2019-2020年高考数学一轮复习第十二章推理与证明、算法、复数12.1合情推理与演绎推理文

1．合情推理

(1)归纳推理

①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．

②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．

(2)类比推理

①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．

②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．

(3)合情推理

合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．

2．演绎推理

(1)演绎推理

一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　×　)

(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(　√　)

(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　×　)

(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(　√　)

(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N*)．(　×　)

(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　×　)

1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________.

答案　123

解析　从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a10＋b10＝123.

2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是________．

①使用了归纳推理；

②使用了类比推理；

③使用了“三段论”，但推理形式错误；

④使用了“三段论”，但小前提错误．

答案　③

解析　由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．

3．(2014·福建)已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a≠2，②b＝2，③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c＝________.

答案　201

解析　因为三个关系中只有一个正确，分三种情况讨论：若①正确，则②③不正确，得到由于集合{a，b，c}＝{0,1,2}，所以解得a＝b＝1，c＝0，或a＝1，b＝c＝0，或b＝1，a＝c＝0，与互异性矛盾；

若②正确，则①③不正确，得到与互异性矛盾；

若③正确，则①②不正确，得到则符合题意，所以100a＋10b＋c＝201.

4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．

答案　1∶8

解析　∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8.

5．(教材改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n (n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则b1b2b3b4…bn＝________________.

答案　b1b2b3b4…b17－n (n<17，n∈N*)

题型一　归纳推理

命题点1　与数字有关的等式的推理

例1　(2015·陕西)观察下列等式：

1－＝，

1－＋－＝＋，

1－＋－＋－＝＋＋，

…，

据此规律，第n个等式可为____________________________________________．

答案　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋

解析　等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1－＋－＋…＋－；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为＋＋…＋.

命题点2　与不等式有关的推理

例2　已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝________.

答案　nn

解析　第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.

命题点3　与数列有关的推理

例3　古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

三角形数　　　　　 N(n,3)＝n2＋n，

正方形数 N(n,4)＝n2，

五边形数 N(n,5)＝n2－n，

六边形数 N(n,6)＝2n2－n

………………………………………

可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.

答案　1 000

解析　由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝n2＋n，

∴N(10,24)＝×100＋×10

＝1 100－100＝1 000.

命题点4　与图形变化有关的推理

例4　某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．

(1)n级分形图中共有________条线段；

(2)n级分形图中所有线段长度之和为________．

答案　(1)3×2n－3　(2)9－9×n

解析　(1)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图中有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n级分形图中的线段条数an＝(3×2n－3) (n∈N*)．

(2)∵分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，∴n级分形图中第n级的所有线段的长度和为bn＝3×n－1 (n∈N*)，∴n级分形图中所有线段长度之和为Sn＝3×0＋3×1＋…＋3×n－1＝3×＝9－9×n.

思维升华　归纳推理问题的常见类型及解题策略

(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．

(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．

(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．

(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．

　(1)观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是________．

(2)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为________．

答案　(1)183　(2)8

解析　(1)由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，∴“x”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.

(2)由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N*)层的点数为6(n－1)．设一个点阵有n(n≥2，n∈N*)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋×(n－1)＝3n2－3n＋1，由题意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层．

题型二　类比推理

例5　已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则am＋n＝.类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到bm＋n＝________.

答案　

解析　设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q.

因为an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1，am＋n＝，

所以类比得bm＋n＝.

思维升华　(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．

　在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：＋＋＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________．

答案　＋＋＋＝1

解析　设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高，P为三棱锥A－BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：＋＋＋＝1.

题型三　演绎推理

例6　数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn (n∈N*)．证明：

(1)数列是等比数列；

(2)Sn＋1＝4an.

证明　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，

∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.

∴＝2·，又＝1≠0，(小前提)

故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)

(大前提是等比数列的定义，这里省略了)

(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，

∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1

＝4an(n≥2)，(小前提)

又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)

∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)

(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)

思维升华　演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．

　某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为________．

①大前提错误； ②小前提错误；

③推理形式错误； ④非以上错误．

答案　③

解析　因为大前提的形式“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误．

10．高考中的合情推理问题

典例　(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：

①b2 014是数列{an}的第________项；

②b2k－1＝________.(用k表示)

(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是________．

①A＝N*，B＝N；

②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0<x≤10}；

③A＝{x|0<x<1}，B＝R；

④A＝Z，B＝Q.

解析　(1)①an＝1＋2＋…＋n＝，

b1＝＝a4，

b2＝＝a5，

b3＝＝a9，

b4＝＝a10，

b5＝＝a14，

b6＝＝a15，

…

b2 014＝＝a5 035.

②由①知

b2k－1＝＝.

