sin∠ACB＝；

（3）证明：由（2）知，OA是△BDE的中位线，

∴OA∥DE，OA＝DE．

∴△CDF∽△AOF，

∴＝＝，

∴CD＝OA＝DE，即CD＝CE，

∵AC＝AE，AH⊥CE，

∴CH＝HE＝CE，

∴CD＝CH，

∴CD＝DH．

中学自主招生数学试卷

一．选择题（满分30分，每小题3分）

1．估计﹣2的值在（　　）

A．0到l之间 B．1到2之问 C．2到3之间 D．3到4之间

2．已知图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（　　）

A． B．

C． D．

3．下列计算正确的是（　　）

A．3x2﹣2x2＝1 B． +＝ C．x÷y•＝x D．a2•a3＝a5

4．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

5．甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，则成绩比较稳定的是（　　）

A．甲稳定 B．乙稳定 C．一样稳定 D．无法比较

6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（　　）

A． B．

C． D．

7．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则函数y＝﹣bx+k的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

8．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（　　）

A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣36x+36＝0

C．4x2+4x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0

9．如图，在菱形ABCD中，点P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，设点P运动时间为x，△APC的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（　　）

A． B．

C． D．

10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（　　）

A． B．2 C．π D．π

二．填空题（满分18分，每小题3分）

11．因式分解：a3﹣9a＝　 　．

12．方程＝的解是　 　．

13．已知，如图，扇形AOB中，∠AOB＝120°，OA＝2，若以A为圆心，OA长为半径画弧交弧AB于点C，过点C作CD⊥OA，垂足为D，则图中阴影部分的面积为　 　．

14．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则此抛物线的对称轴是　 　．

15．已知点A是双曲线y＝在第一象限的一动点，连接AO，过点O做OA⊥OB，且OB＝2OA，点B在第四象限，随着点A的运动，点B的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为　 　．

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝17，将矩形ABCD绕点D按顺时针方向旋转得到矩形DEFG，点A落在矩形ABCD的边BC上，连接CG，则CG的长是　 　．

三．解答题

17．（9分）（x+3）（x﹣1）＝12（用配方法）

18．（9分）如图，在矩形ABCD中，M是BC中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图．

（1）在图1中，作AD的中点P；

（2）在图2中，作AB的中点Q．

19．（10分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝4．

20．（10分）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？

（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；

（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？

（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．

21．（12分）如图，在⊙O中，点A是的中点，连接AO，延长BO交AC于点D．

（1）求证：AO垂直平分BC．

（2）若，求的值．

22．（12分）如图，将一矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数y＝（x＞0）的图象与边BC交于点F

（1）若△OAE的面积为S1，且S1＝1，求k的值；

（2）若OA＝2，OC＝4，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边AB、边BC交于点E和F，当△BEF沿EF折叠，点B恰好落在OC上，求k的值．

23．（12分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B、C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）

24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣，过点A（﹣3，2）和点B（2，），与y轴交于点C，连接AC交x轴于点D，连接OA，OB

（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣的函数表达式；

（2）求点D的坐标；

（3）∠AOB的大小是　 　；

（4）将△OCD绕点O旋转，旋转后点C的对应点是点C′，点D的对应点是点D′，直线AC′与直线BD′交于点M，在△OCD旋转过程中，当点M与点C′重合时，请直接写出点M到AB的距离．

