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平方差公式

1、利用平方差公式计算：

（1）(m+2) (m-2)

(2)(1+3a) (1-3a)

(3) (x+5y)(x-5y)

(4)(y+3z) (y-3z)

2、利用平方差公式计算

（1）(5+6x)(5-6x)

(2)(x-2y)(x+2y)

(3)(-m+n)(-m-n)

3利用平方差公式计算

（1）(1)(- x-y)(- x+y)

(2)(ab+8)(ab-8)

(3)(m+n)(m-n)+3n2

4、利用平方差公式计算

(1)(a+2)(a-2)

(2)(3a+2b)(3a-2b)

(3)(-x+1)(-x-1)

(4)(-4k+3)(-4k-3)

5、利用平方差公式计算

（1）803×797

（2）398×402

7．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）

A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b）

C．（ a+b）（b－a） D．（a2－b）（b2+a）

8．下列计算中，错误的有（ ）

①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；

③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（ ）

A．5 B．6 C．－6 D．－5

10．（－2x+y）（－2x－y）=______．

11．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．

12．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．

13．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．

14．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．

完全平方公式

1利用完全平方公式计算：

（1）（x+y)2 (2)(-2m+5n)2

(3)（2a+5b)2 (4)(4p-2q)2

2利用完全平方公式计算：

（1）(x-y2)2 (2)(1.2m-3n)2

(3)(- a+5b)2 (4)(- x-y)2

3 (1)(3x-2y)2+(3x+2y)2 (2)4(x-1)(x+1)-（2x+3)2

(a+b)2-(a-b)2 (4)(a+b-c)2

(5)(x-y+z)(x+y+z) (6)(mn-1)2—（mn-1)(mn+1)

4先化简，再求值：(x+y)2-4xy,其中x=12,y=9。

5已知x≠0且x+=5,求的值.

平方差公式练习题精选(含答案)

一、基础训练

1．下列运算中，正确的是（ ）

A．（a+3）（a-3）=a2-3 B．（3b+2）（3b-2）=3b2-4

C．（3m-2n）（-2n-3m）=4n2-9m2 D．（x+2）（x-3）=x2-6

2．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）

A．（x+1）（1+x） B．（ a+b）（b-a）

C．（-a+b）（a-b） D．（x2-y）（x+y2）

3．对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整数是（ ）

A．3 B．6 C．10 D．9

4．若（x-5）2=x2+kx+25，则k=（ ）

A．5 B．-5 C．10 D．-10

5．9.8×10.2=________; 6．a2+b2=（a+b）2+______=（a-b）2+________．

7．（x-y+z）（x+y+z）=________; 8．（a+b+c）2=_______．

9．（ x+3）2-（x-3）2=________．

10．（1）（2a-3b）（2a+3b）； （2）（-p2+q）（-p2-q）；

（3）（x-2y）2； （4）（-2x-y）2．

11．（1）（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）；

（2）（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）．

12．有一块边长为m的正方形空地，想在中间位置修一条“十”字型小路，小路的宽为n，试求剩余的空地面积；用两种方法表示出来，比较这两种表示方法，验证了什么公式？

二、能力训练

13．如果x2+4x+k2恰好是另一个整式的平方，那么常数k的值为（ ）

A．4 B．2 C．-2 D．±2

14．已知a+=3，则a2+，则a+的值是（ ）

A．1 B．7 C．9 D．11

15．若a-b=2，a-c=1，则（2a-b-c）2+（c-a）2的值为（ ）

A．10 B．9 C．2 D．1

16．│5x-2y│·│2y-5x│的结果是（ ）

A．25x2-4y2 B．25x2-20xy+4y2 C．25x2+20xy+4y2 D．-25x2+20xy-4y2

17．若a2+2a=1，则（a+1）2=_________．

三、综合训练

18．（1）已知a+b=3，ab=2，求a2+b2；

（2）若已知a+b=10，a2+b2=4，ab的值呢？

19．解不等式（3x-4）2>（-4+3x）（3x+4）．

参考答案

1．C 点拨：在运用平方差公式写结果时，要注意平方后作差，尤其当出现数与字母乘积的项，系数不要忘记平方；D项不具有平方差公式的结构，不能用平方差公式，而应是多项式乘多项式．

