2020年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合，，则

A. 0， B. 0，

C. 0，1， D. 0，1，2，

2. 已知复数z满足，，则

A. 0 B. 1 C. D.

3. 命题p：，，则命题p的否定是

A. ， B. ，

C. ， D. ，

4. 如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是

A. 乙所得分数的极差为26

B. 乙所得分数的中位数为19

C. 两人所得分数的众数相同

D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数

5. 已知a，b，，，，，则下列不等关系中正确的是

A. B. C. D.

6. 函数的图象平移后对应的函数为，若为偶函数，则的最小值为

A. B. C. D.

7. 函数的图象大致为

A. B.

C. D.

8. 已知m，n为两条不同直线，，为两个不同的平面，则下列说法中正确的个数是

若，，则；若，，则；

若，，，则；若，，，则；

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

9. 已知三内角A，B，C满足且，则下列结论正确的是

A. ， B. ，

C. ， D. ，

10. 若点A为抛物线上一点，F是抛物线的焦点，，点P为直线上的动点，则的最小值为

A. B. C. D. 8

11. 已知三棱锥中，，，，平面平面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为

A. B. C. D.

12. 已知函数的定义域为，是的导函数．若，则关于x的不等式的解集为

A. B.

C. D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知向量，，且，则______．

14. 已知六张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，6，随机取出两张卡片，则数字之和为偶数的概率为______．

15. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则其焦点到渐近线的距离为______．

16. 根据疾病防控的需要，某医院要从感染科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工作，现有甲、乙、丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加．为确定最终驰援武汉的人选，医院领导组五位成员先各推荐两名人员，分别为“丁、戊”，“丙、戊”，“甲、乙”，“乙、戊”，“甲、丁”根据最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选，其余四人推荐的人选中各有一人入选．根据以上信息判断，最后随省医疗队参加抗疫的两名医生是______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 记是等差数列的前n项和，且，．

求的通项公式；

求数列的前n项和．

18. 如图，在长方体中，，，P为的中点．

证明：平面平面；

求多面体的体积．

19. 已知椭圆E：，点A，B分别是椭圆的左，右顶点，P是椭圆上一点．

若直线AP的斜率为2，求直线PB的斜率；

若点P的坐标为，斜率为的直线l与椭圆相交于E，异于P点两点．证明：PE，PF的斜率，的和为定值．

20. 为了研究昼夜温差与引发感冒的情况，医务人员对某高中在同一时间段相同温差下的学生感冒情况进行抽样调研，所得数据统计如表1所示，并将男生感冒的人数与温差情况统计如表2所示．

表1

表2

写出m，n，p的值；

判断是否有的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具有相关性；

根据表2数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱若，则认为y与x线性相关性很强；，则认为y与x线性相关性一般；，则认为y与x线性相关性较弱．

附：参考公式：，．

，，，．

21. 已知函数．

讨论的单调性；

若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．

22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，且，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

写出曲线C和直线l的直角坐标方程；

若直线l与x轴交点记为M，与曲线C交于P，Q两点，求．

23. 已知a，b为实数，且满足证明：

；

．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：C

解析：解：0，1，2，，0，1，，

0，1，．

故选：C．

可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．

本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，绝对值不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．

