2020年中考数学二模试卷

一、选择题

1．下列各点中，在反比例函数y＝的图象上的是（　　）

A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣3，2）

2．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）

A．x2＝0 B．x﹣3＝0 C．x2﹣5＝0 D．x2+2＝0

3．由4个完全相同的小正方体组成的立体图形如图所示，则该立体图形的俯视图是（　　）

A． B．

C． D．

4．将抛物线y＝2x2﹣1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（　　）

A．（0，﹣1） B．（1，1） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣1，1）

5．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是上一点，连接AC、BC．若∠AOB＝128°，则∠ACB的大小为（　　）

A．126° B．116° C．108° D．106°

6．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长春的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC的高为am，已知冬至时长春的正午光入射角∠ABC约为23°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（距BC的长）约为（　　）

A．m B．asin23°m C．m D．atan23°m

二、填空题（每小题3分，共24分）

7．计算：6•cos60°﹣（﹣1）0＝　 　．

8．设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为　 　．

9．如图．E是正方形ABCD的边DC上一点．连接AE．将AE绕若点A顺时针旋转90°得到AF．连接EF、BF．若AB＝3，DE＝1，则EF的长为　 　．

10．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）和点B（n，2）在反比例函数的图象上，过点A作AC⊥x轴于点C，连接AB、BC，则△ABC的面积为　 　．

11．如图，AB∥CD∥EF．若AD：AF＝3：5，BC＝6，则CE的长为　 　．

12．如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板DEF的斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB为　 　m．

13．如图，OA、OB是⊙O的半径，连接AB并延长到点C，连接OC，若∠AOC＝80°，∠C＝40°，⊙O的半径为2，则的长为　 　（结果保留π）．

14．如图，抛物线y＝（x+2）2﹣1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，作直线AC．动点P是线段AC上一点，过点P作x轴的垂线交该抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为　 　．

三、解答题（每小题5分，共20分）

15．计算：sin60°+×﹣tan60°．

16．2019年11月1日5G商用套餐正式上线，某移动营业厅为了吸引用户，设计了A、B两个可以自由转动的转盘（如图）．A转盘被等分为2个扇，分别为红色和黄色；B转盘被等分为3个扇形，分别为黄色、红色、蓝色．指针固定不动，营业厅规定，每位5G新用户可分别转动两个转盘各一次，转盘停止后，若指针所指区域颜色相同，则该用户可免费领取100G通用流量（若指针停在分割线上，则重转）．小王办理5G业务获得一次转转盘的机会，求他能免费领取100G通用流量的概率．

17．小明同学解一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的过程如下：

解：x2﹣2x＝2，第一步；

x2﹣2x+1＝2，第二步；

（x﹣1）2＝2，第三步；

x﹣1＝±，第四步；

x1＝1+，x2＝1﹣，第五步．

（1）小明解方程的方法是　 　，他的求解过程从第　 　步开始出现错误；

（2）请用小明的方法完成这个方程的正确解题过程．

18．某公司去年4月的营业额为2800万元，由于改进销售方式，营业额连月上升，6月营业额达到3388万元，假设该公司5月、6月营业额的月平均增长率相同，求月平均增长率．

四、解答题（每小题7分，共28分）

19．如图是由边长相等的小正方形组成的网格，点A、B均在格点上．

（1）在网格中，用无刻度的直尺画等腰直角三角形ACB．使∠ACB＝90；

（2）在（1）的条件下，点D在AC上（点D可以不在格点上）．在网格中，用无刻度的直尺画出∠CBD，使tan∠CBD＝．

20．某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙外开辟一处矩形的地进行绿化，其中边靠墙，且墙长为20m，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏50m，设AB的长为xm，矩形的面积为ym2．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求y的最大值．

21．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，它的外接圆的圆心O在其内部，连结OC，过点A作AD∥OC，交BC的延长线于点D．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若∠BAD＝105°，⊙O的半径为2，求劣弧AB的长．

22．宋家州主题公园拟修建一座柳宗元塑像，如图所示，柳宗元塑像（塑像中高者）DE在高13.4m的假山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求柳宗元塑像DE的高度．

