2019年中考数学备考之黄金考点聚焦

考点二十八：与圆有关的计算

聚焦考点☆温习理解

一、正多边形与圆
　　1.正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。
　　2.正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。
　　3.正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角=。
　　4.正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。

二、弧长和扇形面积

1、弧长公式

n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为

2、扇形面积公式

其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。

3、圆锥的侧面积

其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。

名师点睛☆典例分类

※考向一：与弦长相关的计算

典例1：（2016•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．

（1）求证：∠BDC=∠A；

（2）若CE=4，DE=2，求AD的长．

【分析】（1）利用圆的有关性质，综合运用相似或锐角三角函数导比、勾股定理等方法及知识，解决与圆有关的线段计算问题

【解答】解：（1）证明：连接OD．∵CD是⊙O切线， ∴∠ODC=90°即∠ODB+∠BDC=90°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°._即∠ODB+∠ADO=90°．∴∠BDC=∠ADO．∵OA=OD，∴ ∠ADO=∠A．∴ ∠BDC= ∠A．

(2) 易得∠E=∠ADB=90°.∴DB∥EC． ∴∠DCE=∠BDC．∵∠BDC= ∠A ,∴ ∠A=∠DCE． ∵∠E=∠E，∴△AEC∽△CED． ∴．∴16=2(2+AD),∴AD =6．

※考向二：与弧长和扇形有关的计算

典例2：（2017•无锡）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆和半圆，一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F，且EF＝2（EF与AB在圆心O1和O2的同侧），求由，EF，及AB所围成图形（图中阴影部分）的面积．

【分析】考查扇形面积的计算，矩形的性质，梯形的性质，连接，E，O2F，过E作EG⊥，过F⊥，得到四边形EGHF是矩形，根据矩形的性质得到GH＝EF＝2，求得G＝，得到∠EG＝30°，根据三角形、梯形、扇形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：连接，E，F，则四边形O2FE是等腰梯形，过E作EG⊥，过FH⊥，∴四边形EGHF是矩形，∴GH＝EF＝2，∴G＝，∵E＝1，∴GE＝，∴；∴∠EG＝30°，∴∠AE＝30°，同理∠BF＝30°，∴阴影部分的面积＝＝．

典例3：（2016·吉林·）如图，阴影部分是两个半径为1的扇形，若α=120°，β=60°，则大扇形与小扇形的面积之差为（　　）

A． B． C． D．

【分析】利用扇形的面积公式分别求出两个扇形的面积，再用较大面积减去较小的面积即可．

【解答】解： ，

故答案：B．

※考向三：与圆柱、圆锥有关的计算

典例4：（2018·聊城） 用一块圆心角为216°的扇形铁皮，做一个高为40cm的圆锥形工件（接缝忽略不计），那么这个扇形铁皮的半径是 cm．

【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形,其底面周长正好是展开图中扇形的弧长,母线长正好是扇形的半径,利用这一关系和勾股定理列方程组即可求得．

【解答】解：设扇形铁皮的半径为Rcm，圆锥工件的底面半径为rcm，根据题意得，解方程组，得，所以扇形铁皮的半径为50cm.

故答案：50．

※考向四：计算阴影部分的面积

典例5：如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为AD弧的中点．

（1）求证：OF∥BD； 

（2）若，且⊙O的半径R=6cm． 

①求证：点F为线段OC的中点；     

②求图中阴影部分（弓形）的面积．

【分析】考查圆的有关性质及利用扇形和三角形面积，计算弓形面积

【解答】解：（1）证明：∵OC为半径，点C为CD的中点，∴OC⊥AD。∵AB为直径，∴∠BDA=90 °, BD⊥AD．∴OF∥BD．

（2）①证明：∵点O为AB的中点，点F为AD的中点，∴OF=BD。∵FC∥BD，∴∠FCE=∠DBE． ∵∠FEC=∠DEB，∴△ECF∽△EBD， ∴，∴FC=BD。∴FC=FO，即点F为线段OC的中点。

②解：∵FC=FO，OC⊥AD，∴AC=AO，又∵AO=CO，∴△AOC为等边三角形．∴根据锐角三角函数定义得△AOC的高为．

∴．

答：图中阴影部分（弓形）的面积为 ．

※考向五：正多边形与圆的有关计算

典例6：（2015•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和弧BC的长分别为 （ ）

A 、 B 、 C 、 D 、

【分析】考查正多边形的边长、边心距、半径、中心角及面积等的计算

【解答】解：在正六边形中，我们连接OB、OC可以得到△OBC为等边三角形，边长等于半径4。∵OM为边心距，所以OM⊥BC，∴在边长为4的等边三角形中，边上的高。弧BC所对的圆心角为60°，由弧长计算公式：

故答案：D

题7：（2015·上海,）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是…（ ）

A、4； B、5； C、6； D、7．

【分析】考查正多边形中心角的计算.

