合情推理与演绎推理

【知识网络】

1、合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。

2、演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理 。

3、三段论推理是演绎推理的主要形式，常用格式为：M—P（M是P）大前提S—M（S是M）小前提S—P（S是P）结论

4、合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。

【典型例题】

例1：（1）迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。小王

发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的一个数是 （ ）

A．1643 B．1679 C．1681 D．1697

答案：C。解析：观察可知：

累加可得：，

验证可知1681符合此式，且41×41=1681。

（2）下面给出了关于复数的四种类比推理：

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；

②由向量a的性质|a|2=a2类比得到复数z的性质|z|2=z2；

③方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是；

④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.

其中类比错误的是 ( )

A.①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③

答案：D 。解析：由复数的性质可知。

（3）定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是 ( )

（1） （2） （3） （4） （A） （B）

A. B. C. D.

答案：B。

（4）在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的”。拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的 。

答案：。解析：采用解法类比。

（5）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从指数函数中可抽象出的性质；从对数函数中可抽象出的性质。那么从函数 (写出一个具体函数即可)可抽象出的性质。

答案：y=2x。解析：形如函数y=kx (k≠0)即可，答案不惟一。

例2：已知：；

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：

_____________________________________________________= （ * ）

并给出（ * ）式的证明。

答案：一般形式:

证明：左边 =

=

=

= =

（将一般形式写成

等均正确。）

例3：在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a，则△ABC的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。

答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形，

所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。

取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A—BCD，且AB=a，AC=b，AD=c，

则此三棱锥的外接球的半径是。

例4： 请你把不等式“若是正实数，则有”推广到一般情形，并证明你的结论。

答案： 推广的结论：若都是正数，

证明： ∵都是正数 ∴，

………，，

【课内练习】

1．给定集合A、B，定义，若A={4,5,6},B={1,2,3},则集合中的所有元素之和为 （ ）

A.15 B.14 C.27 D.-14

答案：A 。 解析：，1+2+3+4+5＝15。

2．观察式子：，…，则可归纳出式子为（ ）

A、 B、

C、 D、

答案：C。解析：用n=2代入选项判断。

3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线

平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）

A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

答案：A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。

4．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，它有一定的规律性，第30个三角数与第28个三角数的差为 。

答案：59。解析：记这一系列三角数构成数列，则由归纳猜测，两式相加得。或由，猜测。

5．数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列. 类比上述结论，写出正项等比数列，若= ，则数列{}也为等比数列.

答案：。

6．“ AC,BD是菱形ABCD的对角线， AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。

答案：菱形对角线互相垂直且平分。

7．在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝;则前件首饰所用珠宝总数为________________颗.(结果用表示)

答案：66,。解析：利用归纳推理知。

8．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，

按图所标边长，由勾股定理有：

设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .

答案：。

9．已知椭圆C：具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值。试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。

答案：本题明确要求进行“性质类比”。类似的性质：若M、N是双曲线上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值。证明如下：

设，其中

设，由，

得

将代入得。

10．观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题：

（Ⅰ）求第六行的第一个数．

（Ⅱ）求第20行的第一个数．

（Ⅲ）求第20行的所有数的和．

答案：（Ⅰ）第六行的第一个数为31

（Ⅱ）∵第行的最后一个数是，第行共有个数，且这些数构成一个等差数列，设第行的第一个数是 ∴ ∴ ∴第20行的第一个数为3

（Ⅲ）第20行构成首项为381，公差为2的等差数列，且有20个数

设第20行的所有数的和为则

【作业本】

A组

1．在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为 （ ）

A．25 B．6 C．7 D．8

答案：C。解析：对于中，当n＝６时，有所以第２５项是７。

2．如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于 （ ）

A. B.

C. D.

答案：A。解析： 猜想出“黄金双曲线”的离心率等于.事实上对直角△应用勾股定理,得,即有,

注意到, ,变形得.

3．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）

A、两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°

B、由平面三角形的性质，推测空间四面体性质

C、某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人

D、在数列中，，由此推出的通项公式

答案：A。解析：B是类比推理，C、D是归纳推理。

4．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据 “三段论”推理出一个结论，则这个结论是 。

答案：②③①。解析：②是大前提，③是小前提，①是结论。

5．公比为的等比数列中，若是数列的前项积，则有也成等比数列，且公比为；类比上述结论，相应地在公差为的等差数列中，若是的前项和，则数列 也成等差数列,且公差为 。

答案：，，；300。解析：采用解法类比。

6．二十世纪六十年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一个自然数，如果它是偶数就用2除它，如果是奇数，则将它乘以3后再加1，反复进行这样两种运算，必然会得到什么结果，试考查几个数并给出猜想。