（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）

五、解答题（每小题8分，共16分）

23．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上（点B在点A的右侧），AB＝3，AD＝8，AD⊥x轴，CD在第一象限，边AD的中点E在函数y＝（x＞0）的图象上，边BC交该函数图象于点F．连接BE．

（1）求BE的长；

（2）若CF﹣BE＝2，求k的值．

24．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，E为边BC的中点，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，边DE与边AB相交于点P，边EF与边CA延长线相交于点Q．

（1）求证：△PBE∽△ECQ．

（2）若BP＝3，CQ＝8，求BC的长．

六、解答题（每小题10分，共20分）

25．如图，抛物线y＝﹣x﹣1与y轴交于点A，点B是抛物线上的一点，过点B作BC⊥x轴于点C，且点C的坐标为（9，0）．

（1）求直线AB的表达式；

（2）若直线MN∥y轴，分别与抛物线，直线AB，x轴交于点M、N、Q，且点Q位于线段OC之间，求线段MN长度的最大值；

（3）在（2）的条件下，当四边形MNCB是平行四边形时，求点Q的坐标．

26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D、E分别是AB、BC的中点．连接DE．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动．同时，动点Q从点C出发，沿折线CE﹣ED向终点D运动，在CE、ED上的速度分别是每秒3个单位长度和4个单位长度，连接PQ，以PQ、PD为边作▱DPQM．设▱DPQM与四边形ACED重叠部分图形的面积是S（平方单位），点P的运动时间为t（s）．

（1）当点P在AD上运动时，PQ的长为　 　（用含t的代数式表示）；

（2）当▱DPQM是菱形时，求t的值；

（3）当0＜t＜2时，求S与t之间的函数关系式；

（4）当△DPQ与△BDE相似时，直接写出t的值．

参考答案

一、选择题（每小题2分，共12分）

1．下列各点中，在反比例函数y＝的图象上的是（　　）

A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣3，2）

【分析】根据反比例函数解析式可得xy＝6，然后对各选项分析判断即可得解．

解：∵y＝，

∴xy＝6，

A、∵2×3＝6，

∴点（2，3）在反比例函数y＝图象上，故本选项符合题意；

B、∵2×（﹣3）＝﹣6≠6，

∴点（2，﹣3）不在反比例函数y＝图象上，故本选项不符合题意；

C、∵﹣2×3＝﹣6≠6，

∴点（﹣2，3）不在反比例函数y＝图象上，故本选项不符合题意；

D、∵﹣3×2＝﹣6≠6，

∴点（﹣3，2）不在反比例函数y＝图象上，故本选项不符合题意．

故选：A．

2．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）

A．x2＝0 B．x﹣3＝0 C．x2﹣5＝0 D．x2+2＝0

【分析】利用直接开平方法分别求解可得．

解：A．由x2＝0得x1＝x2＝0，不符合题意；

B．由x﹣3＝0得x＝3，不符合题意；

C．由x2﹣5＝0得x1＝，x2＝﹣，符合题意；

D．x2+2＝0无实数根，不符合题意；

故选：C．

3．由4个完全相同的小正方体组成的立体图形如图所示，则该立体图形的俯视图是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】直接从上往下看，看到平面图形就是俯视图，选择正确选项即可．

解：根据题意，从上面看原图形可得到在水平面上有一个由两个小正方形和两个小长方形组成的长方形．

故选：B．

4．将抛物线y＝2x2﹣1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（　　）

A．（0，﹣1） B．（1，1） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣1，1）

【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．

解：抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位长度，得：y＝2（x+1）2﹣1；

再向上平移2个单位长度，得：y＝2（x+1）2+1．

此时抛物线顶点坐标是（﹣1，1）．

故选：D．

5．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是上一点，连接AC、BC．若∠AOB＝128°，则∠ACB的大小为（　　）

A．126° B．116° C．108° D．106°

【分析】作所对的圆周角∠APB，如图，利用圆周角定理得到∠APB＝∠AOB＝64°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠ACB的度数．

