新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编

三角函数、解三角形

一、选择题

【2017，11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=( )

A． B． C． D．

【2016，4】的内角的对边分别为．已知，，，则（ ）

A． B． C． D．

【2016，6】若将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（ ）．

A． B． C． D．

【2015，8】函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )

A． B．

C． D．

【2014，7】在函数① y=cos|2x|，②y=|cosx|，③，④中，最小正周期为π的所有函数为( )

A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③

【2014，2】若，则（ ）

A． B． C． D．

【2013，10】已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝(　　)

A．10 B．9 C．8 D．5

【2012，9】9．已知，，直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，则（ ）

A． B． C． D．

【2011，7】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）．

A． B． C． D．

【2011，11】设函数，则 （ ）

A．在单调递增，其图象关于直线对称

B．在单调递增，其图象关于直线对称

C．在单调递减，其图象关于直线对称

D．在单调递减，其图象关于直线对称

二、填空题

【2017，15】已知，，则________．

【2016，】14．已知是第四象限角，且，则 ．

【2013，16】设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝______．

【2014，16】如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为

测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角

以及；从点测得．

已知山高，则山高 ．

【2011，15】中，，，，则的面积为 ．

三、解答题

【2015，17】已知分别为内角的对边，．

（1）若，求；（2）设，且，求的面积．

【2012，17】已知，，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，．

（1）求A；（2）若，△ABC的面积为，求，．

解 析

一、选择题

【2017，11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=( )

A． B． C． D．

【答案】B

【解法】解法一：因为，，

所以，又，所以，，又，所以，又a=2，c=，由正弦定理得,即．又，所以，故选B．

解法二：由解法一知，即，又，所以．下同解法一．

【2016，4】的内角的对边分别为．已知，，，则（ ）

A． B． C． D．

解析：选D ．由余弦定理得，即，

整理得，解得．故选D．

【2016，6】若将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（ ）．

A． B． C． D．

解析：选D．将函数的图像向右平移个周期，即向右平移个单位，

故所得图像对应的函数为．故选D．

【2015，8】函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )

A． B．

C． D．

解：选D．依图，，解得ω=π，， ，

，解得，故选D．

【2014，7】在函数① y=cos|2x|，②y=|cosx|，③，④中，最小正周期为π的所有函数为( )

A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③

解：选A．由是偶函数可知①y=cos|2x|=cos2x，最小正周期为π；②y=|cosx|的最小正周期也是π；③中函数最小正周期也是π；正确答案为①②③，故选A

【2014，2】若，则（ ）

A． B． C． D．

解：选C．tanα>0，α在一或三象限，所以sinα与cosα同号，故选C

【2013，10】已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝(　　)．

A．10 B．9 C．8 D．5

解析：选D．由23cos2A＋cos 2A＝0，得cos2A＝．∵A∈，∴cos A＝．

∵cos A＝，∴b＝5或(舍)．

【2012，9】9．已知，，直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，则（ ）

A． B． C． D．

【解析】选A．由直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，

得的最小正周期，从而．

由此，由已知处取得最值，

所以，结合选项，知，故选择A．

【2011，7】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）．

A． B． C． D．

【解析】设为角终边上任意一点，则．

当时，；当时，．

因此．故选B．

【2011，11】设函数，则 （ ）

A．在单调递增，其图象关于直线对称

B．在单调递增，其图象关于直线对称

C．在单调递减，其图象关于直线对称

D．在单调递减，其图象关于直线对称

【解析】因为，

当时，，故在单调递减．

又当时，，因此是的一条对称轴．故选D．

二、填空题

【2017，15】已知，，则________．

【解析】．，，又，解得，，．

【基本解法2】，，角的终边过，故，，其中，．

【2016，】14．已知是第四象限角，且，则 ．

解析：．由题意．

因为，所以，

从而，因此．故填．

方法2：还可利用来进行处理，或者直接进行推演，即由题意，故，所以．

【2013，16】设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝______．

答案：

解析：． ∵f(x)＝sin x－2cos x＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝．

当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)取最大值．即θ－φ＝2kπ＋(k∈Z)，θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z)．

∴cos θ＝＝－sin φ＝．

【2014，16】16．如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及

；从点测得．

已知山高，则山高 ．

解：在RtΔABC中，由条件可得，

在ΔMAC中，∠MAC=45°；由正弦定理可得，故，在直角RtΔMAN中，MN=AMsin60°=150．

【2011，15】中，，，，则的面积为 ．

【解析】由余弦定理知，

即，解得．

故．故答案为．

三、解答题

【2015，17】已知分别为内角的对边，．

（1）若，求；（2）设，且，求的面积．

解析：（1）由正弦定理得，．又，

所以，即．则．

（2）解法一：因为，所以，

即，亦即．

又因为在中，，所以，

则，得．

所以为等腰直角三角形，得，所以．

解法二：由（1）可知，①

因为，所以，②

将代入得，则，所以．

解：(Ⅰ) 因为sin2B=2sinAsinC． 由正弦定理可得b2=2ac．

又a=b，可得a=2c， b=2c，由余弦定理可得．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知b2=2ac． 因为B=90°，所以a2+c2=b2=2ac．

解得a=c=． 所以ΔABC的面积为1．

【2012，17】已知，，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，．

（1）求A；

（2）若，△ABC的面积为，求，．

【解析】（1）根据正弦定理，得， ，

因为，

所以，

化简得，

因为，所以，即，

而，，从而，解得．

（2）若，△ABC的面积为，又由（1）得，

则，化简得，

从而解得，．

2011—2017年高考全国卷文科数学三角函数、解三角形汇编