25．（14分）如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE＝∠ACB．

（1）求证：AH是⊙O的切线；

（2）若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值；

（3）若＝，求证：CD＝DH．

参考答案

1．B．

2．B．

3．D．

4．D．

5．B．

6．A．

7．C．

8．C．

9．A．

10．D．

11．a（a+3）（a﹣3）．

12．x＝﹣4

13．π+．

14．x＝3．

15．y＝﹣．

16．．

17．解：将原方程整理，得

x2+2x＝15（1分）

两边都加上12，得

x2+2x+12＝15+12（2分）

即（x+1）2＝16

开平方，得x+1＝±4，即x+1＝4，或x+1＝﹣4（4分）

∴x1＝3，x2＝﹣5（5分）

18．

解：（1）如图点P即为所求；

（2）如图点Q即为所求；

19．解：原式＝（﹣）÷

＝•

＝，

当x＝4时，原式＝＝．

20．解：（1）10÷20%＝50，

所以本次抽样调查共抽取了50名学生；

（2）测试结果为C等级的学生数为50﹣10﹣20﹣4＝16（人）；

补全条形图如图所示：

（3）700×＝56，

所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名；

（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，

所以抽取的两人恰好都是男生的概率＝＝．

21．（1）证明：延长AO交BC于H．

∵＝，

∴OA⊥BC，

∴BH＝CH，

∴AO垂直平分线段BC．

（2）解：延长BD交⊙O于K，连接CK．

在Rt△ACH中，∵tan∠ACH＝＝，

∴可以假设AH＝4k，CH＝3k，设OA＝r，

在Rt△BOH中，∵OB2＝BH2+OH2，

∴r2＝9k2+（4k﹣r）2，

∴r＝k，

∴OH＝AH＝OA＝k，

∵BK是直径，

∴∠BCK＝90°，

∴CK⊥BC，∵OA⊥BC，

∴OA∥CK，

∵BO＝OK，BH＝HC，

∴CK＝2OH＝k，

∵CK∥OA，

∴△AOD∽△CKD，

∴＝＝＝．

22．解：（1）设E（a，b），则OA＝b，AE＝a，k＝ab

∵△AOE的面积为1，

∴k＝1，k＝2；

答：k的值为：2．

（2）过E作ED⊥OC，垂足为D，△BEF沿EF折叠，点B恰好落在OC上的B′，

∵OA＝2，OC＝4，点E、F在反比例函数y＝的图象上，

∴E（，2），F（4，），

∴EB＝EB′＝4﹣，BF＝B′F＝2﹣，

∴＝，

由△EB′F∽△B′CF得：，

∵DE＝2，

∴B′C＝1，

在Rt△B′FC中，由勾股定理得：

12+（）2＝（2﹣）2，解得：k＝3，

答：k的值为：3．

23．解：过B作BD⊥AC于点D．

在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝4×0.8＝3.2（千米），

∵△BCD中，∠CBD＝90°﹣35°＝55°，

∴CD＝BD•tan∠CBD＝4.48（千米），

∴BC＝CD÷sin∠CBD≈6（千米）．

答：B、C两地的距离大约是6千米．

24．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣过点A（﹣3，2）和点B（2，）

∴ 解得：

∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+x﹣

（2）当x＝0时，y＝ax2+bx﹣＝﹣

∴C（0，﹣）

设直线AC解析式为：y＝kx+c

∴ 解得：

∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣

当y＝0时，﹣x﹣＝0，解得：x＝﹣1

∴D（﹣1，0）

（3）如图1，连接AB

∵A（﹣3，2），B（2，）

∴OA2＝32+（2）2＝21，OB2＝22+（）2＝7，AB2＝（2+3）2+（）2＝28

∴OA2+OB2＝AB2

∴∠AOB＝90°

故答案为：90°．

（4）过点M作MH⊥AB于点H，则MH的长为点M到AB的距离．

①如图2，当点M与点C′重合且在y轴右侧时，

∵△OCD绕点O旋转得△OC'D'（即△OMD）

∴OM＝OC＝，OD'＝OD＝1，∠MOD'＝∠COD＝90°

∴MD'＝＝2，∠MD'O＝60°，∠OMD'＝30°

∵∠MOD'＝∠AOB＝90°

∴∠MOD'+∠BOM＝∠AOB+∠BOM

即∠BOD'＝∠AOM

∵OA＝，OB＝

∴

∴△BOD'∽△AOM

∴∠BD'O＝∠AMO＝60°，

∴∠AMD'＝∠AMO+∠OMD'＝60°+30°＝90°，即AM⊥BD'