解：作所对的圆周角∠APB，如图，

∵∠APB＝∠AOB＝×128°＝64°，

而∠APB+∠ACB＝180°，

∴∠ACB＝180°﹣64°＝116°．

故选：B．

6．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长春的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC的高为am，已知冬至时长春的正午光入射角∠ABC约为23°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（距BC的长）约为（　　）

A．m B．asin23°m C．m D．atan23°m

【分析】根据题意和图形，可以用含a的式子表示出BC的长，从而可以解答本题．

解：由题意可得，

立柱根部与圭表的冬至线的距离为：＝m，

故选：C．

二、填空题（每小题3分，共24分）

7．计算：6•cos60°﹣（﹣1）0＝　2　．

【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可求出值．

解：原式＝6×﹣1

＝3﹣1

＝2．

故答案为：2．

8．设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为　2020　．

【分析】把x＝m代入方程计算即可求出所求．

解：把x＝m代入方程得：m2﹣m﹣2019＝0，即m2﹣m＝2019，

则原式＝2019+1＝2020，

故答案为：2020

9．如图．E是正方形ABCD的边DC上一点．连接AE．将AE绕若点A顺时针旋转90°得到AF．连接EF、BF．若AB＝3，DE＝1，则EF的长为　2　．

【分析】根据正方形的性质得到∠DAB＝∠D＝90°，AB＝AD＝3，由勾股定理得到AE＝＝，根据旋转的性质得到AF＝AE＝，∠FAE＝90°，于是得到结论．

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAB＝∠D＝90°，AB＝AD＝3，

∵DE＝1，

∴AE＝＝，

∵将AE绕若点A顺时针旋转90°得到AF，

∴AF＝AE＝，∠FAE＝90°，

∴EF＝AE＝2，

故答案为：2．

10．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）和点B（n，2）在反比例函数的图象上，过点A作AC⊥x轴于点C，连接AB、BC，则△ABC的面积为　4　．

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出k＝2×4＝2n，求得n＝4，然后根据三角形面积公式即可求得．

解：设反比例函数解析式为y＝，

∵点A（2，4）和点B（n，2）在反比例函数的图象上，

∴k＝2×4＝2n，

∴n＝4，

∴B（4，2），

∴△ABC的面积为：＝4，

故答案为4．

11．如图，AB∥CD∥EF．若AD：AF＝3：5，BC＝6，则CE的长为　4　．

【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

解：∵AB∥CD∥EF，

∴，

∴BE＝＝＝10，

∴CE＝BE﹣BC＝10﹣6＝4，

故答案为4．

12．如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板DEF的斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB为　5.5　m．

【分析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．

解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，

∴△DEF∽△DCB

∴，

∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，

∴，

∴CB＝4（m），

∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）．

故答案为：5.5．

13．如图，OA、OB是⊙O的半径，连接AB并延长到点C，连接OC，若∠AOC＝80°，∠C＝40°，⊙O的半径为2，则的长为　π　（结果保留π）．

【分析】根据三角形内角和定理求出∠A，得到△AOB为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOB＝60°，根据弧长公式计算即可．

解：∵∠AOC＝80°，∠C＝40°，

∴∠A＝180°﹣80°﹣40°＝60°，

∵OA＝OB，∠A＝60°，

∴△AOB为等边三角形，

∴∠AOB＝60°，

∴的长＝＝π，

故答案为：π．

14．如图，抛物线y＝（x+2）2﹣1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，作直线AC．动点P是线段AC上一点，过点P作x轴的垂线交该抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为　　．

