专题04 函数的概念及表示

考点12 函数的概念

1．函数:(1)设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

(2)值域是集合B的子集．

2．区间的概念（a，b∈R，且a<b）

3．函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数相等．

【例】给出下列两个集合的对应：

①；

②；

③；

④；

⑤．

其中是到的函数有__________个．

【答案】2

【名师点睛】本题所给集合都是数集，关键是看根据给出的对应关系，自变量在其取值集合中的每一个值是否都有唯一的值与之对应．

【解题必备】（1）“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．

（2）理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A，但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集．

（3）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个（任意性）元素x，在非空数集B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y与之对应．

（4）函数符号“”是数学中抽象符号之一，“”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，也不一定是解析式，还可以是图表或图象．

1．如图所示，不可能是函数图象的是

A． B． C． D．

【答案】D

2．下列各组函数中的两个函数是相等函数的是

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】A,C,D的定义域均不同，B中定义域，对应关系都相同，是同一函数．

3．给出下列四个命题：

（1）函数就是两个数集之间的对应关系

（2）若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素

（3）因为f(X)=5（x）的函数值不随x的变化而变化，所以f(X)=5（x）不是函数

（4）定义域和对应关系确定以后，函数的值域也确定了。

其中正确的个数

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】对于（1）必须是非空数集之间的对应关系，并且对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，对于（3）对于x中的每一个值，都有唯一确定的值5与之对应，符合函数的定义。故选B

【概念辨析】函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个（任意性）元素x，在非空数集B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．

4．下列关于函数与区间的说法正确的是

A．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集

B．函数定义域和值域确定后，其对应关系也就确定了

C．数集都能用区间表示

D．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应

【答案】D

5．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是

A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x

【答案】C

【解析】C中，f(2x)＝2x＋1,2f(x)＝2x＋2．

∴f(2x)≠2f(x)，则C项不满足f(2x)＝2f(x)．

6．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为

（1），；

（2），；

（3），；

（4），．

A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）

【答案】C

【解析】（1）中定义域为，定义域为R,故定义域不同；（2）中定义域为，定义域为,故定义域不同；（3）中值域为R，值域为,故值域不同；（4）中，定义域与值域均相同．

【解题技巧】判定两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．

1．下列所给图象是函数图象的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

2．下列各组函数表示相等函数的是

A．与y=x+3

B．与y=x–1

C．y=x0（x≠0）与y=1（x≠0）

D．y=2x+1（x∈Z）与y=2x–1（x∈Z）

【答案】C

【解析】选项A前者的定义域为{x|x≠3}，而后者的定义域为R；选项B前者的对应关系为y=|x|–1而后者为y=x–1；选项D前者的对应关系为y=2x+1而后者为y=2x–1．故选C．

3．http://www.ks5u.com/函数y=f(x)的图象与直线x=1的公共点有（ ）个．

【答案】0或1

【解析】设函数的定义域为[a，b]，由函数的定义知，函数的定义域中含有元素1时，y有唯一的一个值与之对应，此时函数y=f(x)的图象与直线x=1有一个交点(如图①所示)；定义域中不包含1时，函数图象与x=1没有交点(如图②所示)．

4．下面两个函数是否相等？请说明理由．

(1)f(x)＝，g(x)＝x＋2；

(2)f(x)＝，g(x)＝|x＋2|；

(3)f(x)＝·，g(x)＝

【答案】（1）不相等；（2）相等；（3）不相等，理由见解析．

早期的函数概念

1673年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用“流量”来表示变量间的关系。

1718年约翰·柏努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。

考点13 函数的表示法

函数的常用表示法有：解析法、列表法、图象法．

【例】（1）某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是

（2）已知函数f（x）按下表给出，满足f[f（x）]>f（3）的x的值为________．

【答案】（1）D　（2）3或1

【解题必备】解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域．

图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点．

列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性．

三种表示方法的优缺点比较：

1．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：

要使每天的收入最高，每间房的定价应为

A．100元 B．90元 C．80元 D．60元

【答案】C

2．某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前进了akm，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了bkm(b<a)，再折回匀速前进ckm，则此人距起点的距离s与时间t的关系示意图正确的是