设BD'＝t（t＞0），则AM＝t，BM＝BD'﹣MD'＝t﹣2

∵在Rt△AMB中，AM2+BM2＝AB2

∴（t）2+（t﹣2）2＝28

解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝3

∴AM＝3，BM＝1

∵S△AMB＝AM•BM＝AB•MH

∴MH＝

②如图3，当点M与点C′重合且在y轴左侧时，

∴∠MOD'﹣∠AOD'＝∠AOB﹣∠AOD'

即∠AOM＝∠BOD'

∴同理可证：△AOM∽△BOD'

∴∠AMO＝∠BD'O＝180°﹣∠MD'O＝120°，

∴∠AMD'＝∠AMO﹣∠OMD'＝120°﹣30°＝90°，即AM⊥BD'

设BD'＝t（t＞0），则AM＝t，BM＝BD'+MD'＝t+2

∵在Rt△AMB中，AM2+BM2＝AB2

∴（t）2+（t+2）2＝28

解得：t1＝2，t2＝﹣3（舍去）

∴AM＝2，BM＝4

∵S△AMB＝AM•BM＝AB•MH

∴MH＝

综上所述，点M到AB的距离为或．

25．（1）证明：连接OA，

由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，

∵∠ADE＝∠ACB，

∴∠ADE＝∠ADB，

∵BD是直径，

∴∠DAB＝∠DAE＝90°，

在△DAB和△DAE中，

，

∴△DAB≌△DAE，

∴AB＝AE，又∵OB＝OD，

∴OA∥DE，又∵AH⊥DE，

∴OA⊥AH，

∴AH是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知，∠E＝∠DBE，∠DBE＝∠ACD，

∴∠E＝∠ACD，

∴AE＝AC＝AB＝6．

在Rt△ABD中，AB＝6，BD＝8，∠ADE＝∠ACB，

∴sin∠ADB＝＝，即sin∠ACB＝；

（3）证明：由（2）知，OA是△BDE的中位线，

∴OA∥DE，OA＝DE．

∴△CDF∽△AOF，

∴＝＝，

∴CD＝OA＝DE，即CD＝CE，

∵AC＝AE，AH⊥CE，

∴CH＝HE＝CE，

∴CD＝CH，

∴CD＝DH．

中学自主招生数学试卷

一．选择题（满分30分，每小题3分）

1．估计﹣2的值在（　　）

A．0到l之间 B．1到2之问 C．2到3之间 D．3到4之间

2．已知图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（　　）

A． B．

C． D．

3．下列计算正确的是（　　）

A．3x2﹣2x2＝1 B． +＝ C．x÷y•＝x D．a2•a3＝a5

4．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

5．甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，则成绩比较稳定的是（　　）

A．甲稳定 B．乙稳定 C．一样稳定 D．无法比较

6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（　　）

A． B．

C． D．

7．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则函数y＝﹣bx+k的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

8．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（　　）

A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣36x+36＝0

C．4x2+4x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0

9．如图，在菱形ABCD中，点P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，设点P运动时间为x，△APC的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（　　）

A． B．

C． D．

10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（　　）

A． B．2 C．π D．π

二．填空题（满分18分，每小题3分）

11．因式分解：a3﹣9a＝　 　．

12．方程＝的解是　 　．

13．已知，如图，扇形AOB中，∠AOB＝120°，OA＝2，若以A为圆心，OA长为半径画弧交弧AB于点C，过点C作CD⊥OA，垂足为D，则图中阴影部分的面积为　 　．

14．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则此抛物线的对称轴是　 　．

15．已知点A是双曲线y＝在第一象限的一动点，连接AO，过点O做OA⊥OB，且OB＝2OA，点B在第四象限，随着点A的运动，点B的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为　 　．

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝17，将矩形ABCD绕点D按顺时针方向旋转得到矩形DEFG，点A落在矩形ABCD的边BC上，连接CG，则CG的长是　 　．