【分析】首先求得直线AC的解析式，然后设出点P的坐标并表示出点Q的坐标，从而表示出线段PQ的二次函数，求得最大值即可．

解：令y＝（x+2）2﹣1＝0，

解得：x＝﹣3或x＝﹣1，

∴点A的坐标为（﹣3，0），

令x＝0，则y＝（0+2）2﹣1＝3，

∴点C的坐标为（0，3），

设直线AC的解析式为y＝kx+b，

则：，

解得：k＝1，b＝3，

∴直线AC的解析式为y＝x+3，

设P点的横坐标为a，则纵坐标为a+3，

∵PD⊥x轴，

∴Q的坐标为（a，a2+4a+3），

∴PQ＝a+3﹣（a2+4a+3）＝﹣a2﹣3a＝﹣（a+）2+，

∴PQ的最大值为．

三、解答题（每小题5分，共20分）

15．计算：sin60°+×﹣tan60°．

【分析】根据特殊角的三角函数值和二次根式的乘法法则运算．

解：原式＝×+﹣×

＝+6﹣3

＝．

16．2019年11月1日5G商用套餐正式上线，某移动营业厅为了吸引用户，设计了A、B两个可以自由转动的转盘（如图）．A转盘被等分为2个扇，分别为红色和黄色；B转盘被等分为3个扇形，分别为黄色、红色、蓝色．指针固定不动，营业厅规定，每位5G新用户可分别转动两个转盘各一次，转盘停止后，若指针所指区域颜色相同，则该用户可免费领取100G通用流量（若指针停在分割线上，则重转）．小王办理5G业务获得一次转转盘的机会，求他能免费领取100G通用流量的概率．

【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后有概率公式即可得出答案．

解：画树状图如图所示：

共有6个等可能的结果，指针所指区域颜色相同的结果有2个，

∴小王能免费领取100G通用流量的概率＝＝．

17．小明同学解一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的过程如下：

解：x2﹣2x＝2，第一步；

x2﹣2x+1＝2，第二步；

（x﹣1）2＝2，第三步；

x﹣1＝±，第四步；

x1＝1+，x2＝1﹣，第五步．

（1）小明解方程的方法是　配方法　，他的求解过程从第　二　步开始出现错误；

（2）请用小明的方法完成这个方程的正确解题过程．

【分析】（1）根据解答过程即可得出答案；

（2）利用配方法解方程的步骤依次计算可得．

解：（1）小明解方程的方法是配方法，他的求解过程从第二步开始出现错误，

故答案为：配方法，二；

（2）x2﹣2x＝2，第一步；

x2﹣2x+1＝2+1，第二步；

（x﹣1）2＝3，第三步；

x﹣1＝±，第四步；

x1＝1+，x2＝1﹣，第五步

18．某公司去年4月的营业额为2800万元，由于改进销售方式，营业额连月上升，6月营业额达到3388万元，假设该公司5月、6月营业额的月平均增长率相同，求月平均增长率．

【分析】设月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求出答案．

解：设月平均增长率为x，

由题意可知：2800（1+x）2＝3388，

解得：x＝或x＝（舍去），

答：月平均增长率为10%．

四、解答题（每小题7分，共28分）

19．如图是由边长相等的小正方形组成的网格，点A、B均在格点上．

（1）在网格中，用无刻度的直尺画等腰直角三角形ACB．使∠ACB＝90；

（2）在（1）的条件下，点D在AC上（点D可以不在格点上）．在网格中，用无刻度的直尺画出∠CBD，使tan∠CBD＝．

【分析】（1）根据勾股定理取点C，使AC＝BC＝，根据勾股定理的逆定理可知：△ABC是等腰直角三角形；

（2）根据矩形的性质和三角函数的定义作出图形即可．

解：（1）如图1所示，

△ABC即为所求；

（2）如图2，

作法：①取两点G，H，并连接GH，根据矩形的对角线互相平分，可知AD＝CD，

②连接BD，则CD＝AC＝BC

则∠CBD即为所求；

20．某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙外开辟一处矩形的地进行绿化，其中边靠墙，且墙长为20m，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏50m，设AB的长为xm，矩形的面积为ym2．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求y的最大值．

【分析】（1）根据长方形的面积等于长乘以宽及墙体长度为20米，即可求出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）将y与x的函数关系式配方，写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的范围即可得解．

解：（1）y＝x（50﹣2x）＝﹣2x2+50x，

∵墙长为20m，

∴0＜50﹣2x≤20，

∴15≤x＜25，

∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x2+50x，自变量x的取值范围为15≤x＜25；

（2）∵y＝﹣2x2+50x

＝﹣2（x﹣12.5）2+312.5，

∵二次项系数为﹣2，对称轴为x＝12.5，

又∵15≤x＜25，

∴y随 x 的增大而减小，

∴当x＝15m，即AB＝15m，BC＝50﹣15×2＝20m时，长方形的面积最大，最大面积为：20×15＝300m2．

∴y的最大值为300m2．

21．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，它的外接圆的圆心O在其内部，连结OC，过点A作AD∥OC，交BC的延长线于点D．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若∠BAD＝105°，⊙O的半径为2，求劣弧AB的长．

