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发布时间：2023-11-17 05:14:59

“培养核心素养渗透数学美育”审美训练案例
动直线截三角形两边所得线段比的美妙结论
四川省成都市金牛区教育科学研究院谢祥
1.知识背景
本案例涉及相似三角形的性质定理、判定定理，平行线截线段成比例定理，共高三角形面积之比等于对应底边之比，配方法求二次式的最值等知识，所以本案例适合初三学生学习了相关定理之后使用。
2.审美方法
2.1问题初探，感受数学方法美
问题1:如图所示，已知O是ABC的BC边的中点，过O的直线交直线AB、AC分别于M、N,且ABACm，n，则mnAMANA师生活动
常规解法：过B作直线BD//AC交MN于D，设AMt，则ABmtBM(1mt
BBDO易得1m
MANNC同理可得n1由于O是ABC的BC边的中点，所以NCBD
AN1mn1所以mn2
NC巧思妙解:巧解1极限思维，直线MN绕O点旋转到与BC重合，此时mn1所以mn2
巧解2极限思维，直线MN绕O点旋转到与AB平行，此时M在无限远处，m0而AC2AN所以n2，所以mn2
赏析：本问题奇异点在于，过中点O的直线分别交直线AB、直线AC于M、N两点，由于动直线它可以绕O点旋转，所以M、N两点其实是“不确定”的，对应线段比m,n也将随着M、N的变化而变化，但是在“变化中”存在“不变的”量，即mn2，这让我们惊奇和意外，该规律具有数学奇异美。对于速解“选填题”，两个巧思妙解十分有效，它们都是用“极限思维”方法求得结论。从逻辑上看，既然动直线没有约定满足怎样的条件，当然可以在“任意状态”下考虑“特殊状态”，迅速得到结论，巧思妙解的方法简洁美。2.2.问题深究，感悟数学思想美
如果其它条件不变，只将O是中点，变化为一般情况可以提出如下新问题
问题2:如图所示，已知O是ABC的BC边的一点,且COk（k0常数）AOBCOkOBBMONC（k0常数），过O的直线交直线AB、AC分别于M、N,且1

ABACm，n，探索m与n之间的关系AMAN师生活动
解：过B作直线BD//AC交MN于D，设AMt，则ABmtBM(1mt
BD1m即BD(1mAN
ANNC同理可得n1即NC(n1AN，由AN易得
n1ANNCCOk易知k所以BDOB1mAN整理得n1k1m即nk(1m1
赏析：对于CO，当k1时，则o为中点。由“中点”推广问题到k（k0常数）OB“任意点”，由特殊到一般，可以培养“数学抽象”、“逻辑推理”等核心素养。探索m与n之间的关系，关键是构造相似三角形，使三个比值k,m,n建立联系，类比问题1的常规解法，该常规解法适合于任意状态的，其实是解答此类问题的通法，结论反映的是任意给定一个k值代入上面结论，则相应确定n与m间的函数k,m,n三个比值之间的关系，关系（如k2，点

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