【答案】C

【规律总结】列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线．

3．如果＝，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于

A． B． C． D．－1

【答案】B

【解析】令＝t，则x＝，f(t)＝＝，∴f(x)＝．故选B．

【解题技巧】求函数解析式的常见方法

(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．

(2)换元法：已知f(h(x))＝g(x)求f(x)时，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元，求出f(t)的解析式，再将t替换为x即可．

(3)转化法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足的等量关系间接获得其解析式．

(4)解方程组法：已知关于f(x)与(或f(－x))的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程构成方程组求出f(x)．

4．已知f（x）是一次函数，若f（f（x））＝4x＋8，则f（x）的解析式为________________．

【答案】f（x）＝2x＋或f（x）＝－2x－8

【解析】设f（x）＝ax＋b（a≠0），则f（f（x））＝f（ax＋b）＝a2x＋ab＋B．

∴，解得或

5．一个面积为100cm2的等腰梯形，上底长为xcm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为

A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0)

C．y＝(x>0) D．y＝(x>0)

【答案】C

【解析】由·y＝100，得2xy＝100．即y＝(x>0)．

【易错易混】利用函数解决实际问题时，注意函数的定义域要使实际问题有意义。

6．已知f（x－1）＝x2，则f（x）的解析式为．

A．f（x）＝x2＋2x＋1 B．f（x）＝x2－2x＋1

C．f（x）＝x2＋2x－1 D．f（x）＝x2－2x－1

【答案】A

7．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，求f(x)的解析式．

【解析】设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

∴f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋B．

∴a2x＋ab＋b＝4x＋3．

∴∴或

∴f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3．

1．用区间表示集合{x|x>–1且x≠2}=。

【答案】（–1，2）∪（2，+∞）

【解析】集合{x|x>–1且x≠2}用区间表示为：（–1，2）∪（2，+∞）．

故答案为：（–1，2）∪（2，+∞）．

2．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为

A．y＝x B．y＝x

C．y＝x D．y＝x

【答案】C

【解析】正方形边长为，而（2y）2＝（）2＋（）2，∴y2＝．∴y＝＝x．

3．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升．

【答案】8

【解析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8．

4．已知函数f(x–1)=x2–4x，求函数f(x)，f(2x+1)的解析式．

做账

首先要规定数额为正即为借入，数额为负即为贷出，在数额单元格显示可以用条件格式实现，若想在另一栏显示则可用用函数实现。

使用条件格式：选中金额位置的一个单元格，格式——条件格式——弹出对话框——数值大于0填充绿色，增加条件，数值小于0填充红色。用格式刷填充其他位置的单元格，OK！

使用函数：若金额的列在EXCEL中为H列，在G列显示“借入”或“贷出”，则可以在G2单元格输入条件函数=if(H2>=0,"借入","贷出")，将G2单元格向下复制填充，OK！

考点14 分段函数

分段函数

（1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．

（2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．

（3）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．

【例】已知，则=_________．

【名师点睛】解题时一定要注意自变量的范围，只有在自变量确定的范围内才可以进行运算．本题中，且对应的解析式是，所以要通过这个式子把自变量的值转化到，从而利用对应的解析式求解．

