第十四届“小机灵杯”数学竞赛

初赛解析（四年级组）

时间：60 分钟总分：120 分

（第1题~第5题，每题6分.）

1.我们规定a★b=a⨯a-b⨯b，那么3★2+4★3+5★4+ +20★19= .

【答案】396

【考点】定义新运算

【分析】

原式=(3⨯3-2⨯2)+(4⨯4-3⨯3)+(5⨯5-4⨯4)+ 20 -19⨯19)

=3⨯3-2⨯2+4⨯4-3⨯3+5⨯5-4⨯4+ +20⨯20-19⨯19

=20⨯20-2⨯2

=400 -4

=396

2.将一个等边三角形的三个角分别剪去，剩余部分是一个正六边形，剩余部分的面积是原来等边三角形面积的.(得数用分数表示)

【答案】2

3

【考点】图形分割

【分析】

6

如图所示，将剩余部分分割可得，剩余部分的面积是原来等边三角形面积的

9

2

，即 .

3

3.小明去超市买牛奶.若买每盒6元的鲜奶，所带的钱正好用完；若买每盒9元的酸奶，钱

也正好用完，但比鲜奶少买6 盒.小明共带了元.

【答案】108元

【考点】列方程解应用题

【分析】

设小明能买酸奶x 盒，则能买鲜奶(x +6)盒；由题意可列得方程：6(x+6)=9x，解得x=12；

所以小明共带了9⨯12=108元.

4.用一根长1米的铁丝围成长和宽都是整数厘米的长方形，共有 种不同的围法.其中长方形面积的最大值是平方厘米.

【答案】25种，625平方厘米

【考点】长方形的周长，最值问题

【分析】

1 米=100 厘米，即为长方形的周长, 因此长方形的长+宽=100÷2=50厘米；

不同围法有：50=49+1=48+2=47+3= =25+25，共25种；由于长与宽的和一定，当它们的差越小时，它们的乘积也就是长方形的面积越大，因此长方形面积的最大值是25⨯25=625平方厘米.

5.用同样大小的正方形瓷砖铺正方形的地面，周围用白瓷砖，中间用黑瓷砖（如图1和图2

的铺法）.当正方形地面周围铺了80 块白瓷砖是，黑瓷砖需要块.

图1 图2

【答案】361块

【考点】方阵问题

【分析】

铺有80块白瓷砖的正方形地面上内部的黑瓷砖每行有(80-4)÷4=19块；因此黑瓷砖需要19 ⨯19 =361块.

（第6题~第10题，每题8分.）

6.在下列每个2⨯2的方格中，4个数的排列存在着某种规律.根据这样的排列规律，可知

◆= .

【答案】◆=5

【考点】找规律填数

【分析】

观察发现：在表1中：2⨯9=(1⨯6)⨯3；在表2中：3⨯8=(4⨯2)⨯3；在表3中：6⨯8=(4⨯4)⨯3；所以在表4中，应该有5⨯6=(◆⨯2)⨯3，求得◆=5.

7.学生们手中有1、2、3三种数字卡片，每种数卡都有很多张.老师请每位学生取出两张或三张数卡排成一个两位数或三位数，如果其中至少有三名学生排出的数是完全相同的，那么这些学生至少有人.

【答案】73 人

【考点】抽屉原理

【分析】

学生可能排成的不同两位数有3⨯3=9个，可能排成的不同三位数有3⨯3⨯3=27个，因此学生可能排成的不同的数一共有9 +27 =36 个；如果要保证其中至少有三名学生排出的数完全相同，那么这些学生至少有2⨯36+1=73人.

8.已知2014+迎=2015+新=2016+年，且迎⨯新⨯年=504，那么迎⨯新+新⨯年

= .

【答案】128

【考点】分解质因数

【分析】

根据2014+迎=2015+新=2016+年可知：迎=新+1=年+2；

由504=23⨯32⨯7可得，只有504=9⨯8⨯7满足条件，即迎=9，新=8，年=7；迎⨯新+新⨯年=9⨯8+8⨯7=72+56=128.

9.一个正方体的六个面上各自写着一些数，相对面上的两个数的和等于50.如果我们将右图

的正方体先从左往右翻转97次，再从前往后翻转98次，这时这个正方体底面的数是 ，前面的数是，右面的数是.（翻转一次表示翻转一个面）

【答案】底面的数是37，前面的数是35，右面的数是11

【考点】周期问题

【分析】

根据题意，初始时左面的数是50-13=37，后面的数是50-15=35，底面的数是50-11=39；

对于一个正方体来说如果连续朝同一个方向翻转4 次就会回到初始方向；

由于97÷4=24 ，98÷4=24 ，

所以原题中的操作可以简化为先从左往右翻转1次，再从前往后翻转2次；先从左往右翻转1次后，正方体的六个面分别为：

左面的数39，右面的数11，前面的数15，后面的数35，顶面的数37，底面的数13；

再从前往后翻转2 次后，正方体的六个面分别为：

左面的数39，右面的数11，前面的数35，后面的数15，顶面的数13，底面的数37；

所以按要求操作后，这个正方体底面的数是37，前面的数是35，右面的数是11.

