数理统计复习总结-西北工业大学

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1统计量与抽样分布
1.1基本概念：统计量、样本矩、经验分布函数
总体X的样本X1，X2，…，Xn，则T(X1，X2，…，Xn即为统计量 样本均值X
1n2样本方差Sn(XiX
ni1修正样本方差S*2n21n(XiX n1i121nk样本k阶原点矩AkXi,(k1,2,...
ni11nk样本k阶中心矩Bk(XiX,(k1,2,...
ni1经验分布函数Fn(xvn(x,(x 其中Vn(x表示随机事件{Xx}出现的次数,n1显然Vn(x~B(n,F(x,则有E[Fn(x]F(x D[Fn(x]F(x[1F(x]
n2ESn补充：
n1*2DX EX2DX(EX2 DX ESnn
1n2SXiX2
ni12nkk 二项分布B(n,p: P{Xk}Cnp(1pnk,(k0,1,...,n
EX=np DX=np(1-p 泊松分布P(: P{Xk}kk!e,(k0,1,...
EX DX
均匀分布U(a,b: f(x1,(axb baEXab1(ba2 DX212 指数分布: f(xex,(x0F(x1ex,(x0
1EX1 DX2

正态分布N(,: 2nSn21(x2f(xexp{} EX DX2
2222n2nSnn122(n14E(2n1ES D(22(n1DSn2
2nn2244当0时，EX0 EX EX3 EX DX(12
221.2统计量：充分统计量、因子分解定理、完备统计量、指数型分布族 T是θ的充分统计量f(x1,x2,...,xnTt与θ无关 T是θ的完备统计量要使E[g(T]=0,必有g(T=0 L(f(xi;h(x1,x2,...,xng(T(x1,x2,...,xn;且h非负T是θ的充分统计量
i1nf(x;C(exp{b(T(x,x,...,x}h(x,x,...,xT是θ的充分完备统计量
i12n12ni1nnf(x;C(exp{b(T(x,x,...,xb(T(x,x,...,x}h(x,x,...,x
i1112n2212n12ni1(T1,T2是(1,2的充分完备统计量
1.3抽样分布：分布，t分布，F分布，分位数，正态总体样本均值和方差的分布，非正态总体样本均值的分布
2分布：XX...X~(n f(x2221222n21n2(2n2exx2n12(x0
E2n D22n
T分布：TnX~t(n 当n>2时，ET=0 DT
n2Y/nXF分布：Fn1n2Y~F(n1,n2
1F(n2,n1
F补充：
Z=X+Y的概率密度fz(z合概率密度
f(x,zxdxf(zy,ydy f(x,y是X和Y的联

YZ的概率密度fz(zf(x,xzxdx
Xyg(x的概率密度fy(yfx(g1(y[g1(y]'
函数：(x1exdx (1( (n(n1!,(11
0 B函数：B(,10x1(1x1dx B(,((
(X、样本极差R 1.4次序统计量及其分布：次序统计量、样本中位数X(k的分布密度：fx(k(xn![F(x]k1[1F(x]nkf(x,(k1,2,...,n
(k1!(nk!X(1的分布密度：fx(xnf(x[1F(x]n1
(1X(n的分布密度：fx(n(xnf(x[F(x]n1
2参数估计
2.1点估计与优良性：概念、无偏估计、均方误差准则、相合估计(一致估计、渐近正态估计
的均方误差：MSE(,E(2D(E2
是无偏估计，则MSE(,D 若，是的最小方差无偏估计，D，对于的任意一个无偏估计量有D则记MVUE n0 相合估计(一致估计:limEn limDn**n2.2点估计量的求法：矩估计法、最大似然估计法 矩估计法：
① 求出总体的k阶原点矩:akEXkxkdF(x;1,2,...,m
1nkkk(X,X,...,X即为所求 ② 解方程组akXi (k=1,2,...,m，得12nni1最大似然估计法：
① 写出似然函数L(f(xi;，求出lnL及似然方程i1nlnL0
i=1,2,...,m ii(x,x,...,x，即最大似然估计i(X,X,...,X i=1,2,...,m ② 解似然方程得到12n12n补充：