2．B 点拨：（a+b）（b-a）=（b+a）（b-a）=b2-a2．

3．C 点拨：利用平方差公式化简得10（n2-1），故能被10整除．

4．D 点拨：（x-5）2=x2-2x×5+25=x2-10x+25．

5．99.96 点拨：9.8×10.2=（10-0.2）（10+0.2）=10-0.2=100-0.04=99.96．

6．（-2ab）；2ab

7．x2+z2-y2+2xz

点拨：把（x+z）作为整体，先利用平方差公式，然后运用完全平方公式．

8．a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

点拨：把三项中的某两项看做一个整体，运用完全平方公式展开．

9．6x 点拨：把（x+3）和（x-3）分别看做两个整体，运用平方差公式（x+3）2-（x-3）2=（x+3+x-3）[x+3-（x-3）]=x·6=6x．

10．（1）4a2-9b2；（2）原式=（-p2）2-q2=p4-q2．

点拨：在运用平方差公式时，要注意找准公式中的a，b．

（3）x4-4xy+4y2；

（4）解法一：（-2x-y）2=（-2x）2+2·（-2x）·（-y）+（-y）2=4x2+2xy+y2．

解法二：（-2x-y）2=（2x+y）2=4x2+2xy+y2．

点拨：运用完全平方公式时，要注意中间项的符号．

11．（1）原式=（4a2-b2）（4a2+b2）=（4a2）2-（b2）2=16a4-b4．

点拨：当出现三个或三个以上多项式相乘时，根据多项式的结构特征，先进行恰当的组合．

（2）原式=[x+（y-z）][x-（y-z）]-[x+（y+z）][x-（y+z）]

=x2-（y-z）2-[x2-（y+z）2]

=x2-（y-z）2-x2+（y+z）2

=（y+z）2-（y-z）2

=（y+z+y-z）[y+z-（y-z）]

=2y·2z=4yz．

点拨：此题若用多项式乘多项式法则，会出现18项，书写会非常繁琐，认真观察此式子的特点，恰当选择公式，会使计算过程简化．

12．解法一：如图（1），剩余部分面积=m2-mn-mn+n2=m2-2mn+n2．

解法二：如图（2），剩余部分面积=（m-n）2．

∴（m-n）2=m2-2mn+n2，此即完全平方公式．

点拨：解法一：是用边长为m的正方形面积减去两条小路的面积，注意两条小路有一个重合的边长为n的正方形．

解法二：运用运动的方法把两条小路分别移到边缘，剩余面积即为边长为（m-n）的正方形面积．做此类题要注意数形结合．

13．D 点拨：x2+4x+k2=（x+2）2=x2+4x+4，所以k2=4，k取±2．

14．B 点拨：a2+=（a+）2-2=32-2=7．

15．A 点拨：（2a-b-c）2+（c-a）2=（a+a-b-c）2+（c-a）2=[（a-b）+（a-c）] 2+（c-a）2=（2+1）2+（-1）2=9+1=10．

16．B 点拨：（5x-2y）与（2y-5x）互为相反数；│5x-2y│·│2y-5x│=（5x-2y）2=25x2-20xy+4y2．

17．2 点拨：（a+1）2=a2+2a+1，然后把a2+2a=1整体代入上式．

18．（1）a2+b2=（a+b）2-2ab．

∵a+b=3，ab=2，

∴a2+b2=32-2×2=5．

（2）∵a+b=10，

∴（a+b）2=102，

a2+2ab+b2=100，∴2ab=100-（a2+b2）．

又∵a2+b2=4，

∴2ab=100-4，

ab=48．

点拨：上述两个小题都是利用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2中（a+）、ab、（a2+b2）三者之间的关系，只要已知其中两者利用整体代入的方法可求出第三者．

19．（3x-4）2>（-4+3x）（3x+4），

（3x）2+2×3x·（-4）+（-4）2>（3x）2-42，

9x2-24x+16>9x2-16，

-24x>-32．

x<．

点拨：先利用完全平方公式，平方差公式分别把不等式两边展开，然后移项，合并同类项，解一元一次不等式．

八年级数学上学期平方差公式同步检测练习题

1.(2004·青海)下列各式中，相等关系一定成立的是( )

A.(x-y)2=(y-x)2 B.(x+6)(x-6)=x2-6

C.(x+y)2=x2+y2 D.6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x-6)