(2)对于①，取f(x)＝x－1，x∈N*，所以A＝N*，B＝N是“保序同构”的，故①是；对于②，取f(x)＝所以A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0<x≤10}是“保序同构”的，故②是；对于③，取f(x)＝tan(πx－)(0<x<1)，所以A＝{x|0<x<1}，B＝R是“保序同构”的，故③是．④不符合，不是保序同构．

答案　(1)①5 035　②　(2)④

温馨提醒　(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．

(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．

[方法与技巧]

1．合情推理的过程概括为

―→―→―→

2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．

[失误与防范]

1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．

2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．

3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．

A组　专项基础训练

(时间：40分钟)

1．下列推理是归纳推理的是________．

①A，B为定点，动点P满足PA＋PB＝2a>AB，则P点的轨迹为椭圆；

②由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式；

③由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πab；

④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．

答案　②

解析　从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以②是归纳推理．

2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理________．

①结论正确； ②大前提不正确；

③小前提不正确； ④全不正确．

答案　③

解析　f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．

3．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为f(n)＝__________.

答案　

解析　1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．

4．给出下列三个类比结论：

①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；

②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；

③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.

其中正确结论的个数是________．

答案　1

解析　(a＋b)n≠an＋bn(n≠1，a·b≠0)，故①错误．

sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立．

如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝，

故②错误．

由向量的运算公式知③正确．

5．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}(bn＝)也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为__________．

①dn＝ ②dn＝

③dn＝ ④dn＝

答案　④

解析　若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，

∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；

若{cn}是等比数列，

则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·，

∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列．

6．观察下列不等式：

1＋<，

1＋＋<，

1＋＋＋<，

……

照此规律，第五个不等式为________________________．

答案　1＋＋＋＋＋<

解析　观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．

故第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.

7．若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________________．

答案　－＝1

解析　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，

则P1，P2的切线方程分别是

－＝1，－＝1.

因为P0(x0，y0)在这两条切线上，

故有－＝1，－＝1，

这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线－＝1上，

故切点弦P1P2所在的直线方程是－＝1.

8．已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：______________________.

答案　＝

解析　由等比数列的性质可知

b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，

∴＝.

9．设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．

解　f(0)＋f(1)＝＋

＝＋＝＋＝，

同理可得：f(－1)＋f(2)＝，

f(－2)＋f(3)＝，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.

归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，

均有f(x1)＋f(x2)＝.

证明：设x1＋x2＝1，

10．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体A—BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．

解　如图所示，由射影定理得

AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，

AC2＝BC·DC，

∴＝

＝＝.

又BC2＝AB2＋AC2，

∴＝＝＋.

猜想，四面体A—BCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.

证明：

如图，连结BE并延长交CD于F，连结AF.

∵AB⊥AC，AB⊥AD，

AC∩AD＝D，

AC⊂平面ACD，AD⊂平面ACD，

∴AB⊥平面ACD.

∵AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.

在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋.

在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋，

∴＝＋＋.

B组　专项能力提升

(时间：30分钟)

11．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P—ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________.

答案　

解析　正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝.

12．已知①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论．则这个结论是________．(填序号)

答案　①

解析　根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等．

13．如图(1)若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比＝·.如图(2)，若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点P1、P2，点Q1、Q2和点R1、R2，则类似的结论为__________________．

答案　

解析　考查类比推理问题，由图看出三棱锥P1－OR1Q1及三棱锥P2－OR2Q2的底面面积之比为·，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为，故体积之比为

14．已知等差数列{an}的公差d＝2，首项a1＝5.

(1)求数列{an}的前n项和Sn；

(2)设Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律．

解　(1)由于a1＝5，d＝2，

所以Sn＝5n＋×2＝n(n＋4)．

(2)因为Tn＝n(2an－5)＝n[2(2n＋3)－5]＝4n2＋n，

所以T1＝5，T2＝4×22＋2＝18，T3＝4×32＋3＝39，

T4＝4×42＋4＝68，T5＝4×52＋5＝105.

S1＝5，S2＝2×(2＋4)＝12，S3＝3×(3＋4)＝21，

S4＝4×(4＋4)＝32，S5＝5×(5＋4)＝45.

由此可知S1＝T1，当n≥2且n∈N*时，Sn<Tn.

归纳猜想：当n＝1时，Sn＝Tn；

当n≥2，n∈N*时，Sn<Tn.

15．已知函数f(x)＝－(a>0，且a≠1)．

(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点(，－)对称；

(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．

(1)证明　函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点(，－)对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．由已知y＝－，

则－1－y＝－1＋＝－，

f(1－x)＝－＝－＝－

＝－，

∴－1－y＝f(1－x)，

即函数y＝f(x)的图象关于点(，－)对称．

(2)解　由(1)知－1－f(x)＝f(1－x)，

即f(x)＋f(1－x)＝－1.

∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，

f(0)＋f(1)＝－1.

则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.

2019-2020年高考数学一轮复习第十二章推理与证明、算法、复数12.1合情推理与演绎推理文