直角三角形与勾股定理A

一、选择题

1. （2011山东滨州，9，3分）在△ABC中,∠C=90°, ∠C=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)（ ）

A.9.1 B.9.5 C.3.1 D.3.5

【答案】C

2. （2011山东烟台，7,4分）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（ ）

A2m B.3m C.6m D.9m

【答案】C

3. （2011台湾全区，29）已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？

A． 100 B． 180 C． 220 D． 260

【答案】Ｃ

4. （2011湖北黄石，7，3分）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图(3)，则三角板的最大边的长为

A. 3cm B. 6cm C. 3cm D. 6cm

【答案】D

5. （2011贵州贵阳，7，3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是

（第7题图）

（A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）7

【答案】D

6. （2011河北，9，3分）如图3，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,D,E分别在AB,AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）

A． B．2 C．3 D．4

【答案】B

二、填空题

1. （2011山东德州13,4分）下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号）

①同旁内角互补，两直线平行；

②如果两个角是直角，那么它们相等；

③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

④如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形．

【答案】① ④

2. （2011浙江温州，16，5分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1,S2，S3．

若S1，S2，S3＝10，则S2的值是 ．

【答案】

3. (2011重庆綦江，16，4分) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE＝ 米时,有DC＝AE＋BC.

【答案】：

4. （2011四川凉山州，15，4分）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：

。

【答案】如果三角形三边长a，b，c，满足，那么这个三角形是直角三角形

【答案】5

6. （2011广东肇庆，13，3分）在直角三角形ABC中，∠C ＝ 90°，BC ＝ 12，AC ＝ 9，则AB＝ ▲ ．

【答案】15

7. （2011贵州安顺，16，4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是 ．

【答案】6cm2

8. （2011山东枣庄，15，4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是________cm2.

【答案】

三、解答题

1. （2011四川广安，28，10分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．

【答案】由题意可得，花圃的周长=8+8+=16+

2. （2011四川绵阳23，12）

王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.

(1)请用a表示第三条边长；

(2)问第一条边长可以为7米吗？为什么?请说明理由，并求出a的取值范围；

(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法;若不能，请说明理由.

【答案】(1)第一条边为a,第二条边为2a+2,第三条边为30-a-（2a+2）=28-3a

(2)不可以是7，∵第一条边为7，第二条边为16，第三条边为7，不满足三边之间的关系，不可以构成三角形。＞a＞5

(3)5,12,13,可以围成一个满足条件的直角三角形

3. （2011江西南昌，25，10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

设∠BAC=（0°＜＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上.

活动一：

如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒.

数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答： .（填“能”或“不能”）

（2）设AA1=A1A2=A2A3=1.

①= 度；

②若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）.

图甲

活动二：

如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2= AA1.

数学思考：

（3）若已经向右摆放了3根小棒，则= ， = ， = ；（用含的式子表示）

（4）若只能摆放4根小棒，求的范围.

图乙

【答案】解：（1）能

（2）①22.5°

②方法一：

∵AA1=A1A2=A2A3=1， A1A2⊥A2A3，∴A1A3=，AA3=1+.

又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，

∴AA3=A3A4，AA5=A5A6，∴a2= A3A4=AA3=1+,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.∵A3A5=a2,

∴a3=A5A6=AA5=a2+a2=(+1)2.

方法二：

∵AA1=A1A2=A2A3=1， A1A2⊥A2A3，∴A1A3=，AA3=1+.

又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，

∴a2=A3A4=AA3=1+,又∵∠A2A3A4=∠A4A5A6=90°，∠A2A4A3=∠A4A6A5，∴△A2A3A4∽△A4A5A6，

∴，∴a3==(+1)2.

an=(+1)n-1.

(3)

(4)由题意得，∴15°＜≤18°.

4. （2011四川乐山25，12分）如图,在直角△ABC中, ∠ACB=90,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系.