三．解答题

17．（9分）（x+3）（x﹣1）＝12（用配方法）

18．（9分）如图，在矩形ABCD中，M是BC中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图．

（1）在图1中，作AD的中点P；

（2）在图2中，作AB的中点Q．

19．（10分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝4．

20．（10分）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？

（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；

（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？

（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．

21．（12分）如图，在⊙O中，点A是的中点，连接AO，延长BO交AC于点D．

（1）求证：AO垂直平分BC．

（2）若，求的值．

22．（12分）如图，将一矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数y＝（x＞0）的图象与边BC交于点F

（1）若△OAE的面积为S1，且S1＝1，求k的值；

（2）若OA＝2，OC＝4，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边AB、边BC交于点E和F，当△BEF沿EF折叠，点B恰好落在OC上，求k的值．

23．（12分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B、C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）

24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣，过点A（﹣3，2）和点B（2，），与y轴交于点C，连接AC交x轴于点D，连接OA，OB

（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣的函数表达式；

（2）求点D的坐标；

（3）∠AOB的大小是　 　；

（4）将△OCD绕点O旋转，旋转后点C的对应点是点C′，点D的对应点是点D′，直线AC′与直线BD′交于点M，在△OCD旋转过程中，当点M与点C′重合时，请直接写出点M到AB的距离．