【分析】（1）连接AO，根据圆周角定理和平行线的性质以及切线的判定定理即可得到结论；

（2）连接OB，根据已知条件得到∠OAB＝15°，根据三角形的内角和得到∠AOB＝150°，根据弧长的计算公式即可得到结论．

【解答】（1）证明：连接AO，

∵∠ABC＝45°，

∴∠AOC＝2∠B＝90°，

∵OC∥AD，

∴∠OAD＝90°，

∴AD是⊙O的切线；

（2）解：连接OB，

∵∠BAD＝105°，∠OAD＝90°，

∴∠OAB＝15°，

∵OB＝OA，

∴∠ABO＝15°，

∴∠AOB＝150°，

∴劣弧AB的长＝＝π．

22．宋家州主题公园拟修建一座柳宗元塑像，如图所示，柳宗元塑像（塑像中高者）DE在高13.4m的假山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求柳宗元塑像DE的高度．

（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）

【分析】由三角函数求出AC＝＝20m，得出BC＝AC﹣AB＝10m，在Rt△BCD中，由三角函数得出CD＝BC＝17.3m，即可得出答案．

解：∵∠ACE＝90°，∠CAE＝34°，CE＝13.4m，

∴，

∴，

∵AB＝10m，

∴BC＝AC﹣AB＝20﹣10＝10m，

在Rt△BCD中，，

∴，

∴DE＝CD﹣EC＝17.3﹣13.4＝3.9≈4m．

答：柳宗元塑像DE的高度约为4m．

五、解答题（每小题8分，共16分）

23．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上（点B在点A的右侧），AB＝3，AD＝8，AD⊥x轴，CD在第一象限，边AD的中点E在函数y＝（x＞0）的图象上，边BC交该函数图象于点F．连接BE．

（1）求BE的长；

（2）若CF﹣BE＝2，求k的值．

【分析】（1）由题意可知AE＝4，根据勾股定理即可求得BE的长；

（2）求得BF＝1，设E（m，4），则F（m+3，1），根据反比例函数系数k的几何意义得出k＝4m＝（m+3）×1，解得即可．

解：（1）由题意可知AE＝4，

∵矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，AD⊥x轴，且AB＝3，

∴BE＝＝＝5；

（2）∵BE＝5，CF﹣BE＝2，

∴CF＝7，

∵BC＝AD＝8，

∴BF＝8﹣7＝1，

设E（m，4），则F（m+3，1），

∵点E、F在函数y＝（x＞0）的图象上，

∴k＝4m＝（m+3）×1，

解得k＝4．

24．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，E为边BC的中点，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，边DE与边AB相交于点P，边EF与边CA延长线相交于点Q．

（1）求证：△PBE∽△ECQ．

（2）若BP＝3，CQ＝8，求BC的长．

【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B＝∠C＝45°，AB＝AC，又由AP＝AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得：△BPE≌△CQE；

（2）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP＝∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，