【解答】解：边数为

故答案：B

题8：（2015•台州）如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE的最小值为____

【分析】当正六边形EFGHIJ的边长最大时，要使AE最小，以点H(H与O重合)为圆心，对角线EH为半径的圆应与正方形ABCD相切，且点E在线段OA上，此时只需求出OE,OA的值，即可得解

【解答】解：当这个正六边形的边长最大时，作正方形ABCD的内切圆⊙O，当正六边形EFGHIJ的顶点H与O重合，且点E在线段OA上时，AE最小，如图所示：∵正方形ABCD的边长为1,∴⊙O的半径OE为，AO=AC=，则AE的最小值为

故答案：

课时作业☆能力提升

一．选择题

1．（2018·襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（ ）

A．4 B．2 C． D．2

【分析】连接OC，根据垂径定理及圆周角定理即可计算

【解答】解：连接OC，根据垂径定理及圆周角定理，可得BC＝2CE，∠COE＝2∠CDA＝60°，所以CE＝OC·sin∠COE ＝2×＝，BC＝2．

故答案:D

2．（2018·德州） 如图， 从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为( )

A． B． C． D．

【分析】连接AC利用圆周角定理及扇形面积计算公式可得

【解答】解：连接AC，∵∠B＝90°，∴AC是⊙O的直径，∵AB＝BC，∴AB＝BC＝，∴此扇形的面积为．

故答案：A，

3．（2017•绵阳）“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB＝8cm，圆柱体部分的高BC＝6cm，圆锥体部分的高CD＝3cm，则这个陀螺的表面积是（ ）

A．68πcm2 B．74πcm2 C．84πcm2 D．100πcm2

【分析】圆锥的表面积加上圆柱的侧面积即可求得其表面积．

【解答】解：∵底面圆的直径为8cm，高为3cm，∴母线长为5cm，

∴其表面积＝π×4×5＋42π＋8π×6＝84πcm2，

故答案：C．

4．（2018·泰安）如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（ ）

A．40° B．50° C．60° D．70°

【分析】连接OA，OB，由切线性质定理得OB⊥BM,从而可得∠BAO=∠ABO=50°，则∠AOB=80°，利用圆周角定理得∠ACB=∠AOB=40°

【解答】解：如图，连接OA，OB，则OB⊥BM，∴∠BAO=∠ABO=∠MBA－∠OBM=140°－90°=50°，∴∠AOB=180°－50°×2=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°．

故答案:A

5．（2018·深圳）如图，一把直尺，60°的直角三角形和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是（ ）．

A．3 B．3 C．6 D．6

【分析】根据题意求出∠OAB＝60°，由直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的直径．

【解答】解： ∵∠CAD＝60°，∴∠CAB＝120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠OAB＝∠CAB＝60°，∵AB＝3cm，∴OA＝6cm，∴由勾股定理得OB＝3cm，∴光盘的直径6cm．

故答案：D．

6． (2017·达州)以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )

A． B． C． D．

【分析】本题主要考查多边形与圆中多边形的半径、边心距、中心角等概念；由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．

【解答】解：如图1，∵OC=2，∴OD=2×sin30°=1；如图2，∵OB=2，∴OE=2×sin45°=；如图3，∵OA=2，∴OD=2×cos30°=，则该三角形的三边分别为：1，，，∵ ，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是：．

7．（2018·成都）如图，在□ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．π B．2π C.3π D．6π

【分析】由平行四边形性质及扇形面积计算公式可得

【解答】解：：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠B+∠C=180°.∴∠C=180°－60°=120°.∴=3π.

故答案：C

二、填空题

8．（2018眉山）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 ．

【分析】由图形旋转组合可得S阴＝S扇ABB`＋S△AC`B`－S扇ACC`－S△ABC＝ S扇ABB`－S扇ACC`,

【解答】解：S阴＝S扇ABB`＋S△AC`B`－S扇ACC`－S△ABC＝ S扇ABB`－S扇ACC`

＝

故答案:

9．(2018·黄石)在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，则△ABC内切圆的周长为________.

