2018年普通高等学校招生全国统一考试（卷）

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷和第II卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间为120分钟。

参考公式：

如果事件A与B互斥，那么

如果事件A与B相互独立，那么

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数，若z=1+I,则+i·=

（A）-2 （B）-2i

（C）2 （D）2i

（2）“x＜0”是ln（x+1）＜0的

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是

（A）34

（B）55

（C）78

（D）89

(4) 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线l的参数方程是 (t为参数)，圆C的极坐标方程是,则直线l被圆C截得的弦长为

（A） （B）2

（C） （D）2

（5）x , y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为

（A） 或-1 （B）2或

（C）2或1 （D）2或-1

（6）设函数f(x)（x∈R）满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x≤π时，f(x)=0，则=

（A） （B）

（C）0 （D）

（7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为

（A） （B） （C）21 （D）18

（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有

（A）24对 （B）30对 （C）48对 （D）60对

（9）若函数f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为3，则实数a 的值为

（A）5或8 （B）-1或5

（C）-1或 -4 （D）-4或8

（10）在平面直角坐标系xOy中，已知向量啊a , b , | a | = | b | = 1 , a·b = 0,点Q满足=( a + b ).曲线C={ P | =acos + bsin ,0<2},区域={ P | 0 < r| | R , r < R },若C为两段分离的曲线，则

（A）1 < r < R <3 （B）1 < r < 3 R

（C）r 1 < R <3 （D）1 < r < 3 < R

2014普通高等学校招生全国统一考试（卷）

数 学（理科）

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置。

（11）若将函数的图像向右平移个单位，所的图像关于y轴对称，则的最小正值是 　　　　.

（12）数列是等差数列，若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列，则q= .

（13）设ａ≠０，ｎ是大于１的自然数，的展开式为若点Ai(i，ai)(i=0,1,2)的位置如图所示，则a=　　　　　　　．

（14）若F1，F2分别是椭圆E：（01的直线交椭圆E于A、B两点.若，轴，则椭圆E的方程为 .

（15）已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1`y1+x2`y2+x3`y3+x4`y4+x5`y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.

①S有5个不同的值

②若a⊥b，则Smin与无关

③若a∥b，则Smin与无关

④若，则Smin>0

⑤若，Smin=，则a与b的夹角为

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域.

（16）（本小题满分12分）

设△ABC的角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求的值.

（17）（本小题满分 12 分）

甲乙恋人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未初相连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛。假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立。

（ ）求甲在 4 局以（含 4 局）赢得比赛的概率；

（）记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）。

（18）（本小题满分 12 分）

设函数=1+（1+ a）X-- ，其中 a > 0 .

（ ）讨论 在其定义域上的单调性；

（）当x [0,1] 时，求取得最大值和最小值时的x 的值。

（19）（本小题满分 13 分）

如图，已知两条抛物线 ： = 2x（>0）和 ： = 2x（>0），过原点 O 的两条直线 和，与 ， 分别交于 ， 两点，与 ， 分别交于 ， 两点。

（ ）证明： //

（）过 O 作直线 （异于 ，）与 ， 分别交于 ， 两点。记与的面积分别为 ， 求的值。

（20）（本小题满分 13 分）

如果，四棱柱ABCD-中，地面ABCD 。四边形ABCD为梯形，AD // BC，且AD = 2BC . 过 ， C，D 三点的平面记，与的交点为Q .

（ ）证明：Q为的中点；

（）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；

（）若=4 ，CD=2 ，梯形ABCD 的面积为 6 ，求平面与底面ABCD所成二面角的大小。

（21）（本小题满分 13 分）

设实数c > 0 , 整数 p > 1 , n .

（ ）证明：当x > -1 且 x 0 时， > 1 =px ;

（）数列｛｝满足 > ， ，证明：

省数学（理）小题解析

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