2.答案：A

解析：解：由，得，

．

故选：A．

把已知等式变形，咋样复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．

3.答案：C

解析：解：全称命题的否定是特称命题．

命题p：，的否定是：，；

故选：C．

利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．

本题考查命题的否定，注意量词的变化，是对基本知识的考查．

4.答案：D

解析：解：A、乙所得分数的极差为，故本选项说法正确；

B、乙所得分数的中位数为19，故本选项说法正确；

C、甲、乙两人所得分数的众数都为22，故本选项说法正确；

D、，，则，故本选项说法错误．

故选：D．

根据极差，中位数，众数和平均数的定义，求出这些数，再将所得数据与各项进行对照，即可得解．

本题主要考查了茎叶图，要我们判断其中关于特征数的描述不正确的一项，着重考查了茎叶图的认识，以及极差，平均数，中位数和众数的定义及求法等知识，属于基础题．

5.答案：D

解析：解：，，，

，．

．

故选：D．

，，，，，即可得出a，b，c的大小关系．

本题考查了不等式的大小比较、对数函数的单调性性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

6.答案：B

解析：函数的图象平移后对应的函数为，

由于为偶函数，

所以，解得，

当时，，

即的最小值为．

故选：B．

直接利用三角函数关系式的恒等变换和函数的平移变换的应用求出结果．

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

7.答案：B

解析：解：函数的定义域为，

，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除A，

当，排除C，D，

故选：B．

判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行判断排除即可．

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用奇偶性的定义以及极限思想结合排除法是解决本题的关键．比较基础．

8.答案：B

解析：解：对于，若，，则或，故错误；

对于，若，，则或与，故错误；

对于，若，，则，又，，故正确；

对于，若，，，则，故正确．

说法正确的个数是2．

故选：B．

由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个命题得答案．

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．

9.答案：D

解析：解：，

，可得：，

由正弦定理得：，

，

又，

可得：，

可得：，

由于A，B为锐角，可得．

故选：D．

由二倍角的余弦函数公式化简已知可得，由正弦定理得：，可求，由已知等式及二倍角公式可得，进而可求，即可得解．

本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．

10.答案：B

解析：解：由题意可知，，，

由抛物线的定义可知，，，

代入抛物线方程，得，不妨取点A为，



设点F关于的对称点为E，则，

．

故选：B．

先根据抛物线的定义可知，，可求出，代入抛物线方程后可得点A的坐标，设点F关于的对称点为E，则，利用点关于直线的对称性，将问题进行转化，，最后利用两点间距离公式求出线段的长即可得解．