(1) 如图(14.2),当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是

证明:

(2) 如图(14.3),当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是

证明

(3) 如图(14.1),当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是

(写出关系式,不必证明)

5. （2011四川乐山18，3分）如图，在直角△ABC中，∠C=90，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数。

【答案】

解：∵AD平分∠CAD

∴∠CAD=∠BAD

∵DE垂直平分AB

∴AD=BD,∠B=∠BAD

∴∠CAD=∠BAD=∠B

∵在RtΔABC中，∠C=90º

∴∠CAD+∠DAE+∠B=90º

∴∠B=30º

6. （2011山东枣庄，21，8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：

（1）画线段AD∥BC且使AD =BC，连接CD；

（2）线段AC的长为 ，CD的长为 ，AD的长为 ；

（3）△ACD为 三角形，四边形ABCD的面积为 ；

（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是 ．

解：（1）如图； ……………………………1分

（2），，5； ………………4分

（3）直角，10； ……………………6分

（4）． ……………………………8分

直角三角形与勾股定理B

一、选择题

1. （2011湖北十堰，5，3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，DE过点C，且DE//AB，若∠ACD=500，则∠B的度数是（ ）

第5题图

A．500 B．400 C．300 D．250

【答案】B

2. （2011湖北随州，11，3分）下列说法中

①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等

②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2

③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形

④Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a，b分别是方程x2－7x＋7=0的两个根，则AB边上的中线长为

正确命题有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

3. （2011内蒙古呼和浩特市，9,3分）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD的长为 （ ）

A. B. C. D.

【答案】B

二、填空题

1. （2011广东河源，9,4分）如图1,在 Rt△ABC中,∠B=90°.ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,已知∠BAE=30°,则∠C的度数为°　　　　　　　　　　

【答案】300

2. （2011黑龙江省哈尔滨市，20，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC,垂足为E，若DE=2，CD=,则BE的长为 _。

【答案】

3. (湖南湘西,5,3分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=3,AC=4,则AB的长是______.

【答案】5

4. （2011山西，18，3分）如图，已知AB=12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10，点E是CD的中点，则AE的长是_______.

【答案】；

5. 如（2011贵州遵义，15，4分）图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是 ▲ 。

【答案】

6. （2011广东肇庆，13，3分）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝9，则AB＝ ▲ ．

【答案】15

7. （2011黑龙江绥化，10，3分）已知三角形相邻两边长分别为20和30，第三边上的高为10，则此三角形的面积为 .

【答案】或（答案不全或含错解，本题不得分）

8. （2011江西b卷，15,3分）一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示,∠1+∠2=___________度.

【答案】90°

9. （2011江苏徐州，13,3分）若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于 ▲ °

【答案】70°

10．（2011山东枣庄，15，4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是________cm2.

【答案】

三、解答题

2. （2011湖北潜江天门仙桃江汉油田，23，10分）两个大小相同且含角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合. 将图①中△DEC绕点C逆时针旋转得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点.

（1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形；

（2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转得△D1E1C，点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1 ，如图③.探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程；

（3）在（2）的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：G1I =CI.

【答案】解：（1）图②中与△BCF全等的有△GDF、 △GAH 、△ECH．

（2）=

证明：∵∴△AF1C ≌△D1H1C.

∴ F1C= H1C， 又CD1=CA，

∴CD1- F1C =CA- H1C.即

（3）连结CG1.

在△D1G1F1和△AG1H1中，

∵，∴△D1G1F1 ≌△AG1H1.

∴G1F1=G1H1

又∵H1C=F1C，G1C=G1C，∴△CG1F1 ≌△CG1H1.

∴∠1=∠2.

∵∠B=60°，∠BCF=30° ，∴∠BFC=90°.

又∵∠DCE=90°，∴∠BFC=∠DCE，

∴BA∥CE， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3，

∴G1I=CI.