似然方程无解时，求出的定义域中使得似然函数最大的值，即为最大似然估计 2.3MVUE和有效估计：最小方差无偏估计、有效估计
E(|T为的惟一的MVUE 是的一个无偏估计T是的充分完备统计量，最小方差无偏估计的求解步骤：
① 求出参数的充分完备统计量T *g1(T是的一个无偏估计 ② 求出ETg(，则或求出一个无偏估计，然后改写成用T表示的函数
11③ 综合，E[g(TT]g(T是的MVUE 或者：求出的矩估计或ML估计，再求效率，为1则必为MVUE [g'(]2T是g(的一个无偏估计，则满足信息不等式D[T(X]，其中nI(2lnf(X;lnf(X;或I(E I(E0，f(X;为样本的联合分布。2最小方差无偏估计达到罗-克拉姆下界有效估计量效率为1 2的效率：e(无偏估计1 DnI(是的最大似然估计，且是的充分统计量是的有效估计
2.4区间估计：概念、正态总体区间估计(期望、方差、均值差、方差比及单侧估计、非正态总体参数和区间估计 一个总体的情况：X~N(,

22已知，求的置信区间：X00S*nn~N(0,1X00n*Snu
2未知，求的置信区间：2X0nin~t(n1X02nit(n1
22已知，求2的置信区间：未知，求2的置信区间：
(Xi12~2(n(Xi122n(n2(Xi1ni2(n
212(X
i1niX22~2(n1(Xi122niX2(n12(Xi1niX2
212(n1
2两个总体的情况：X~N(1,12，Y~N(2,2 212,2均已知时，求12的区间估计：XY(12
21n122~N(0,1XY(1212n122n2u
2n221222未知时，求12的区间估计：
XY(12*2(n11S1*2(n1Sn122n2n1n2(n1n22~t(n1n22
n1n2121,2未知时，求2：
2

*2S2n212S1*n1222~F(n21,n11S1*n1*S2n222F(n21,n1112*F(n21,n11 S2n2222122S1*n12非正态总体的区间估计：
SXL当n时，N(0,1Xnu
Snnn2XmnSnlim1n，故用Sn代替Sn-1
Sn1m1mm~N(0,1u 1nnn1mm2n1nnn3统计决策与贝叶斯估计
3.1统计决策的基本概念：三要素、统计决策函数及风险函数
三要素：样本空间和分布族、行动空间（判决空间）、损失函数L(,d 统计决策函数d(X:本质上是一个统计量，可用来估计未知参数 风险函数：R(,dE[L(,d(X]是关于的函数
3.2贝叶斯估计：先验分布与后验分布、贝叶斯风险、贝叶斯估计
① 求样本X=(X1,X2,...,Xn的分布：q(x|f(x|
ii1n② 样本X与的联合概率分布：f(x,h(|xm(xq(x|(

③ 求f(x,关于x的边缘密度m(xf(x,d
④ 的后验密度为：h(|xf(x,
m(x取L(,d(d2时
E(|xh(|xd 的贝叶斯估计为：R(,dE(d2贝叶斯风险为：
RB(dE[R(,d]E(d2h(|xd取L(,d((d2时，贝叶斯估计为：补充：
E[(|x]
E[(|x]C(的贝叶斯估计：取损失函数L(,d(C(d2，则贝叶斯估计为
(E[C(|x]C(h(|xd C
E(|xh(|xdf(x,m(xdf(x,df(x,d
3.3minimax估计
对决策空间中的决策函数d1(X,d2(X,...，分别求出在上的最大风险值maxR(,d
在所有的最大风险值中选取相对最小值，此值对应的决策函数就是最小最大决策函数。
4假设检验
4.1基本概念：零假设(H0与备选假设(H1、检验规则、两类错误、势函数 零假设通常受到保护，而备选假设是当零假设被拒绝后才能被接受。
检验规则：构造一个统计量T(X1,X2,...,X3，当H0服从某一分布，当H0不成立时，T的偏大偏小特征。据此，构造拒绝域W 第一类错误（弃真错误）：P{TW|H0为真} 第二类错误（存伪错误）：P{TW|H0为假}
1,XW.势函数：(E((XP {XW}(XXW.0,当0时，(为犯第一类错误的概率