【分析】由△ABC内切圆的半径及圆周长公式可得

【解答】解:△ABC内切圆的半径为：(6＋8－10)＝2，故该圆的周长为4π.

故答案：4π．

10．（2016•泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是 ．

【分析】考查三角形的外接圆与外心相关计算．首先证明AB=AC=a，根据条件可知PA=AB=AC=a，求出⊙D上到点A的最大距离即可解决问题．

【解答】解：∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），∴AB=1﹣（1﹣a）=a，CA=a+1﹣1=a，∴AB=AC，∵∠BPC=90°，∴PA=AB=AC=a，如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，∵A（1，0），D（4，4），∴AD=5，∴AP′=5+1=6，∴a的最大值为6．

故答案：6．

三、解答题

11．（2017·黔南州）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（顶点是网格线的交点）

（1）先将△ABC竖直向上平移5个单位，再水平向右平移4个单位得到△，请画出△；

（2）将△绕点顺时针旋转90°，得△，请画出△；

（3）求线段变换到的过程中扫过区域的面积．

【分析】考查动手操作能力及作图－旋转变换；扇形面积的计算；作图－平移变换（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用旋转的性质进而得出对应点位置，进而得出答案；（3）首先得出圆心角以及半径，再利用扇形面积公式直接计算得出答案．

【解答】解：（1）如图所示：△，即为所求；

（2）如图所示：△，即为所求；

（3）线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为：．

12．（2018十堰 ）如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，OA＝12，C是OB的中点，CD⊥OA交于点D，以OC为半径的交OB于点E，求图中阴影部分的面积

【分析】，连接OD，AD，易得△ADO为等边三角形,再由图形组合得∴S阴影＝S扇形AOB－S扇形COE－（S扇形AOD－S△COD）进行计算

【解答】解：如图，连接OD，AD，∵点C为OA的中点，∴OC＝OA＝OD，∵CD⊥OA，∴∠CDO＝30°，∠DOC＝60°，∴△ADO为等边三角形，OD＝OA＝12，OC＝CA＝6，∴CD＝＝＝6，∴S扇形AOD＝＝24π，

∴S阴影＝S扇形AOB－S扇形COE－（S扇形AOD－S△COD）＝ －－（24π－×6×6）＝12π+18．

13．（2018·扬州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O 为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若点F是AO的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；

（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE＋PF取最小值时，直接写出BP的长．

【分析】（1）过点O作AC的垂线，交AC于点D，证明OD＝OE，根据“圆心到直线的距离等于该圆的半径，则这条直线与该圆相切”即可证明AC是⊙O 的切线；

（2）阴影部分面积等于△AEO的面积－扇形OEF的面积，要求扇形的面积必须求出圆心角∠EOA的度数，由点F是AO的中点可知AO＝2OF＝2OE，由三角函数的知识可以得出∠EOA＝60°；

（3）作点E关于OB的对称点G，当点F、P、G共线时，PE＋PF才取最小值．

【解答】解：（1）过点O作AC的垂线OD，垂足为D∵AB＝AC，AO⊥BC于点O∴OB＝OC，∠BAO＝∠CAO∵OE⊥AB，OD⊥AC∴OE＝OD∵OE为⊙O的半径∴AC是⊙O的切线

（2）∵点F是AO的中点∴AO＝2OF∵OF＝OE＝3∴AO＝6，在Rt△AOE中，cos∠AOE＝∴∠AOE＝60°∴AE＝OE×tan∠AOE＝3×tan60°＝3

∴阴影部分的面积＝×AE×EO－＝×3×3－＝；

（3）BP＝ ．

14．（2018·襄阳）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB＝CE．

（1）求证：DA＝DE；

（2）若AB＝6，CD＝4，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OE，OC，通过证明△OEC≌△OBC，得到∠OEC＝∠OBC＝90°，先证得CD是⊙O的切线，再根据切线长定理，可得DA＝DE．（2）过点D作DF⊥BC于点F，得DF＝AB，在Rt△DFC中，先运用勾股定理求出FC＝2，再根据CD＝BC＋AD＝4，FC＝ BC－AD＝2求出BC长，然后利用特殊锐角三角函数求出∠BOC的度数，最后根据S阴影部分＝S四边形BCEO－S扇形OBE＝2S△OBC－S扇形OBE计算求解．