25．（14分）如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE＝∠ACB．

（1）求证：AH是⊙O的切线；

（2）若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值；

（3）若＝，求证：CD＝DH．

参考答案

1．B．

2．B．

3．D．

4．D．

5．B．

6．A．

7．C．

8．C．

9．A．

10．D．

11．a（a+3）（a﹣3）．

12．x＝﹣4

13．π+．

14．x＝3．

15．y＝﹣．

16．．

17．解：将原方程整理，得

x2+2x＝15（1分）

两边都加上12，得

x2+2x+12＝15+12（2分）

即（x+1）2＝16

开平方，得x+1＝±4，即x+1＝4，或x+1＝﹣4（4分）

∴x1＝3，x2＝﹣5（5分）

18．

解：（1）如图点P即为所求；

（2）如图点Q即为所求；

19．解：原式＝（﹣）÷

＝•

＝，

当x＝4时，原式＝＝．

20．解：（1）10÷20%＝50，

所以本次抽样调查共抽取了50名学生；

（2）测试结果为C等级的学生数为50﹣10﹣20﹣4＝16（人）；

补全条形图如图所示：

（3）700×＝56，

所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名；

（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，

所以抽取的两人恰好都是男生的概率＝＝．

21．（1）证明：延长AO交BC于H．

∵＝，

∴OA⊥BC，

∴BH＝CH，

∴AO垂直平分线段BC．

（2）解：延长BD交⊙O于K，连接CK．

在Rt△ACH中，∵tan∠ACH＝＝，

∴可以假设AH＝4k，CH＝3k，设OA＝r，

在Rt△BOH中，∵OB2＝BH2+OH2，

∴r2＝9k2+（4k﹣r）2，

∴r＝k，

∴OH＝AH＝OA＝k，

∵BK是直径，

∴∠BCK＝90°，

∴CK⊥BC，∵OA⊥BC，

∴OA∥CK，

∵BO＝OK，BH＝HC，

∴CK＝2OH＝k，

∵CK∥OA，

∴△AOD∽△CKD，

∴＝＝＝．

22．解：（1）设E（a，b），则OA＝b，AE＝a，k＝ab

∵△AOE的面积为1，

∴k＝1，k＝2；

答：k的值为：2．

（2）过E作ED⊥OC，垂足为D，△BEF沿EF折叠，点B恰好落在OC上的B′，

∵OA＝2，OC＝4，点E、F在反比例函数y＝的图象上，

∴E（，2），F（4，），

∴EB＝EB′＝4﹣，BF＝B′F＝2﹣，

∴＝，

由△EB′F∽△B′CF得：，

∵DE＝2，

∴B′C＝1，

在Rt△B′FC中，由勾股定理得：

12+（）2＝（2﹣）2，解得：k＝3，

答：k的值为：3．

23．解：过B作BD⊥AC于点D．

在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝4×0.8＝3.2（千米），

∵△BCD中，∠CBD＝90°﹣35°＝55°，

∴CD＝BD•tan∠CBD＝4.48（千米），

∴BC＝CD÷sin∠CBD≈6（千米）．

答：B、C两地的距离大约是6千米．

24．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣过点A（﹣3，2）和点B（2，）

∴ 解得：

∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+x﹣

（2）当x＝0时，y＝ax2+bx﹣＝﹣

∴C（0，﹣）

设直线AC解析式为：y＝kx+c

∴ 解得：

∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣

当y＝0时，﹣x﹣＝0，解得：x＝﹣1

∴D（﹣1，0）

（3）如图1，连接AB

∵A（﹣3，2），B（2，）

∴OA2＝32+（2）2＝21，OB2＝22+（）2＝7，AB2＝（2+3）2+（）2＝28

∴OA2+OB2＝AB2

∴∠AOB＝90°

故答案为：90°．

（4）过点M作MH⊥AB于点H，则MH的长为点M到AB的距离．

①如图2，当点M与点C′重合且在y轴右侧时，

∵△OCD绕点O旋转得△OC'D'（即△OMD）

∴OM＝OC＝，OD'＝OD＝1，∠MOD'＝∠COD＝90°

∴MD'＝＝2，∠MD'O＝60°，∠OMD'＝30°

∵∠MOD'＝∠AOB＝90°

∴∠MOD'+∠BOM＝∠AOB+∠BOM

即∠BOD'＝∠AOM

∵OA＝，OB＝

∴

∴△BOD'∽△AOM

∴∠BD'O＝∠AMO＝60°，

∴∠AMD'＝∠AMO+∠OMD'＝60°+30°＝90°，即AM⊥BD'

设BD'＝t（t＞0），则AM＝t，BM＝BD'﹣MD'＝t﹣2

∵在Rt△AMB中，AM2+BM2＝AB2

∴（t）2+（t﹣2）2＝28

解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝3

∴AM＝3，BM＝1

∵S△AMB＝AM•BM＝AB•MH

∴MH＝

②如图3，当点M与点C′重合且在y轴左侧时，

∴∠MOD'﹣∠AOD'＝∠AOB﹣∠AOD'

即∠AOM＝∠BOD'

∴同理可证：△AOM∽△BOD'

∴∠AMO＝∠BD'O＝180°﹣∠MD'O＝120°，

∴∠AMD'＝∠AMO﹣∠OMD'＝120°﹣30°＝90°，即AM⊥BD'

设BD'＝t（t＞0），则AM＝t，BM＝BD'+MD'＝t+2

∵在Rt△AMB中，AM2+BM2＝AB2

∴（t）2+（t+2）2＝28

解得：t1＝2，t2＝﹣3（舍去）

∴AM＝2，BM＝4

∵S△AMB＝AM•BM＝AB•MH

∴MH＝

综上所述，点M到AB的距离为或．

25．（1）证明：连接OA，

由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，

∵∠ADE＝∠ACB，

∴∠ADE＝∠ADB，

∵BD是直径，

∴∠DAB＝∠DAE＝90°，

在△DAB和△DAE中，

，

∴△DAB≌△DAE，

∴AB＝AE，又∵OB＝OD，

∴OA∥DE，又∵AH⊥DE，

∴OA⊥AH，

∴AH是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知，∠E＝∠DBE，∠DBE＝∠ACD，

∴∠E＝∠ACD，

∴AE＝AC＝AB＝6．

在Rt△ABD中，AB＝6，BD＝8，∠ADE＝∠ACB，

∴sin∠ADB＝＝，即sin∠ACB＝；

（3）证明：由（2）知，OA是△BDE的中位线，

∴OA∥DE，OA＝DE．

∴△CDF∽△AOF，

∴＝＝，

∴CD＝OA＝DE，即CD＝CE，

∵AC＝AE，AH⊥CE，

∴CH＝HE＝CE，

∴CD＝CH，

∴CD＝DH．

中学自主招生数学试卷

一、选择题（本题共有8小题，每小题5分，共40分.请选出一个正确的选项，将其代号填入题后的括号内，不选、多选、错选均不给分）

1．已知a是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，那么a4+a﹣4的末位数字是（　　）

A．3 B．5 C．7 D．9

2．某个一次函数的图象与直线y＝x+3平行，与x轴，y轴的交点分别为A，B，并且过点（﹣2，﹣4），则在线段AB上（包括点A，B），横、纵坐标都是整数的点有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

