课时作业 8　“杨辉三角”与二项式系数的性质

|基础巩固|(25分钟，60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1.11的展开式中二项式系数最大的项是(　　)

A．第6项　　B．第8项

C．第5,6项 D．第6,7项

解析：由n＝11为奇数，则展开式中第项和第＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．

答案：D

2．若n(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为(　　)

A．210 B．252

C．462 D．10

解析：由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n＝10，于是得其常数项为C＝210.

答案：A

3．若(1＋2x)6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x的取值范围是(　　)

A.<x< B.<x<

C.<x< D.<x<

解析：由解得<x<.

答案：A

4．若C＝C(n∈N*)，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan等于(　　)

A．81 B．27

C．243 D．729

解析：由C＝C可知n＝4，令x＝－1，可得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝34＝81.

答案：A

5．已知关于x的二项式n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　　)

A．2 B．±1

C．1 D．±2

解析：∵二项式系数和为2n＝32，

∴n＝5，

∴通项公式为Tr＋1＝C·()5－r·r

＝C·ar·x.

∵常数项为80.

∴r＝3时，C·a3＝80，

∴a＝2，故选A.

答案：A

二、填空题(每小题5分，共15分)

6．(1＋)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．

解析：因为8＋C＋…＋C<32，

即8<2n<32，且n∈N*，

所以n＝4.

所以展开式共有5项，系数最大的项为T3＝C()2＝6x.

答案：6x

7．(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.

解析：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.

令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①

令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②

①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，

∴a＝3.

答案：3

8．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2 3.

解析：由杨辉三角知，第一行中的数是C、C；第2行中的数是C、C、C；第3行中的数是C、C、C、C；…；第n行中的数是C、C、C、…、C.设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2 3，则C C＝2 3，解之得n＝34.

答案：34

三、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含x项的系数及二项式系数．

解析：n展开式的通项公式

Tr＋1＝C·()n－rr＝rCx.

由题意知：C，C，C成等差数列，

则C＝C＋C，

即n2－9n＋8＝0，

解得n＝8或n＝1(舍去)．

∴Tr＋1＝rCx4－r.令4－r＝1，得r＝3，

∴含x项的系数为3C＝7，二项式系数为C＝56.

10．在8的展开式中，

(1)求二项式系数最大的项；

(2)系数的绝对值最大的项是第几项？

解析：(1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．

故T5＝C·24·x4－＝1 120x－6.

(2)因Tk＋1＝C·()8－kk＝(－1)k·C·2k·x.

设第k＋1项系数的绝对值最大，

则

即整理得

于是k＝5或6.

故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项．

|能力提升|(20分钟，40分)

11．若n(n∈N*)的展开式中存在常数项，则n的最小值是(　　)

A．3 B．5

C．8 D．10

解析：Tr＋1＝C(2x3)n－r·x－2r＝C2n－rx3n－5r.

∵展开式中存在常数项，∴3n－5r＝0，即n＝r，又3,5互质，r必是3的倍数，∴当r＝3时，n的最小值是5.

答案：B

12．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0－1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________．

解析：观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n－1行；∵n＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1，第61行共有32个1.

答案：2n－1　32

13．已知(1－2x)7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a7(x－1)7.求：

(1)a0＋a1＋a2＋…＋a7；

(2)a0＋a2＋a4＋a6.

解析：(1)令x＝2，

则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(1－4)7＝－37＝－2 187.①

(2)令x＝0，

则a0－a1＋a2－…＋a6－a7＝1.②

得a0＋a2＋a4＋a6＝＝－1 093.

14．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11.

(1)求x2的系数取最小值时n的值．

(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．

解析：(1)由已知C＋2C＝11，所以m＋2n＝11，

x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1)

＝＋(11－m)·

＝2＋.

因为m∈N*，所以m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.

(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，

所以f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3，

设这时f(x)的展开式为

f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，

令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，

令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，

两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，

故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.

K12学习2018版高中数学 第一章 计数原理 课时作业8“杨辉三角”与二项式系数的性质 新人教A版选修2-3