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2017年全国1卷高考题）19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布e485c00adeabfdd348c0161360b927ab.png．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在90635e91b8fc7c0f0b581d3cfcddf8ec.png之外的零件数，求cb40d10521e9455960dfb0915574a2fb.png及02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在90635e91b8fc7c0f0b581d3cfcddf8ec.png之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

经计算得631e282453a71c02c50b872e0f2c08c4.png，b60582198cd5791fd90e9657ca6ae14d.png，其中05e42209d67fe1eb15a055e9d3b3770e.png为抽取的第865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png个零件的尺寸，770955e0fadb3251a8c1fbe75ddafb0b.png．

用样本平均数6fbdf291cda891b99cf211417ad1df18.png作为a1155692e3f69913320174f980c7eaf1.png的估计值a1155692e3f69913320174f980c7eaf1.png，用样本标准差03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.png作为3122c41ebe889f745cb9bbe1c92165c3.png的估计值3122c41ebe889f745cb9bbe1c92165c3.png，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除92721c28025385b320e4d857b5b258a4.png之外的数据，用剩下的数据估计a1155692e3f69913320174f980c7eaf1.png和3122c41ebe889f745cb9bbe1c92165c3.png（精确到0.01）．

附：若随机变量21c2e59531c8710156d34a3c30ac81d5.png服从正态分布e485c00adeabfdd348c0161360b927ab.png，则24529baa1dfe7d8077196b214ae2bb92.png，

98a3acd629fddb3f12caf03889de3a01.png，a51795c0355a0f8778d2dacb9d5e8a47.png．

19.【解】（1）抽取的一个零件的尺寸在90635e91b8fc7c0f0b581d3cfcddf8ec.png之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在90635e91b8fc7c0f0b581d3cfcddf8ec.png之外的概率为0.0026，故54f7ab1166123a1d0e17bc4b9ca7ad4b.png.因此

c690af337e776635602adb7f39bed4fc.png.

02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的数学期望为e55e5f0cc7663a84116238ed59b1e71b.png.

（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在90635e91b8fc7c0f0b581d3cfcddf8ec.png之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在90635e91b8fc7c0f0b581d3cfcddf8ec.png之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学科&网可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.

（ii）由58218fddbfd0c28a8f2ab13802e8d110.png，得a1155692e3f69913320174f980c7eaf1.png的估计值为ead7be341181bb10bd9db70856850c6c.png，3122c41ebe889f745cb9bbe1c92165c3.png的估计值为735e549435f37da9ecf019b9622bdaa2.png，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在92721c28025385b320e4d857b5b258a4.png之外，因此需对当天的生产过程进行检查.

剔除92721c28025385b320e4d857b5b258a4.png之外的数据9.22，剩下数据的平均数为9c5c7f4b994e4648ad1bbc889144e639.png，因此a1155692e3f69913320174f980c7eaf1.png的估计值为10.02.

aab876a372d75ec7fea6a79b1c49a5b5.png，剔除92721c28025385b320e4d857b5b258a4.png之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为0c5e47f03025669419532c6ba1cc6ab2.png，

因此3122c41ebe889f745cb9bbe1c92165c3.png的估计值为a51795c0355a0f8778d2dacb9d5e8a47.png

18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数90d79af00b1e8a4722f418bd2fa0a839.png和样本方差75e1b7b3dcc7c16d135aa0bb6cf5b32a.png（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值21c2e59531c8710156d34a3c30ac81d5.png服从正态分布bf2a245984636557d81d2762a472d02a.png，其中a1155692e3f69913320174f980c7eaf1.png近似为样本平均数90d79af00b1e8a4722f418bd2fa0a839.png，cd8d3ec50a2eba5e708aaa6e77c3dca6.png近似为样本方差75e1b7b3dcc7c16d135aa0bb6cf5b32a.png.

(i)利用该正态分布，求361e98a6db87c4ca64effc8932013015.png；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求cc8ee37afb5c0c9613473c98a3c6ebc1.png.

附：6121cd94f01e09dc5d59bda83de1d7c6.png≈12.2.

若21c2e59531c8710156d34a3c30ac81d5.png～bf2a245984636557d81d2762a472d02a.png，则7a4872c2415f5ce932b820902824bddd.png=0.6826，c801303566764f831dff5ac4ede61d5f.png=0.9544.

（18）解：

（I）抽取产品的质量指标值的样本平均数90d79af00b1e8a4722f418bd2fa0a839.png和样本方差75e1b7b3dcc7c16d135aa0bb6cf5b32a.png分别为

7c62e50c49450be2fa8fc5c26cffcf2b.png

565df35bdbccd93b89dc5a10dc52de17.png

=200

856189bccdcc575104e2f4489f436178.png

e9f2fdfded56ee89e9ba22ca4548ed6c.png ……6分

（II）（i）由（I）知，2de55d0cb15d29034d4f7073df2f2521.png，从而

dcb882ad5e76be6a2d856a9ed1ddb8a2.png ……9分

（ii）由（i）知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为0.682 6，

依题意知X-B(100，0.682 6)，所以1624d27a0e53c0cf639e8615fafdc5ef.png ……

（完整版）2017年全国1卷高考题正态分布题目