2.(2003·泰州)下列运算正确的是( )

A.x2+x2=2x4 B.a2·a3= a5

C.(-2x2)4=16x6 D.(x+3y)(x-3y)=x2-3y2

3.(2003·河南)下列计算正确的是( )

A.(-4x)·(2x2+3x-1)=-8x3-12x2-4x

B.(x+y)(x2+y2)=x3+y3

C.(-4a-1)(4a-1)=1-16a2

D.(x-2y)2=x2-2xy+4y2

4.(x+2)(x-2)(x2+4)的计算结果是( )

A.x4+16 B.-x4-16 C.x4-16 D.16-x4

5.19922-1991×1993的计算结果是( )

A.1 B.-1 C.2 D.-2

6.对于任意的整数n，能整除代数式(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整数是( )

A.4 B.3 C.5 D.2

7.( )(5a+1)=1-25a2，(2x-3) =4x2-9，(-2a2-5b)( )=4a4-25b2

8.99×101=( )( )= .

9.(x-y+z)(-x+y+z)=[z+( )][ ]=z2-( )2.

10.多项式x2+kx+25是另一个多项式的平方，则k= .

11.(a+b)2=(a-b)2+ ，a2+b2=[(a+b)2+(a-b)2]( )，

a2+b2=(a+b)2+ ，a2+b2=(a-b)2+ .

12.计算.

(1)(a+b)2-(a-b)2；

(2)(3x-4y)2-(3x+y)2；

(3)(2x+3y)2-(4x-9y)(4x+9y)+(2x-3y)2；

(4)1.23452+0.76552+2.469×0.7655；

(5)(x+2y)(x-y)-(x+y)2.

13.已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值

14.已知a+=4，求a2+和a4+的值.

15.已知(t+58)2=654481，求(t+84)(t+68)的值.

16.解不等式(1-3x)2+(2x-1)2＞13(x-1)(x+1).

17.已知a=1990x+1989，b=1990x+1990，c=1990x+1991，求a2+b2+c2-ab-ac-bc的值.

18.(2003·郑州)如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，求a+b的值.

19.已知(a+b)2=60，(a-b)2=80，求a2+b2及ab的值.

参考答案

1.A 2.B 3.C 4.C 5.A 6.C 7.1-5a 2x+3 -2a2+5b 8.100-1 100+1 9999 9.x-y z-(x-y) x-y 10.±10 11.4ab - 2ab 2ab

12.(1)原式=4ab；(2)原式=-30xy+15y；(3)原式=-8x2+99y2；(4)提示：原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=22=4. (5)原式=-xy-3y2.

13.提示：逆向应用整式乘法的完全平方公式和平方的非负性.

∵m2+n2-6m+10n+34=0，

∴(m2-6m+9)+(n2+10n+25)=0，

即(m-3)2+(n+5)2=0，

由平方的非负性可知，

∴∴m+n=3+(-5)=-2.

14.提示：应用倒数的乘积为1和整式乘法的完全平方公式.

∵a+=4,∴(a+)2=42.

∴a2+2a·+=16，即a2++2=16.

∴a2+=14.同理a4+=194.

15.提示：应用整体的数学思想方法，把(t2+116t)看作一个整体.

∵(t+58)2=654481，∴t2+116t+582=654481.

∴t2+116t=654481-582.

∴(t+48)(t+68)

=(t2+116t)+48×68

=654481-582+48×68

=654481-582+(58-10)(58+10)

=654481-582+582-102

=654481-100

=654381.

16.x＜

17.解：∵a=1990x+1989，b=1990x+1990，c=1990x+1991，

∴a-b=-1，b-c=-1，c-a=2.

∴a2+b2+c2-ab-ac-be

= (2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)

= [(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)]

= [(a-b2)+(b-c)2+(c-a)2]

= [(-1)2+(-1)2+22]

= (1+1+4)

=3.

18.解：∵(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，

∴[(2a+2b)+1][(2a+2b)-1]=63，

∴(2a+2b)2-1=63，∴(2a+2b)2=64，

∴2a+2b=8或2a+2b=-8，∴a+b=4或a+b=-4，

∴a+b的值为4或一4.

19.a2+b2=70，ab=-5.

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平方差公式练习题精选（含答案）