直角三角形与勾股定理C

一、选择题

1. （2011湖北十堰，5，3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，DE过点C，且DE//AB，若∠ACD=500，则∠B的度数是（ ）

第5题图

A．500 B．400 C．300 D．250

【答案】B

2. （2011湖北随州，11，3分）下列说法中

①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等

②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2

③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形

④Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a，b分别是方程x2－7x＋7=0的两个根，则AB边上的中线长为

正确命题有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

3. （2011内蒙古呼和浩特市，9,3分）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD的长为 （ ）

A. B. C. D.

【答案】B

4. （2011昭通，6，3）将一副直角三角板如图2所示放置，使含300角的三角板的一条直角边和含450角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（ ）

A．450 B．600 C．750 D．850

图2

【答案】C

5. （2011•泸州，11，2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将BC向BA方向翻折过去，使点C落在BA上的点C′，折痕为BE，则EC的长度是（　　）

A、 B、

C、 D、

【答案】B．

6. （2011贵州黔南，5,4分）如图，△ABC中,AB=AC=6,BC=8，AE平分∠BAC交BC于点E,点D为AB的中点，连接DE,则△BDE的周长是（ ）

A.7+ B.10 C.4+2 D.12

【答案】B

二、填空题

1. （2011广东河源，9,4分）如图1,在 Rt△ABC中,∠B=90°.ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,已知∠BAE=30°,则∠C的度数为°　　　　　　　　　　

【答案】300

3. (湖南湘西,5,3分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=3,AC=4,则AB的长是______.

【答案】5

4. （2011山西，18，3分）如图，已知AB=12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10，点E是CD的中点，则AE的长是_______.

【答案】；

5. 如（2011贵州遵义，15，4分）图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是 ▲ 。

【答案】

6. （2011广东肇庆，13，3分）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝9，则AB＝ ▲ ．

【答案】15

7. （2011黑龙江绥化，10，3分）已知三角形相邻两边长分别为20和30，第三边上的高为10，则此三角形的面积为 .

【答案】或（答案不全或含错解，本题不得分）

8. （2011江西b卷，15,3分）一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示,∠1+∠2=___________度.

【答案】90°

9. （2011江苏徐州，13,3分）若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于 ▲ °

【答案】70°

10．（2011山东枣庄，15，4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是________cm2.

【答案】

11. （2011云南玉溪，14，3分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S2=4，S3=6，则S1=________.

【答案】2.

12. （2011新疆维吾尔自治区，新疆生产建设兵团，11，5分）如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm，则BC边上的高AD等于_____________cm；

【答案】

三、解答题

1. (湖南湘西,20,6分)如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D，∠B=60°,∠C=45°.

(1)求∠BAC的度数。

（2）若AC=2,求AD的长。

解: (1)∠BAC=180°-60°-45°=75°

(2) ∵AD⊥BC,∴△ADC是直角三角形,

∵∠C=45°, ∴∠DAC=45°,根据勾股定理,得AD=.

2. （2011湖北潜江天门仙桃江汉油田，23，10分）两个大小相同且含角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合. 将图①中△DEC绕点C逆时针旋转得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点.

（1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形；

（2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转得△D1E1C，点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1 ，如图③.探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程；

（3）在（2）的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：G1I =CI.

【答案】解：（1）图②中与△BCF全等的有△GDF、 △GAH 、△ECH．

（2）=

证明：∵∴△AF1C ≌△D1H1C.

∴ F1C= H1C， 又CD1=CA，

∴CD1- F1C =CA- H1C.即

（3）连结CG1.

在△D1G1F1和△AG1H1中，

∵，∴△D1G1F1 ≌△AG1H1.

∴G1F1=G1H1

又∵H1C=F1C，G1C=G1C，∴△CG1F1 ≌△CG1H1.

∴∠1=∠2.

∵∠B=60°，∠BCF=30° ，∴∠BFC=90°.

又∵∠DCE=90°，∴∠BFC=∠DCE，

∴BA∥CE， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3，

∴G1I=CI.

（9月最新修订版）2011全国各地中考数学试题分类汇编考点26 直角三角形与勾股定理（含答案）