10.学校用一笔钱来买球，如果只买排球正好能买15 个，如果只买篮球正好能买12个.现在用这些钱买来排球与篮球共14 只，买来的排球与篮球相差只.

【答案】6 只

【考点】鸡兔同笼

【分析】

由于[15,12]=60，因此可以假设这笔钱是60，

那么一只排球的价格是60 ÷15 = 4 ，一只篮球的价格是60 ÷12 = 5 ；现在用这些钱买来的14只球中篮球有(60-4⨯14)÷(5-4)=4只，排球有14-4=10只，所以买来的排球与篮球相差10 - 4 = 6只.

（第11题~第15题，每题10分.）

11.小明骑车，小明爸爸步行，他们分别从A、B两地相向而行，相遇后小明又经过了18分钟到达了B 地.已知小明骑车的速度是爸爸步行速度的倍，小4明爸爸从相遇地点步行到A地还需要分钟.

【答案】288分钟

【考点】行程问题

【分析】

小明

小明爸爸

如图所示，当小明与爸爸相遇时，由于小明的速度是爸爸的4 倍且二人运动时间相同，因此小明的路程应该是爸爸的4倍（图中的4S与S）；

而相遇后小明又经过18 分钟前进了S 的路程才到达了B 地；因为小明的速度是爸爸的4倍，所以爸爸步行S的路程需要18⨯4=72分钟；又因为爸爸从相遇地点步行到A 地还需要再走4S 的路程，所以小明爸爸从相遇地点步行到A地还需要72⨯4=288分钟.

12.如图所示，两个正方形的周长相差12 厘米，面积相差69平方厘米，大、小两个正方形的面积分别是平方厘米，平方厘米.

【答案】169 平方厘米，100平方厘米

【考点】正方形的周长与面积，平方差公式

【分析】

设大正方形的边长是a厘米，小正方形的边长是b厘米，由题意得：

⎧4a-4b =12

⎧⎪a-b=3

⎧a-b=3

⎨ -b =69，整理得⎨(a+b)(a-b)=69，即为⎨a+b=23；

⎩ ⎪⎩ ⎩

⎧a =13

解得⎨

⎩b =10

，所以大正方形面积是132=169平方厘米，小正方形面积是102=100平方厘米.

13.甲、乙两人用同样多的钱去买同一种糖果，甲买的是铁盒装的，乙买的是纸盒装的.两人都尽可能多地购买，结果甲比乙少买了4盒且余下6 元，而乙用完了所带的钱.如果甲用元原来3倍的钱去购买铁盒装的糖果，就会比乙多买31盒，而且仍余下6元.那么铁盒装的糖果售价为每盒元，纸盒装的糖果售价为每盒元.

【答案】12 元，10元

【考点】约数与倍数，列方程解应用题

【分析】

甲用原有的钱去买铁盒余下6元，那么用3倍的钱去买铁盒理论上应余下6⨯3=18元，

然而仍余下6 元，说明18 - 6 =12 元刚好又可买若干个铁盒，即铁盒的单价应为12 的约数；

有根据余下6元可知铁盒的单价必定大于6元，所以铁盒的单价只能是每盒12元；设乙买了x 盒纸盒，由甲两次所用的钱数关系可列得方程:

3⎡⎣12(x-4)+6⎤⎦=12(x+31)+6，解得x=21；

所以两人原有的钱数为12⨯(21-4)+6=210元，纸盒的单价是每盒210÷21=10元.

14.如下图所示，将一个由3个小正方形组成的形放入右边的L格子中，共有几种放法.（图形可旋转）L

【答案】48 种

【考点】对应法计数

【分析】

首先，右图中共有9个 ，每个田字格中L形有4种放法，分别为：

，共4⨯9=36种；

其次，还有一些L形不包含于图中的某个田字格，例如下图中的L形1号：

观察发现这些L 形分别对应了图中方格外部的一个凹拐角，

而这样的凹拐角共有12 个（如图所示）,因此不包含于图中的某个田字格的L 形也有12 种；综上所述，图中的L形共有36+12=48种放法.

15.一棵生命力极强的树苗，第一周在树干上长出2条树枝（如图1），第二周在原先长出

的每条树枝上又长出2

条新的树枝（如图2

2），第三周又在第二周新长出的每条树枝上再长

出条新2枝（如图3）这棵树苗按此规律生长，到第十周新的树枝长出来后，共有

条树枝.

图1 图2 图3

【答案】2046 条

【考点】等比数列求和

【分析】

第一周树上新长出1⨯2条树枝，共有2条树枝；

第二周树上新长出2⨯2=22条树枝，共有2+22条树枝；

第三周树上新长出22⨯2=23条树枝，共有2+22+23条树枝；依次类推

第十周树上新长出210条树枝，共有2+22 +23+

条树枝；

因为2 + 22 + 23+ 211 - 2 = 2046，

所以第十周新的树枝长出来后共有2046 条树枝.

第十四届“小机灵杯”数学竞赛初赛解析（四年级组）