作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．

【解题必备】（1）分段函数每一段都有一个解析式，这些解析式组成的整体才是该分段函数的解析式．分段函数是一个函数，而不是几个函数．

（2）分段函数的定义域：一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．

（3）分段函数的值域：求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集．

1．已知函数，则f(3)的值是

A．1 B．2 C．8 D．9

【答案】A

【解析】依题意，得f(3)＝3－2＝1．

2．已知，则f（3）为

A．2 B．3 C．4 D．5

【解题技巧】分段函数“两种”题型的求解策略

(1)根据分段函数解析式求函数值

首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．

(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围

应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．

[提醒]当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．

3．f（x）＝|x－1|的图象是．

【答案】B

【解析】∵，当x＝1时，f（1）＝0可排除A，C．又x＝－1时，f（－1）＝2，排除D．

【规律总结】解决此类问题的关键是明确函数的定义域对函数图象的限制，再利用一些特殊的点，采用排除法确定函数的图象．若解析式中含有参数，关键有两点：一是抓住函数解析式的特征，注意解析式中的参数在函数图象中的体现；二是由已知函数图象得到相关信息，由此确定解析式中参数的取值．

4．已知函数，使函数值为5的x的值是

A．－2 B．2或－

C．2或－2 D．2或－2或－

5．设则f（g（π））的值为

A．1 B．0

C．－1 D．π

【答案】B

【解析】由题设，g（π）＝0，f（g（π））＝f（0）＝0．

【思路分析】（1）明确分段函数和复合函数的意义是解本题的关键，而f[g(x)]的意义是以g(x)为自变量的函数解析式．

（2）求分段函数的函数值的关键是看自变量在哪个范围内，然后再“分段归类”．

6．已知函数若f(f(0))＝4a，则实数a＝________．

【答案】2

【解析】依题意，得f(0)＝3×0＋2＝2，则f(f(0))＝f(2)＝4＋2a，所以4＋2a＝4a，解得a＝2．

7．已知直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，求a的取值范围．

【解析】y＝x2－|x|＋a＝

如图，在同一直角坐标系内画出直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a，观图可知，a的取值必须满足，解得1<a<．

1．下列表示函数y＝f（x），则f（11）＝

A．2 B．3

C．4 D．5

【答案】C

【解析】由表可知f（11）＝4．

2．函数y＝|x2－2x|的图象是图中的

【答案】B

【解析】因为所以所求的图象为B选项．

3．设f(x)＝则f(5)的值是

A．24 B．21 C．18 D．16

【答案】A

【解析】f(5)＝f（f(10)），f(10)＝f（f(15)）＝f(18)＝21，f(5)＝f(21)＝24．

4．已知函数

(1)试比较f(f(－3))与f(f(3))的大小；

(2)画出函数f(x)的图象；

(3)若f(x)＝1，求x的值．

(2)函数图象如图实线部分所示．

(3)由f(x)＝1和函数图象综合判断，可知在(－∞，1)上，由f(x)＝－2x＋1＝1，解得x＝0；

在[1，＋∞)上，由f(x)＝x2－2x＝1，解得x＝1＋或x＝1－(舍去)．

于是x的值为0或1＋．

函数知识记忆口诀

函数新概念，记忆要素三；定义域值域，关系式相连；

函数表示法，记住也不难；图象和列表，解析最常见．

考点15 函数的定义域及其求法

1．函数的定义域是指使式子有意义的所有实数x的集合，在实际问题中，还应当注意实际意义．

2．在求解较为复杂函数的定义域时，如一个函数是由两个或两个以上的数学式子的和、差、积、商构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．

【例】函数的定义域是

A． B．

C． D．

【名师点睛】对于，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域．当函数以解析式的形式给出时，函数的定义域是使这个解析式有意义的自变量x的取值范围．

求函数的定义域：（1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数式有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③要求x≠0等．

（2）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．

（3）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围．

（4）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围．

注意：①求函数的定义域时，一定要根据最原始的解析式求解，否则可能会改变原函数的定义域．②定义域必须用集合或区间（后面内容中学习）表示；③由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求．

已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值或取值范围，需运用分类讨论以及转化与化归的方法，转化为方程或不等式的解集问题，根据方程或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围．这种思想方法即通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．

1．函数y＝＋的定义域为

A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}

C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}

【答案】D

【解析】由题意可知解得0 x 1．

2．函数f(x)＝的定义域为。

A．R B．(–1，4)

C．(1，3) D．∪

3．函数f(x)＝－的定义域为

A．(－3,5) B．(－3,5]

