“工具作图”和“尺规作图”

　　研究几何问题，离不开图形。为了画出符合一定条件的图形，要借助一定的绘图工具。我们在小学和初中一年级学习了用刻度尺、量角器、三角板、圆规等多种工具画线段、角、平行线、垂线、正方形、长方形、圆等图形。用这些绘图工具绘图叫做工具作图。

　　如果作图工具只允许用直尺和圆规来画图，就称为尺规作图(也称为几何作图)。这里的直尺是没有刻度的。在尺规使用上，还规定了以下三种使用方法，这就是几何作图的三个公法：

　　(1)通过两点可以引一条直线(或在两点间可以连结线段)；

　　(2)一线段可以任意延长；

　　(3)以定点为圆心、定长为半径可以作一个圆(或一段弧)。

　　几何作图就是以公法为依据、有限次使用直尺和圆规两种工具的作图方法。

　　既然作图工具有多种，为什么又要限制直尺和圆规这两种工具，而且对它们的使用又规定了严格的公法呢？这是因为几何图形的画法有一个历史发展的过程。第一，历史上，几何一直被认为是理论推演的科学，它是在极少数几个公理的基础上推演出来的。在推演过程中，常需要画出图形，特别是一些基本的图形。上述的作图公法就是与公理相符的最基本的作图方法。第二，古代人们认为画图工具本身都有误差，用它们作图不可靠。初等几何研究的对象是直线、圆或由它们组合的图形，缺少这两种工具的任何一种就无法作图，所以只好限制这两种工具，而排除其他各种画图工具(尽管它们会给作图带来方便)，这个规定一直沿袭到现在。

　　正由于几何作图受到了工具和方法的限制，因此，几何作图中就出现一些无法解决的问题，这就是“几何作图不能问题”。例如“三等分任意角”就是其中最著名的一个不能问题。所谓“不能”，就是指利用直尺和圆规，严格按照作图公法是不能作出这个图形的。几千年来直到今天，不知有多少人，花费了多少心血去研究这个问题，但都没有解决。随着数学的发展，后来人们用高等代数的知识证明了它是一个不能的问题。

　　几何作图的基本作图，一般认为有以下六个，它们是一切几何作图的基础：

　　(1)作一条线段等于已知线段；

　　(2)作一个角等于已知角；

　　(3)作已知角的平分线；

　　(4)过已知点作已知直线的垂线；

　　(5)作已知线段的垂直平分线；

　　(6)过已知直线外一点，作直线的平行线。

工具作图和尺规作图