函数零点问题

【教学目标】

知识与技能：

1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间.

2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法.

3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围.

【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识.

【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围

【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合.

一、引例

（1）．函数的零点所在的一个区间是（　　）．

A.　　 B.　　　　C.　　　D.

解法一:代数解法

解：(1)．因为，，

所以函数的零点所在的一个区间是．故选C.

二、 基础知识回顾

1．函数零点概念

对函数，把使的实数叫做函数的零点．

2.零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.即存在，使得，这个c也就是方程的根.

问题1:函数,有,那么在上函数有零点吗?

问题2:函数在区间有零点吗?

引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗?

解法二:几何解法

(1). 可化为．

画出函数和的图象，可观察得出C 正确.

函数零点、方程的根与函数图像的关系(牢记)

函数有零点

方程有实数根

函数图像有交点.

三、能力提升

1.利用函数图像求函数零点问题

例1：（1）函数的零点有 （ ）

A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个

变式1：若函数为，则有 个零点.

变式2：若函数为，则有 个零点.

解:由,可化为,画出和的图像,可得出B 正确.有4个零点,有6个零点.

(2)函数与的图像在有 个交点,

交点的横坐标之和为

解:函数与的图像在有8个交点,因为图像都关于点对称,故交点的横坐标之和为4.

（3）:若关于的方程有两个不同的实数根,求的取值范围.

解1:设,分别画两函数的图像,两图像有两个不同的交点即方程有两个不同的实数根.与的图像，当时，在第一象限平行，第二象限有一个交点，当时只有一个交点在第二象限，当时有两个交点，故.

解2:设,分别画两函数的图像,,两图像有两个不同的交点即方程有两个不同的实数根.只有当的斜率小于1时有两个交点，即，.

2.利用零点性质求参数的取值范围

探究：在上有三个零点，求a的取值范围.

解：由得

令，得或，,得

在，上单调递增，在上单调递减

，

.

变式1：方程在上有实数解，求a的取值范围.

解：由方程在上有实数解，即

由的图像可得：

变式2：在上有实数解，求a的取值范围.

解1：由，.

变式3：若不等式在上恒成立，求a的取值范围.

解：转化为恒成立问题，即得.

四、课堂小结 解决函数零点存在的区间或方程根的个数问题的主要方法有函数零点定理和应用函数图像进行判断;根据函数零点的性质求解参数的取值范围主要有分类讨论、数形结合、等价转换等方法，注重导数求出函数的单调区间和画出函数的图像的应用可以有效解决和零点相关的问题.

函数的零点问题（讲解）