题目 第六章不等式不等式综合问题

高考要求

1熟练运用不等式的知识综合解决函数、方程等中的有关问题

2在掌握一次函数单调性、二次函数的最值以及在定区间上的最值问题，学会变量的转换，掌握：恒正、恒负、解集为R、解集为空集的实际含义并且会转化

3掌握 “两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数”，并能运用此定理解决一些问题

4能从实际问题中抽象出数学模型，寻找出该数学模型中已知量与未知量，建立数学关系式，并用适当的方法解决问题

5通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．

知识点归纳

1两个正数的均值不等式是：

三个正数的均值不等式是：

n个正数的均值不等式是：

2两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

3. 双向不等式是：

左边在时取得等号，右边在时取得等号

4不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明

5不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．利用不等式解应用题的基本步骤：10审题，20建立不等式模型，30解数学问题，40作答

题型讲解

例1 某电脑用户计划使用不超过450元的资金购买单价分别为60元，70元的单元软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少要买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有（ ）

A．5种 B 6种 C 7种 D 8种

解:设购买软件片,且,磁盘盘,且,

则,

即

当=3时, =2, 或=3 ;

当=4时, =2, 或=3 ;

当=5时, =2

综上述，共有5种不同的选购方式，故选A

例2 已知，求的范围

分析：先利用解含绝对值的不等式的方法及积（商）的符号法则解不等式求出A和B，再利用数轴表示出A和B，得到时应满足的条件，从而求出的范围

解：

由

：

例3 已知某种商品的定价上涨成（1成即为，成即为），其销售量便相应减少成，按规定，税金是从销售额中按一定的比例缴纳，如果这种商品的定价无论如何变化，从销售额中扣除税金后的金额总比涨价前的销售额少，试求这时税率的取值范围(精确到01% )

注:本小题考查建立函数关系式,解不等式的知识,数学应用意识,建模能力和解决问题的能力

解：设原定价为元/件，原销售量为件，则原销售额为元，由已知得 ①

①式恒成立，∴△<0，解得，

故111%<<1,

即税率的取值范围∈(111%,100%)

例4已知对任意都有cos2─2msin─2m─2恒小于0，求m的取值范围

解法一：设y= cos2─2msin─2m─2=─(sin+m)2+m2─2m─1

∵ ─1sin1,

∴ (1)─1m1 sin=─m时，y的最大值为m2－2m─1,由m2－2m─1<0,得 1─1─1;

(2)m>1 sin=─1时，y的最大值为─2<0恒成立；

(3)m<─1 sin=1时，y的最大值=─4m─2<0m>1/2与m<─1矛盾

综合即得：m∈ (1─,+)

解法二：对任意都有cos2─2msin─2m─2恒小于0，

等价于 ─sin2─2msin─2m─1<0恒成立

等价于─2m(sin+1) < sin2+1恒成立

当sin=─1时，显然成立；

当─1< sin1时，─2m< (sin2+1)/ (sin+1) 恒成立

∵ (sin2+1)/ (sin+1)≥2─2

∴ ─2m<2─2

∴ m>1－

例5若抛物线上总存在关于直线的异于交点的两个对称点，试求实数的取值范围

解法一：（对称曲线相交法）

曲线关于直线对称的曲线方程为

如果抛物线上总存在关于直线对称的两点，则两曲线

与必有不在直线上的两个不同的交点(如图所示)，从而可由：

∵　　

∴　

代入得　有两个不同的解，

∴　

解法二：（对称点法）

设抛物线上存在异于于直线的交点的点，且关于直线的对称点也在抛物线上

则 必有两组解

(1)-(2)得

必有两个不同解

∵，

∴有解

从而有 有两个不等的实数解

即 有两个不等的实数解

∴

∵，

∴

解法三：（点差法）

设抛物线上以为端点的弦关于直线对称，且以为中点是抛物线（即）内的点 从而有　

由

(1)-(2)得 　

∴　

由

从而有　

例6 大楼共有n层，现每层指派一人，共n个人集中到第k层开会 试问如何确定k，能使各位参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最小？（假设相邻两层楼梯长都一样）

解：设相邻两层楼梯长为a ，

则问题转化为下列和式S的最小值的探求：

S = S（k) = a [1 +2 +3 + + (k─1)] + a [1 +2 + + （n – k )]

= a [ k 2 – (n +1) k + (n 2 + n) ]