本题考查抛物线的性质、点关于直线的对称问题等，考查学生的转化与化归能力和运算能力，属于基础题．

11.答案：B

解析：解：取AB的中点D，连接CD，PD，如图所示：

因为，，，所以，

所以为直角三角形，且，

点D是AB的中点，，

点D为的外接圆的圆心，

又平面平面ABC，且，

平面PAB，

此三棱锥的外接球的球心在CD上，

又为等边三角形，

的外接圆的圆心即为三棱锥的外接球的球心，的外接圆的半径即为三棱锥的外接球的半径，

三棱锥的外接球的半径，

此三棱锥的外接球的表面积为：，

故选：B．

取AB的中点D，由题意可知点D为的外接圆的圆心，由平面平面ABC得到平面PAB，

所以此三棱锥的外接球的球心在CD上，又为等边三角形，所以的外接圆的半径即为三棱锥的外接球的半径，利用正弦定理求出的外接圆的半径即可解题．

本题主要考查了三棱锥的外接球的问题，是中档题．

12.答案：C

解析：解：函数的定义域为，

不等式，即．

令，，

，

，

函数在上单调递减，

，即为：，解得．

关于x的不等式的解集为

故选：C．

函数的定义域为，不等式，即令，，利用导数研究其单调性即可得出不等式的解集．

本题考查了利用导数研究函数的单调性解不等式、构造法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

13.答案：2

解析：解：，则，

，，

故答案是：2．

根据向量垂直的等价条件以及平面向量的坐标运算，求值计算即可．

本题主要考查向量数量积的应用，根据向量垂直的坐标公式进行求解是解决本题的关键．

14.答案：

解析：解：六张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，6，随机取出两张卡片，

基本事件总数，

数字之和为偶数包含的基本事件个数，

则数字之和为偶数的概率．

故答案为：．

基本事件总数，数字之和为偶数包含的基本事件个数，由此能求出数字之和为偶数的概率．

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

15.答案：2

解析：解：双曲线的一条渐近线方程为，

可得，解得，

双曲线方程为：，可得焦点坐标，

焦点到渐近线的距离为：．

故答案为：2．

通过双曲线的渐近线方程，求出m，求出焦点坐标，利用点到直线的距离转化求解即可．

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．

16.答案：乙、丁

解析：解：由于最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选，其余四人推荐的人选中各有一人入选，

若没有入选为甲、乙，则丁、戊一定入选，与“丁、戊”只有一人相矛盾，

若没有入选为甲、丁，则乙、戊一定入选，与“乙、戊”只有一人相矛盾，

若没有入选为乙、戊，则甲、丁一定入选，与“甲、丁”只有一人相矛盾，

若没有入选为丙、戊，则乙、丁一定入选，则甲没有入选，则符合题意要求，

故最后随省医疗队参加抗疫的两名医生是乙、丁，

故答案为：乙、丁．

利用假设法，分别假设哪两人没有入选，得出相对应的结论即可推出．

本题考查简单的合情推理，考查数据分析能力以及推理论证能力，属于中档题．

17.答案：解：等差数列的公差设为d，

由，，可得，，即，

解得，，

则；

，

可得

．

解析：设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式可得首项和公差的方程组，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；

求得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．

本题考查等差数列的通项公式的运用，同时考查数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．

18.答案：解：证明：在长方体中，

，，P为的中点．

，，

，，，，

，平面，

平面平面平面．

解：多面体的体积为：







．

解析：推导出，，从而，，从而平面由此能证明平面平面．

多面体的体积为：，由此能求出结果．

本题考查面面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．

19.答案：解：由椭圆的方程可得，，

由题意可得中线AP的方程为：，设，

联立直线与椭圆可得：，整理可得：，所以，所以，

代入直线AP中可得，所以，

所以，

所以直线PB的斜率为；

由题意设直线l的方程，设，，

则直线l与椭圆联立，整理可得，

，即，，，

所以







，

所以可证的PE，PF的斜率，的和为定值0．

解析：由椭圆的方程可得A，B的坐标，由题意可得中线AP的方程，与椭圆联立求出P的坐标，进而求出直线PB的斜率；

设直线l的方程，与椭圆联立求出两根之和，两根之积，进而求出，的和，求出为定值．

本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

20.答案：解：根据表中数据直接可以得出，，；

由题中数据直接代入，

所以没有的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具有相关性；

由题，，

所以，

则，

所以y与x的线性相关性很强．

解析：根据表中数据直接可以算出结果；

由题中数据直接代入公式，算出结果，进而判断结论；

由题算出，代入r公式即可算出结果，进而判断结论．

本题主要考查的是独立性检验及相关系数，是道基础题．

21.答案：解：由已知，函数的定义域为，，令，解得，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增．

综上，的单调递减区间为，单调递增区间为；

恒成立，即等价于恒成立，

令，令，则在上恒成立，

在上单调递增，

，

时，，在上单调递减，

时，，在上单调递增，

，

，即实数a的取值范围为．

解析：求导，判断导函数与0的关系，进而得出单调性情况；

问题转化为恒成立，令，利用导数求其最小值即可．

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及运算能力，属于中档题．

22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，且，转换为直角坐标方程为．

直线l的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．

直线l与x轴交点记为M，即，转换为参数方程为为参数与曲线C交于P，Q两点，

把直线的参数方程代入方程．

得到，

所以，，

则：．

解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．

利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．

本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

23.答案：证明：，当且仅当取等号，且，

，

，

；

证明：a，b为实数，且满足．

可得：，表示的图形是椭圆以及内部部分，椭圆上的点为，

，

因为，

所以．

所以．

解析：根据基本不等式即可证明；

利用已知条件转化为椭圆上的点坐标，利用三角函数有界性，转化求解即可．

本题考查不等式的证明，基本不等式的应用，三角函数的有界性以及两角和与差的三角函数的应用，是中档题．

2020年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷（文科）（含答案解析）