C．[－3,5) D．[－3,5]

【答案】C

【解析】要使函数f(x)＝－有意义，需满足，解得－3≤x<5，所以函数f(x)的定义域为[－3,5)．故选C．

解得．故选D．

【解题技巧】函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴．

4．已知函数的定义域是

A． B． C． D．R

【解题规律】函数定义域的求解策略

(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．

(2)抽象函数

①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．

②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．

5．函数的定义域为

A．{x|x≥1} B．{x|x≥1或x＝0}

C．{x|x≥0} D．{x|x＝0}

【答案】B

【解析】由题意得|x|(x－1)≥0，∴x－1≥0或|x|＝0．

∴x≥1或x＝0．

6．若函数的定义域是，则函数的定义域是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意有：，所以，所以定义域为．故选C．

【易错易混】中的范围与中的范围相同。定义域指的都是最终的范围，而不是的范围。

7．若f(x)的定义域为[－3,5]，求φ(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域．

【解析】由f(x)的定义域为[－3,5]，得φ(x)的定义域需满足

即解得－3≤x≤3．

所以函数φ(x)的定义域为[－3,3]．

1．已知函数f（x）的定义域为（－1,1），则函数g（x）＝f＋f（x－1）的定义域是________．

2．函数f(x)＝－＋的定义域为________．

【答案】∪(0,2)

【解析】要使函数f(x)＝－＋有意义，

需满足解得－≤x<2且x≠0，

故函数f(x)的定义域为

，用区间表示为∪(0,2)．

3．若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．

【答案】[－1,0]

【解析】函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥1，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0．

4．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为________．

【易错易混】已知f(x)的定义域是[a，b]，求f(g(x))的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f(g(x))的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]．这里y＝f(x2－1)的定义域指的是的范围，算出的范围就是中的范围。两个函数的自变量要加以区分．

优美的函数图象

洛伦兹吸引子方程：

考点16 函数的值域

1．函数的值域是所有函数值的集合，它由函数的定义域和对应法则确定，通常要根据函数关系式的特点采取不同的求解方法．

2．函数的值域是高中数学的难点，没有固定的方法和模式，常涉及一些具体解题方法及涉及一些抽象的逻辑方法．常用的方法有：图象法、配方法、判别式法、反解法、换元法、单调性等．

【例】函数的值域为

A． B．

C． D．

【答案】B

【名师点睛】（1）已知函数解析式求函数值，可分别将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值．求函数值时，注意将对应x的值或代数式整体代入解析式求解，否则会导致错误．

（2）抽象函数的求值，往往通过赋值法解决，赋值法就是把满足条件的特殊值赋给函数中的某个变量．它是解决抽象函数问题的常用策略．

（3）已知函数解析式，求对应函数值的自变量的值（或解析式中的参数值），只需将函数值代入解析式，建立关于自变量（或参数）的方程即可求解，注意函数定义域对自变量取值的限制．

（4）求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：

①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；

②配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法．求值域时一定要注意定义域的影响．如函数的值域与函数的值域是不同的；

③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x仅出现在分母上，这样x对函数的影响就比较清晰了；

④换元法：对于一些无理函数（如），通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． 在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换元后新元的取值范围，否则会产生错解．求新元的范围，要根据已知函数的定义域．

1．已知函数，其中，则函数的值域是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先看x的取值：，所以函数值域为．