【解答】（1）证明：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，

∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，

∵∠BEQ＝∠EQC+∠C，

即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C，

∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°，

∴∠BEP＝∠EQC，

∴△BPE∽△CEQ，

（2）解：∵△BPE∽△CEQ，

∴＝，

∵BP＝3，CQ＝8，BE＝CE，

∴BE2＝24，

∴BE＝CE＝2，

∴BC＝4．

六、解答题（每小题10分，共20分）

25．如图，抛物线y＝﹣x﹣1与y轴交于点A，点B是抛物线上的一点，过点B作BC⊥x轴于点C，且点C的坐标为（9，0）．

（1）求直线AB的表达式；

（2）若直线MN∥y轴，分别与抛物线，直线AB，x轴交于点M、N、Q，且点Q位于线段OC之间，求线段MN长度的最大值；

（3）在（2）的条件下，当四边形MNCB是平行四边形时，求点Q的坐标．

【分析】（1）B为抛物线上的一点，BC⊥x轴，C（9，0），B点的横坐标为9，纵坐标为，即B（9，2）．即可求解；

（2）设线段MN的长为L，由抛物线和直线AB的解析式，得：＝＝．即可求解；

（3）若四边形MNCB是平行四边形，则需要MN＝BC，由点B、C的坐标可知BC＝2，即，即可求解．

解：（1）令x＝0，则y＝﹣1，即A（0，﹣1）．

∵B为抛物线上的一点，BC⊥x轴，C（9，0），

∴B点的横坐标为9，纵坐标为，即B（9，2）．

设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，将A（0，﹣1），B（9，2）代入上式并解得：

直线AB的函数解析式为；

（2）设线段MN的长为L，

由抛物线和直线AB的解析式，得：

＝＝．

故线段MN长度的最大值为；

（3）若四边形MNCB是平行四边形，则需要MN＝BC，

由点B、C的坐标可知BC＝2，

∴，解得：x＝1或x＝8．

故当点Q的坐标为（1，0）或（8，0）时，四边形MNCB是平行四边形．

26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D、E分别是AB、BC的中点．连接DE．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动．同时，动点Q从点C出发，沿折线CE﹣ED向终点D运动，在CE、ED上的速度分别是每秒3个单位长度和4个单位长度，连接PQ，以PQ、PD为边作▱DPQM．设▱DPQM与四边形ACED重叠部分图形的面积是S（平方单位），点P的运动时间为t（s）．

（1）当点P在AD上运动时，PQ的长为　8﹣4t　（用含t的代数式表示）；

（2）当▱DPQM是菱形时，求t的值；

（3）当0＜t＜2时，求S与t之间的函数关系式；

（4）当△DPQ与△BDE相似时，直接写出t的值．

【分析】（1）通过证明△BPQ∽△BAC，可得，即可求解；

（2）分两种情况讨论，由菱形的性质和相似三角形的性质可求解；

（3）分两种情况讨论，由梯形的面积公式和三角形的面积公式可求解；

（4）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．

解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，

∴BC＝＝＝6，

∵D、E分别是AB、BC的中点．

∴DE∥AC，DE＝AC＝4，BD＝AD＝5，BE＝CE＝3，

∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动，

∴AP＝5t，

∴BP＝10﹣5t，

∵DE∥AC，

∴△BPQ∽△BAC，

∴，

∴

∴PQ＝8﹣4t，

故答案为：8﹣4t；

（2）当点P在AD上运动时，

∵四边形DPQM是菱形，

∴PD＝PQ，

∴5﹣5t＝8﹣4t，

∴t＝﹣3（不合题意舍去），

当点P在BD上运动时，过点P作PH⊥DQ于H，

∵四边形DPQM是菱形，

∴PD＝PQ，且PH⊥DQ，

∴DH＝HQ＝DQ＝[4﹣4（t﹣1）]＝4﹣2t，

∵DE∥AC，

∴∠DEB＝∠ACB＝90°＝∠PHD，

∴PH∥BE，

∴△PDH∽△BDE，

∴，

∴，

∴t＝，PH＝3t﹣3，

综上所述：当t＝时，▱DPQM是菱形；

（3）当0＜t＜1时，

S＝×（8﹣4t+4）×（3﹣3t）＝6t2﹣24t+18，

当t＝1时，不能作出▱DPQM，

当1＜t＜2时，

S＝×（8﹣4t）×（3t﹣3）＝﹣6t2+18t﹣12；

（4）当点P在AD上时，不存在△DPQ与△BDE相似，

当点P在BD上时，则∠PDQ＝∠BDE，

若∠PQD＝∠DEB＝90°时，

∴△PDQ∽△BDE，

∴，

∴

∴t＝，

若∠DPQ＝∠DEB＝90°时，

∴△QPD∽△BED，

∴，

∴

∴t＝

综上所述：当t＝或时，△DPQ与△BDE相似．

2020年吉林省名校调研（省命题A卷）中考数学二模试卷（解析版）