3．菱形的两条对角线之和为L，面积为S，则它的边长为（　　）

A． B． C． D．

4．某商场出售甲、乙、丙三种型号的电动车，已知甲型车在第一季度的销售额占这三种车总销售额的56%，第二季度乙、丙两种型号的车的销售额比第一季度减少了a%，但该商场电动车的总销售额比第一季度增加了12%，且甲型车的销售额比第一季度增加了23%．则a的值为（　　）

A．8 B．6 C．3 D．2

5．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数y＝x2+mx+n的图象与x轴有两个不同交点的概率是（　　）

A． B． C． D．

6．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，E是AD的中点，AB+BC+CD＝6，，则梯形ABCD的面积等于（　　）

A．13 B．8 C． D．4

7．如图，已知圆心为A，B，C的三个圆彼此相切，且均与直线l相切．若⊙A，⊙B，⊙C的半径分别为a，b，c（0＜c＜a＜b），则a，b，c一定满足的关系式为（　　）

A．2b＝a+c B．＝ C． D．

8．已知函数y＝3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程3﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（　　）

A．m＜n＜b＜a B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b

二、填空题（本题共7小题，每小题5分，共35分.将答案填在题中横线上）

9．假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座，租金400元；乙种客车每辆车有50个座，租金480元．则租用该公司客车最少需用租金　 　元．

10．若a+x2＝2010，b+x2＝2011，c+x2＝2012，且abc＝24．则的值为　 　．

11．如下左图，小明设计了一个电子游戏：一电子跳蚤从横坐标为t（t＞0）的P1点开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线y＝ax2（a＞0）上向右跳动，得到点P2、P3，这时△P1P2P3的面积为　 　．

12．在直角梯形ABCD中，∠A为直角，AB∥CD，AB＝7，CD＝5，AD＝2．一条动直线l交AB于P，交CD于Q，且将梯形ABCD分为面积相等的两部分，则点A到动直线l的距离的最大值为　 　．

13．如图，把正方形ABCD沿着直线EF对折，使顶点C落在边AB的中点M，已知正方形的边长为4，那么折痕EF的长为　 　．

14．点D是△ABC的边AB上的一点，使得AB＝3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得∠ADP＝∠ACB，则的值为　 　．

15．观察下列图形，根据图①、②、③的规律，若图①为第1次分割，图②为第2次分割，图③为第3次分割，按照这个规律一直分割下去，进行了n（n≥1）次分割，图中一共有　 　个三角形（用含n的代数式表示）．

三、简答题（本题有4小题，共45分.务必写出解答过程）

16．（9分）已知，一次函数（k是不为0的自然数，且是常数）的图象与两坐标轴所围成的图形的面积为Sk（即k＝1时，得S1，k＝2时，得S2，…）．试求S1+S2+S3+…+S2012的值．

17．（12分）如图所示，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，使得△CMN的周长为2．

求：（1）∠MAN的大小；

（2）△MAN面积的最小值．

18．（12分）若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同．如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕．现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的．问：

（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？

（2）参加装卸的有多少名工人？

19．（12分）对非负实数x，“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果，则＜x＞＝n．

试解决下列问题：

（1）①当x≥0，m为非负整数时，求证：＜x+m＞＝m+＜x＞；②举例说明＜x+y＞＝＜x＞+＜y＞不恒成立；

（2）求满足的所有非负实数x的值；

（3）设n为常数，且为正整数，函数的自变量x在n≤x＜n+1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a，满足的所有整数k的个数记为b．求证：a＝b＝2n．