2．若函数的定义域是,则其值域为

A．{–4，0} B．{–3,0} C．{–4，–3} D．{–4，–3,0}

【易错易混】函数值域是函数值的集合,它是由定义域和对应法则共同给确定的,求值域时要注意函数的定义域．

3．函数的值域为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

当x=1时，函数取到最小值–1，

所以原函数值域为．

4．函数的值域为_______________．

【秒杀技】可把变成，得；也可用“反解法”，得到x关于y的函数．

5．函数的值域为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，．．

【易错易混】换元要注意定义域，需要等价转化，才能得到正确的结论。

6．函数的值域为

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】函数的定义域为，函数可以转化为，

所求函数的值域需要使得方程有解，所以，得，解得．

所以函数值域为

【规律总结】求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：

（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；

（2）配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；

（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；

（4）换元法：对于一些无理函数（如），通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．

7．作函数y＝|x＋3|＋|x－5|图象，并求出相应的函数值域．

所以y＝|x＋3|＋|x－5|的图象如图所示：

由此可知，y＝|x＋3|＋|x－5|的值域为[8，＋∞)．

1．http://www.ks5u.com/函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为

A．{－1，0，3} B．{0，1，2，3}

C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}

【答案】A

【解析】由对应关系y＝x2－2x得，0→0，1→－1，2→0，3→3，所以值域为{－1，0，3}．

2．已知函数，则函数的值域是

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】,,最小值为，最大值为，所以其值域为．

【易错易混】求值域注意题中已经给定的自变量的取值范围。

3．http://www.ks5u.com/函数的值域为．

【答案】

4．函数的值域为___________．

【答案】

【解析】设，则，

则，

当t≥0时，函数单调递减，当t=0时，，所以原函数值域为．

新的函数定义与传统的函数定义有何异同？

函数的传统定义（初中学过的函数定义）与它的近代定义（用集合定义函数）在实质上是一致的．两个定义中的定义域与值域的意义完全相同；两个定义中的对应关系实际上也一样，只不过叙述的出发点不同，初中的定义是从运动变化的观点出发，其中对应法则是将自变量x的每一个取值与唯一确定的函数值对应起来；近代定义则是从集合、对应的观点出发，其中的对应关系则将原象集合中任一元素与象集合中的唯一确定的元素对应起来．

至于函数的传统定义向近代定义过渡的原因，从历史上看，函数的传统定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式，要说清楚变量以及两个变量的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了不必要的限制．后来，人们认识到了定义域和值域的重要性，如果只根据变量的观点来解析，会显得十分勉强，如：符号函数用集合与对应的观点来解释，就显得十分自然了，用传统定义几乎无法解释，于是就有了函数的近代定义．由于传统的定义比较生动、直观，有时仍然会使用这一定义．

考点17 求函数的解析式

求函数解析式的常见方法：

（1）待定系数法；（2）换元法；（3）配凑法；（4）方程组法等．

【例】求下列函数的解析式：

（1）已知f()＝＋，求f(x)；

（2）已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．

【答案】（1）f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．（2）f(x)＝x2－1(x≥1)．

法二：(配凑法)

∵f()＝＋

＝()2－

＝()2－＋1，

∴f(x)＝x2－x＋1.

又∵＝＋1≠1，

∴所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．

1．已知函数y=f(x)的对应关系如下表，函数y=g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【解析】由y=g(x)的图象与y=f(x)的对应关系表可知g(2)=1，f(1)=2，所以f=f(1)=2．

【解题技巧】解析法，列表法和图象法是函数的三大表示法，它们之间存在内在的联系，不能割裂开来看。

2．若g（x）＝1－2x，f（g（x））＝，则f（）的值为

A．1 B．15 C．4 D．30

【答案】B

【解析】令1－2x＝，则x＝，∴f（）＝＝15．

【解题技巧】换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围。此题也可用整体换元思想求出，然后求出f（）即可。

3．如果f（）＝，则当x≠0且x≠1时，f（x）等于

A． B．

C． D．－1

【答案】B

【解析】令＝t，则x＝，代入f（）＝，则有f（t）＝＝．故选B．

4．已知f（x）＝2x＋3，g（x＋2）＝f（x），则g（x）等于

A．2x＋1 B．2x－1

C．2x－3 D．2x＋7

5．已知f（x－1）＝x2，则f（x）的解析式为．

A．f（x）＝x2＋2x＋1 B．f（x）＝x2－2x＋1

C．f（x）＝x2＋2x－1 D．f（x）＝x2－2x－1

【答案】A

【解析】令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f（t）＝（t＋1）2＝t2＋2t＋1，∴f（x）＝x2＋2x＋1．