当1时，1(为犯第二类错误的概率
4.2正态总体均值与方差的假设检验：t检验、X2检验、F检验、单边检验 一个总体的情况：X~N(,2

2已知，检验H0:0H1:0：U2未知，检验H0:0H1:0：TX0~N(0,1
0nX0~t(n1
*Snn222：H1:20已知，检验H0:20(Xi1ni22~2(n
222：H1:20未知，检验H0:20(Xi1n2Xi2~2(n1
2两个总体的情况：X~N(1,12，Y~N(2,2 21222未知时，检验H0:12H1:12：
TXY*2(n11S1*2n1(n21S2n2n1n2(n1n22~t(n1n22
n1n2S1*n1S*22n2222：F1,2未知时，检验H0:122H1:122~F(n11,n21
单边检验：举例说明，已知，检验H0:0H1:0：
构造U12X~N(0,1，给定显著性水平，有P{U1u}。当H0成0nX0defX立时U1U，因此P{Uu}P{U1u}。故拒绝域0n0n为W{Uu}
4.3非参数假设检验方法：拟合优度检验、科尔莫戈罗夫检验、斯米尔诺夫检验
2(Ninpi022拟合优度检验:H0:pipi0H1:pipi0 W{(mr1}
npi0i12m
其中Ni表示样本中取值为i的个数，r表示分布中未知参数的个数
科尔莫戈罗夫检验：H0:F(xF0(xH1:F(xF0(x 实际检验的是Fn(xF0(x
W{limsupFn(xF0(xDn,}
nx斯米尔诺夫检验：H0:F(xG(xH1:F(xG(x 实际检验的是Fn(xGn(x
W{limsupFn1(xGn2(xDn1,n2,}
nx4.4似然比检验
明确零假设和备选假设：H0:0H1:1
supL(x1,...,xn;L1(x1,...,xn构造似然比：
L0(x1,...,xnsupL(x1,...,xn;0拒绝域：W{(x1,...,xn}
5方差分析
5.1单因素方差分析：数学模型、离差平方和分解、显著性检验、参数估计
Xijiij数学模型ij~N(0,2,(i=1,2,...,m;j=1,2,...,ni H0：12...n
各ij相互独立总离差平方和QT(Xi1j1mnimniijX2
QTQEQA
QE2 nr组内离差平方和QE(XijXi2 E(i1j1m组间离差平方和QAni(XiX2
i1当H0成立时，E(QA2 r1QA构造统计量F(r1(nrQEQA~F(r1,nr，当H0不成立时，有偏大特征 QEXiXk~N(ik,(Q1122~(nr 且E2ninkTXiXk(ik~t(nr
11(QEnink
应用：
' 若原始数据比较大而且集中，可减去同一数值XijXijk再解题 mmni1mni1ni22 辅助量：P(Xij,Q(Xij,RXij2
ni1j1i1nij1i1j1QAQP,QERQ,QTRP
5.2两因素方差分析：数学模型、离差平方和分解、显著性检验
XijiiijH01:12...n数学模型ij~N(0,2,(i=1,2,...,r;j=1,2,...,s
H02:12...n各ij相互独立总离差平方和QT(Xi1j1rsijX2
QTQEQBQA
QE2
(r1(s1QB2 s1组内离差平方和QE(XijXiXjXi2 E(i1j1sj1rmni因素B引起的离差平方和QBr(XjX2 当H0成立时，E(s(XiX2 当H0成立时，E(i12因素A引起的离差平方和QA2QA2 r12rsrs1rs1s1r2辅助量：PXij,QIXij,QIIXij,RXij
ni1j1i1sj1j1ri1i1j1QAQIP,QBQIIP,QERQIQIIP
QA(r1QAF~F(r1,(r1(s1AQ(r1(s1QEE构造统计量：
FQB(s1QA~F(s1,(r1(s1BQ(r1(s1QEE6回归分析
6.1一元线性回归：回归模型、未知参数的估计(β、α、σ2、参数估计量的分布(βαY0σ2σ*2 Yixii2回归模型：i~N(0,i=1,2,...,n. 各相互独立i
的估计：（,）22~N(,n(xx(YYii2(xxii1ni1 分布： （,）(xix22(x2~N(,[1i1]nnx(xix2Yi1n221n1n222S2 的估计：(YiY((xix2SnYnxni1ni1E2n22*22 En6.2多元线性回归：回归模型、参数估计、分布
YiXii2回归模型：i~N(0,In
i=1,2,...,n. 各相互独立i(XTX1XTY 参数估计：XTY(XTX7多元分析初步
7.1定义及性质：定义、性质
X~Np(,其中为X的均值向量，为X的协方差矩阵
Y=CX+b，则Y~Np(Cb,CCT
若0，刚(X(X~(p
7.2参数的估计与假设检验：μ、Σ的估计、正态总体均值向量的假设检验
n1nT样本均值向量XXi 样本离差阵S(XkX(XkX
ni1k1def12S X 最大似然估计nX 最小方差无偏估计S (n1n11TX~N(, SYYii
ni1n(X0T1(X0~2(p
Fnp[n(n1(X0TS1(X0]2~F(p,np (n1
2mnmn(XYT1(XY~2(p mnFmn(mnp1(XYTS1(XY
p(mn(mn2

数理统计复习总结-西北工业大学

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