【解答】解：（1）证明：连接OE，OC．∵BN切⊙O于点B，∴∠OBN＝90°．∵OE＝OB，OC＝OC，CE＝CB，∴△OEC≌△OBC．∴∠OEC＝∠OBC＝90°．∴CD是⊙O的切线．∵AD切⊙O于点A，∴DA＝DE．

（2）过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形．∴AD＝BF，DF＝AB＝6．

∴DC＝BC＋AD＝4．∵FC＝＝2，∴BC－AD＝2．∴BC＝3．

在Rt△OBC中，tan∠BOC＝＝，∴∠BOC＝60°．∵△OEC≌△OBC，∴∠BOE＝2∠BOC＝120°．∴S阴影部分＝S四边形BCEO－S扇形OBE＝2×BC·OB－×π×OB2＝9－3π．

15．.(2018·武汉)如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA＝PB.

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若∠APC＝3∠BPC，求的值.

【分析】（1）由切线的性质得到∠OAP＝90°，再通过△OAP≌△OBP得到∠OBP＝∠OAP，从而判断出PB是⊙O的切线.；

（2）根据切线长定理得到OP∥BC，再根据条件∠APC＝3∠BPC得到CB＝BP.

由△PBF∽△POB，判断出PF与OF的关系，再由△PFE∽△CBE将PF与OF的关系转移到PE与CE的关系.

【解答】解：（1）证明：分别连接OB，OP，在△OAP和△OBP中，，∴△OAP≌△OBP(SSS)，∴∠OBP＝∠OAP，∵PA是⊙O的切线，∴∠OBP＝∠OAP＝90°，∴PB是⊙O的切线.

⑵连接BC，设AB与OP交于点F，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PO垂直平分AB， PO平分∠APB .∴OP∥BC， ∴∠OPC＝∠PCB.∵∠APC＝3∠BPC， ∴∠OPC＝∠CPB， ∴∠PCB＝∠CPB.∴CB＝BP．设OF＝t，则CB＝BP＝2t，由△PBF∽△POB，得PB2＝PF·PO.即(2t)2＝ PF·(PF＋t).解得PF＝.(取正值)∵△PFE∽△CBE，∴，∴ ＝＝.

16．（2018·深圳）如图，在⊙O中，BC＝2，AB＝AC，点D为上的动点，且cosB＝．

（1）求AB的长度；

（2）求AD⋅AE的值；

（3）过点A作AH⊥BD于H，求证：BH＝CD＋DH．

【分析】（1）作AM⊥BC，由等腰三角形三线合一的性质得BM＝CM＝ BC＝1，在Rt△AMB中，根据余弦定义得cosB＝ ＝，由此求出AB．
（2）连接CD，根据等腰三角形性质等边对等角得∠ACB＝∠ABC，再由圆内接四边形性质和等角的补角相等得∠ADC＝∠ACE；由相似三角形的判定得△EAC∽△CAD，根据相似三角形的性质得 ＝；  从而得AD·AE＝AC2＝AB2．
（3）在BD上取一点N，使得BN＝CD，根据SAS得△ABN≌△ACD，再由全等三角形的性质得AN＝AD，根据等腰三角形三线合一的性质得NH＝DH，从而得BH＝BN+NH＝CD+DH．

【解答】解：（1）作AM⊥BC于点M∵AB＝AC，AM⊥BC，BC＝2,BM＝CM＝ BC＝1,∵cosB＝＝，在Rt△AMB中，BM＝1, ∴AB＝BM÷cosB＝1÷＝ ．

（2）连接DC,∵AB＝AC∴∠ACB＝∠ABC,∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠ADC＋∠ABC＝180°,∵∠ACE＋∠ACB＝180°,∴∠ADC＝∠ACE,∵∠CAE为公共角,∴△EAC∽△CAD,∴ ＝,∴AD⋅AE＝AC2＝（）2＝10．

(3) 证明：在BD上取一点N，使得BN＝CD， 在△ABN和△ACD中∵
∴△ABN≌△ACD（SAS），∴AN＝AD，∵AH⊥BD，AN＝AD，∴NH＝DH，又∵BN＝CD，NH＝DH，∴BH＝BN+NH＝CD+DH．

专题28 与圆有关的计算-2019年中考数学考点总动员系列（解析版）