4.2.1　直线与圆的位置关系

选题明细表

基础巩固

1.直线3x+4y+12=0与圆C:(x-1)2+(y-1)2=9的位置关系是(　D　)

(A)相交并且直线过圆心 (B)相交但直线不过圆心

(C)相切 (D)相离

解析:圆心C(1,1)到直线的距离d==,圆C的半径r=3,则d>r,所以直线与圆相离.故选D.

2.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为(　D　)

(A)-1或 (B)1或3

(C)-2或6 (D)0或4

解析:由弦长为2得圆心(a,0)到直线x-y=2的距离d==得a=0或4.故选D.

3.圆x2+y2=4上的点到直线x-y+2=0的距离的最大值为(　A　)

(A)2+ (B)2- (C) (D)0

解析:圆心(0,0)到直线x-y+2=0的距离d=,

所以所求最大距离为2+.

4.点P是直线x+y-3=0上的动点,由点P向圆O:x2+y2=4作切线,则切线长的最小值为(　C　)

(A)2 (B) (C) (D)

解析:因为圆C:x2+y2=4,

所以圆心C(0,0),半径r=2,

由题意可知,

点P到圆C:x2+y2=4的切线长最小时,

CP⊥直线x+y-3=0,

因为圆心到直线的距离d=,

所以切线长的最小值为=.故选C.

5.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为(　A　)

(A)± (B)± (C)±1 (D)不存在

解析:由已知利用半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形可得圆心O到直线y=kx+1的距离为,由点到直线的距离公式得=,解得k=±.

6.若直线l:y=ax与曲线C:x2+y2-4x-4y+6=0有公共点,则实数a的取值范围是　　　　. 

解析:直线l:y=ax与曲线C:x2+y2-4x-4y+6=0有公共点,恒有解,

即(1+a2)x2-4(a+1)x+6=0恒有解,

所以Δ=16(a+1)2-24(a2+1)≥0,

所以a2-4a+1≤0,

所以2-≤a≤2+.

答案:[2-,2+]

7.过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为　　　　.

解析:最短弦为过点(3,1),且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦,

易知弦心距d==,

所以最短弦长为2=2=2.

答案:2

8.求圆心在直线l1:x-y-1=0上,与直线l2:4x+3y+14=0相切,截直线l3:3x+4y+10=0所得的弦长为6的圆的方程.

解:由题意,设圆心为C(a,a-1),半径为r,

则点C到直线l2的距离是

d1==,

点C到直线l3的距离是

d2==,

由题意,得

解得a=2,r=5,

即所求圆的方程是

(x-2)2+(y-1)2=25.

能力提升

9.在圆x2+y2+2x+4y-3=0上且到直线x+y+1=0的距离为的点共有(　C　)

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

解析:圆心为(-1,-2),半径r=2,

而圆心到直线的距离d==,故圆上有3个点满足题意.

10.过点A(2,4)向圆x2+y2=4所引的切线方程为　　　　　　　　. 

解析:显然x=2为所求切线之一,

另设切线方程为y-4=k(x-2),

即kx-y+4-2k=0.

又=2,得k=,

所以切线方程为3x-4y+10=0,

故所求切线为x=2,或3x-4y+10=0.

答案:x=2或3x-4y+10=0

11.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.

(1)求证:对任意m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;

(2)设l与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求l的倾斜角;

(3)求弦AB的中点M的轨迹方程.

(1)证明:由已知直线l:y-1=m(x-1),知直线l恒过定点P(1,1).

因为12=1<5,所以P点在圆C内,

所以直线l与圆C总有两个不同的交点.

(2)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),

联立方程组

消去y得(m2+1)x2-2m2x+m2-5=0,

x1,x2是一元二次方程的两个实根,

因为|AB|=|x1-x2|,

所以=·,

所以m2=3,m=±,

所以l的倾斜角为或.

(3)解:设M(x,y),因为C(0,1),P(1,1),

当M与P不重合时,

|CM|2+|PM|2=|CP|2,

所以x2+(y-1)2+(x-1)2+(y-1)2=1.

整理得轨迹方程为x2+y2-x-2y+1=0(x≠1).

当M与P重合时,M(1,1)满足上式,

故M的轨迹方程为x2+y2-x-2y+1=0.

探究创新

12.已知圆M过两点C(1,-1),D(-1,1)且圆心M在x+y-2=0上.

(1)求圆M的方程;

(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.

解:(1)设圆心M(a,b),圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),

根据题意得

解得a=b=1,r=2,

故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.

(2)由题知,四边形PAMB的面积为

S=S△PAM+S△PBM

=|AM||PA|+|BM||PB|.

又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=2|PA|,

而|PA|==,

即S=2,

因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,

即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小,

所以|PM|min==3,

所以四边形PAMB面积的最小值为

S=2=2=2.

高中数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课时作业新人教A版必修2