参考答案

一、选择题（本题共有8小题，每小题5分，共40分.请选出一个正确的选项，将其代号填入题后的括号内，不选、多选、错选均不给分）

1．【解答】解：根据韦达定理可得：方程x2﹣5x+1＝0的两根之积为1，两根之和为5，

∵a是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，

∴另一个根为a﹣1，

∴a+a﹣1＝5，

∴a4+a﹣4＝（a2+a﹣2）2﹣2＝[（a+a﹣1）2﹣2]2﹣2，

∵232末位数字是9，

∴a4+a﹣4末位数字为7．

故选：C．

2．【解答】解：根据题意，设一次函数的解析式为y＝x+b，

由点（﹣2，﹣4）在该函数图象上，得﹣4＝×（﹣2）+b，解得b＝﹣3．

所以，y＝x﹣3．可得点A（6，0），B（0，﹣3）．

由0≤x≤6，且x为整数，取x＝0，2，4，6时，对应的y是整数．

因此，在线段AB上（包括点A、B），横、纵坐标都是整数的点有4个．

故选：B．

3．【解答】解：设边长为m，一条对角线为2a，另外一条为2b，则

a+b＝L，2ab＝S

∵m2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝L2﹣S

∴m＝．

故选：C．

4．【解答】解：把第一季度的销售额看作单位1；

则有56%×（1+23%）+（1﹣56%）•（1﹣a%）＝1+12%，

解可得：a＝2；

故选：D．

5．【解答】解：掷骰子有6×6＝36种情况．

根据题意有：4n﹣m2＜0，

因此满足的点有：n＝1，m＝3，4，5，6，

n＝2，m＝3，4，5，6，

n＝3，m＝4，5，6，

n＝4，m＝5，6，

n＝5，m＝5，6，

n＝6，m＝5，6，

共有17种，

故概率为：17÷36＝．

故选：C．

6．【解答】解：如图，过点E作EF∥AB交BC于点F，

则BF＝BC，EF＝（AB+CD）＝（6﹣BC），

又∵AB⊥BC，

∴EF⊥BC，

∴在Rt△BFE中，EF2+BF2＝BE2．

∴，即BC2﹣6BC+8＝0，

解得BC＝2或BC＝4，则EF＝2或EF＝1，

∴S梯形ABCD＝EF•BC＝4．

故选：D．

7．【解答】解：过点A、B、C分别向直线l引垂线，垂足分别为A1、B1、C1，易得：

A1B1＝＝2，

同理B1C1＝＝2，

A1C1＝＝2；

又有A1C1+B1C1＝A1B1，

可得＝+，

两边同除以可得：

．

故选：D．

8．【解答】解：由3﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0变形得（x﹣m）（x﹣n）＝3，

∴x﹣m＞0，x﹣n＞0或x﹣m＜0，x﹣n＜0，

∴x＞m，x＞n或x＜m，x＜n，

∵a，b是方程的两个根，将a，b代入，得：a＞m，a＞n，b＜m，b＜n或a＜m，a＜n，b＞m，b＞n，

观察选项可知：a＜b，m＜n，只有D可能成立．

故选：D．

二、填空题（本题共7小题，每小题5分，共35分.将答案填在题中横线上）

9．【解答】解：若只租甲种客车需要360÷40＝9辆．若只租乙种客车需要8辆，因而两种客车用共租8辆．

设甲车有x辆，乙车有8﹣x辆，则40x+50（8﹣x）≥360，

解得：x≤4，

整数解为0、1、2、3、4．

汽车的租金W＝400x+480（8﹣x）即W＝﹣80x+3840

W的值随x的增大而减小，因而当x＝4时，W最小．

故取x＝4，W的最小值是3520元．

故答案为：3520．

10．【解答】解：∵a+x2＝2010，b+x2＝2011，c+x2＝2012，

∴2010﹣a＝2011﹣b＝2012﹣c，

∴b＝a+1，c＝a+2，又abc＝24，

则

＝﹣

＝

＝

＝＝．

故答案为：．

11．【解答】解：作P1A⊥x轴，P2B⊥x轴，P3C⊥x轴，垂足分别为A，B，C．

由题意得A（t，0），B（t+1，0），C（t+2，0），