目标函数S（k)为 k的二次函数，且a > 0 ，

故当n为奇数时，取k =，S最小；

当为n偶数时，取k = 或，S最小

例7 已知三条抛物线

中至少有一条与轴有交点，求实数的取值范围

解：用反证法，假设三条抛物线中没有一条与轴有交点，

则

∴三条抛物线中至少一条与轴有交点时，实数的取值范围为：

例8 已知函数

（1）求证：函数上是增函数

（2）若上恒成立，求实数a的取值范围

（3）若函数上的值域是，求实数a的取值范围

解：（1）当用定义或导数证明单调性均可

（2）上恒成立

设上恒成立

可证单调增 故的取值范围为

（3）的定义域为

当上单调增

故有两个不相等的正根m，n，

当时，可证上是减函数

综上所述，a的取值范围为

例9设关于x的方程2x2－ax－2=0的两根为α、β（α＜β），函数．

（Ⅰ）求f (α)·f (β)的值；

（Ⅱ）证明f (x)是[α，β]上的增函数；

（Ⅲ）当a为何值时，f (x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小？

解：（Ⅰ）由题意知α＋β＝，α·β＝－1，∴α2＋β2＝，

f (α)·f (β)＝

．

（Ⅱ）证明：当α≤x≤β时，

α、β是方程2x2－ax－2=0的两根，

∴当α≤x≤β时，恒有2x2－ax－2≤0，≥0，

又不是常函数，∴是[α，β]上的增函数．

（Ⅲ）f (x)在区间[α，β]上的最大值f (β)＞0，最小值f (α)＜0，

又∵| f (α)·f (β) |＝4，

∴f (β)－f (α)＝| f (β)|＋| f (α)|≥

当且仅当| f (β)|＝| f (α)|＝2时取“＝”号，此时f (β)＝2，f (α)＝－2

∴

由（1）、（2）得，∴a＝0为所求

小结：

1．把不等式作为一种工具，应用于其他课题之中，表现为不等式的解法的应用，求函数的定义域,值域，单调区间，讨论函数的单调性，讨论一元二次方程的实根的分布规律等

2．应用不等式的知识解题的关键是建立不等量关系；其建立的途径有：（1）利用几何意义；（2）利用判别式；（3）利用变量的有界性；（4）利用函数的单调性和利用均值不等式

3．在应用均值不等式时，应注意它的使用条件；有时需对式子的结构进行调整，构造为定理所需的形式

4重要不等式的功能在于和积互化，要注意三个条件：一正、二定、三相等的检验在运用过程中，要注意创造特殊的环境：

学生练习

1．某工厂年产值第二年比第一年增长百分率为p1,第三年比第二年增长的百分率为p2,第四年比第三年增长的百分率为p3,若p1+p2+p3=m,m为常数，则年平均增长率p的最大值为( B )

A B C D

2．如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19千米，那么在8天之内它的行程就超过2200千米；如果它每天行程比原来少12千米，那么它行驶同样的路程就得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行程的千米数x满足：（ D ）

A259258257256

3．已知非负实数，满足且，则的最大值是（ ）

A． B． C． D．

解：画出图象，由线性规划知识可得，选D

4．已知命题p：函数的值域为R，命题q：函数是减函数若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是（ ）

A．a≤1 B．a<2 C．1<a<2 D．a≤1或a≥2

解：命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数的判别式，从而；命题q为真时， 若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题若p为真，q为假时，无解；若p为假，q为真时，结果为1<a<2，故选C

5．轴截面周长为1的圆柱的体积的最大值为 （/216);

6．若关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0有解，则实数a的取值范围是

((─,─8]);

7．正数x,y满足1/x+1/y=2,求x+2y的最小值

(利用(x+2y)(1/x+1/y)=3+x/y+2y/x3+2,可以得到x+2y3/2+)

8． 解关于的不等式＞0

分析：本题主要复习分式不等式的解法、分类讨论的思想及利用序轴标根法解不等式的基本步骤本题的关键是对分母分解因式，将原不等式等价转化为

和比较与及3的大小，定出分类方法

解：原不等式化为：

当时，由图1知不等式的解集为

当

当

9． 解关于的不等式

分析：在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观，形象的图象关系，对含参数的不等式，运用图解法，还可以使得分类标准更加明晰

解：设，原不等式化为

，在同一坐标系中作出两函数图象

故（1）当

（2）

（3）当时，原不等式的解集为φ

综上所述，当时，解集为）；当时，解集为

时，解集为φ

10．数列由下列条件确定：

（1）证明：对于,

（2）证明：对于．

证明：（1）

（2）当时，

=

11．已知数列

中，b1=1，点P（bn,bn+1）在直线x-y+2=0上

Ⅰ）求数列

Ⅱ）设的前n项和为Bn, 试比较

Ⅲ）设Tn=

分析：本题主要复习数列通项、求和及不等式的有关知识

略解：Ⅰ）

Ⅱ)Bn=1+3+5+…+(2n-1)=n2

Ⅲ)Tn=①

②

①-②得

又

12一轮船行驶时，单位时间的燃料费与其速度的立方成正比，若轮船的速度为每小时10 km 时，燃料费为每小时35元，其余费用不随速度而变化，每小时为560元，求轮船速度为多少时，轮船行每千米的费用最少？ （20km/小时，42元/千米）

解：设轮船的燃料费u与速度v之间的关系是:u=kv3,

由已知，v=10时，u=35,∴ 35=k103 k=7/200;

轮船行驶1千米的费用

y=u1/v+5601/v =

=7v2/200+560/v=7v2/200+280/v+280/v=42 (元）；

等号条件：7v2/200=280/v v=20(km/h)

13．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析事故责任人的一个重要因素在一个限速40千米/小时以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场测得甲车的刹车距离略大于12米，乙车的刹车距离略大于10米，又知甲、乙两种车的刹车距离S与车速x（千米/小时）之间的函数关系为：S甲=01x+001x2; S乙=005x+0005x2 问：超速行驶应负主要责任的是谁？

解：由12<01x+001x2 x>30 (km/h); 10<005x+0005x2 x>40 (km/h);

可见乙车超速主要责任人是乙

14某厂制定2000年某产品的生产计划，已有如下数据：生产此产品的现有工人人数为400人，每个工人的年工时为2200小时，预测下一年的销售量在10万到17万箱之间，每箱需用料10千克，目前存料1000吨，今年另需用1400吨，到2000年底可补充2000吨，试根据上述数据确定2000年可能的生产量，并根据产量确定生产人数

解：由劳动力因素可得4x4002200,∴ x220000由原料因素得：10x(1000─1400+2000)1000,∴ x160000,由2200y1600004,得y291,

故2000年的产量计划最多可定为16万箱，生产人数为291人

15．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比越大，住宅的采光标准条件越好，问同时增加相等的窗户面积与地板面积，住宅的采光是变好了还是变坏了？请说明理由（变好）

课前后备注

高中数学复习学（教）案（第37讲）不等式综合问题