答案：取自然数6，按角谷的作法有：6÷2=3，3×3+1=10，3×5+1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1，其过程简记为6→3→10→5→16→8→4→2→1。

取自然数7，则有7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→……→1。

取自然数100，则100→50→25→76→38→19→58→29→88→44→22→……→1。

归纳猜想：这样反复运算，必然会得到1。

7．圆的垂径定理有一个推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，这一性质能推广到椭圆吗？设AB是椭圆的任一弦，M是AB的中点，设OM与AB的斜率都存在，并设为KOM、KAB，则KOM与KAB之间有何关系？并证明你的结论。

答案：KOM·KAB=。证明：设，

则=0

∵

即KOM·KAB=，而，即KOM·KAB≠－1

∴OM与AB不垂直，即不能推广到椭圆中。

B组

1．为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文对应密文,例如,明文对应密文.当接收方收到密文时,则解密得到的明文为（ ）

A． B． C． D．

答案：C。解析：本题考查阅读获取信息能力,实则为解方程组，解得，即解密得到的明文为。

2．平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成块区域，有，则的表达式为 （ ）

A、 B、 C、 D、

答案：B。解析：由，利用累加法，得。

3．设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得的值为 （ ）

A、 B、2 C、3 D、4

答案：C。解析：。

4．考察下列一组不等式：

.

将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是___________________.

答案：（或为正整数）。解析：填以及是否注明字母的取值符号和关系，也行。

5．如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正四边形“扩展”而来，……如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，

则 ；＝ .

答案：42；。

6．指出下面推理中的大前提和小前提。

（1）5与2可以比较大小； （2）直线。

答案：（1）大前提是实数可以比较大小，小前提是5与是实数。

（2）大前提是平行于同一条直线的两直线互相平行，小前提是。

7．已知函数，对任意的两个不相等的实数，都有成立，且，求的值。

答案：∵当，由，

从而可得： =

8．已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,

(1) 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；

(2)证明所得的结论。

答案：(1) a1＝, a2＝, a3＝, 猜测 an＝2－

(2) ①由（1）已得当n＝1时，命题成立；

②假设n＝k时,命题成立，即 ak＝2－,

当n＝k＋1时, a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,

且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak

∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,

∴2ak＋1＝2＋2－, ak＋1＝2－, 即当n＝k＋1时,命题成立.

根据①②得n∈N+ , an＝2－都成立

一、填空题　

1. 如下图，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：

仿此，52的“分裂”中最大的数是___________，若的“分裂”中最小的数是211，则的值为___________.

2. 下面给出三个类比推理命题（其中为有理数集，为实数集，为复数集）；

①类比推出

②类比推出

,若

③类比推出

其中类比结论正确的序号是_____________（写出所有正确结论的序号）

3. 已知，则中共有　　　　项．

4. 设(是两两不等的常数),则的值是 ______________.

二、选择题　

5. “所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于

A．演绎推理 B．类比推理 C．合情推理 D．归纳推理

6. 用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以＞0”，你认为这个推理（ ）

A．大前题错误 B．小前题错误 C．推理形式错误 D．是正确的

7. 已知扇形的弧长为，所在圆的半径为，类比三角形的面积公式：底高，可得扇形的面积公式为（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．不可类比

8. 下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（　　）

Ａ．三角形 Ｂ．梯形 Ｃ．平行四边形 Ｄ．矩形

9. 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（　　）

Ａ．25 Ｂ．66 Ｃ．91 Ｄ．120

11. 设，则（ ）

A． B． C． D．

13. 计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：

例如，用十六进制表示,则（ ）

A． B． C． D．

14. 设的最小值是（ ）

A． B． C．－3 D．

三、解答题　

15. 已知　记试通过计算的值，推测出的值。

16. 是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

17. 计算：

18. 设图像的一条对称轴是.

1）求的值； （2）求的增区间； （3）证明直线与函数的图象不相切。

一、填空题1. 9，152. ①②3. 4. 解析：，

，

二、选择题5. A6. A7. Ｃ8. Ｃ9. Ｃ10. B 解析：令，不能推出；反之

11. B 解析：，，即

13. A 解析： 14. C 解析：令

三、解答题

15. 解析：（1）………得出猜想………16. 解析：假设存在，使得所给等式成立．

令代入等式得解得以下用数学归纳法证明等式对一切正整数都成立．

（1）当时，由以上可知等式成立；

（2）假设当时，等式成立，即，

则当时，

．

由（1）（2）知，等式结一切正整数都成立．

17. 解析：

18. 解析：（1）由对称轴是，得，

而，所以（2）

，增区间为

（3），即曲线的切线的斜率不大于，

而直线的斜率，即直线不是函数的切线。

2011年高考数学一轮复习（共87节）9[1].1 - 合情推理与演绎推理