6．已知函数使函数值为5的x的值是

A．－2 B．2或－

C．2或－2 D．2或－2或－

【答案】A

【解析】若x2＋1＝5，则x2＝4，又∵x≤0，∴x＝－2，

若－2x＝5，则x＝－，与x>0矛盾，故选A．

7．已知函数f(x)是二次函数，且它的图象过点(0,2)，f(3)＝14，f(－)＝8＋5，求f(x)的解析式．

【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则由题意，得

解得所以f(x)＝3x2－5x＋2．

8．已知，求．

【名师点睛】（1）已知函数的模型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数．

（2）已知f（g（x））=h（x），求f（x），常用的有两种方法：

①换元法，即令t=g（x），解出x，代入h（x）中，得到一个含t的解析式，即为所求解析式；

②配凑法，即从f（g（x））的解析式中配凑出“g（x）”，即用g（x）来表示h（x），然后将解析式中的g（x）用x代替即可．利用这两种方法求解时一定要注意g（x）的取值范围的限定．

（3）已知f（x）与f（g（x））满足的关系式，要求f（x）时，可用g（x）代替两边所有的x，得到关于f（x）与f（g（x））的方程组，消去f（g（x））解出f（x）即可．常见的有f（x）与f （−x），f（x）与．

（4）所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替使用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定．

1．已知函数f(x)=|x+1|+|x–1|，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是

A．(–a，–f(a)) B．(–a，f(a))

C．(a，–f(a)) D．(a，–f(–a))

【答案】B

【解析】因为f(–a)=|–a+1|+|–a–1|=|a+1|+|a–1|=f(a)．故选B．

【解题技巧】直接带入验证。

2．若f(x)满足关系式f(x)+2f=3x，则f(2)的值为

A．1 B．–1 C．– D．

3．设x∈R，定义符号函数sgnx＝则

A．|x|＝x|sgnx| B．|x|＝xsgn|x|

C．|x|＝|x|sgnx D．|x|＝xsgnx

【答案】D

【解析】对于选项A，右边＝x|sgnx|＝而左边＝|x|＝显然不正确；

对于选项B，右边＝xsgn|x|＝而左边＝|x|＝显然不正确；

对于选项C，右边＝|x|sgnx＝，而左边＝|x|＝显然不正确；

对于选项D，右边＝xsgnx＝而左边＝|x|＝显然正确．故应选D．

4．(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式；

(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式．

【答案】（1）f(x)＝2x＋5；（2）f(x)＝－2x2－2x＋1．

【解析】(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b

＝ax＋8a＋b＝2x＋21，

所以a＝2，b＝5，

所以f(x)＝2x＋5．

【解题技巧】待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．

康托尔

自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中课本里用的了．

中文数学书上使用的“函数”一词是转译词．是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》一书时，把“function”译成函数．

考点18 映射

1．映射：设A,B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使对于A中每一个元素x，在B中都有唯一的一个元素y与它对应，那么就称这种对应为从A到B的映射，记作f:Ａ→B．

2．象与原象：（1）对于映射：A→B，我们通常把集合A中的元素叫原象，而把集合B中与A中的元素相对应的元素叫象。所以，集合A叫原象集，集合B叫象所在的集合（集合B中可以有些元素不是象)．

（2）映射只要求“对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应”。

【例】给出下列两个集合间的对应：

（1）A＝{你班的同学}，B＝{体重}，f：每个同学对应自己的体重；

（2），f：n＝2m；

（3）X＝R，Y＝{非负实数}，f：y＝x4．

其中是映射的有________个，是函数的有________个．

【答案】3，2

【名师点睛】映射与函数的区别与联系：

（1）映射是函数概念的推广，而函数是一种特殊的映射．

（2）函数是非空数集A到非空数集B的映射，而映射不一定是函数，因为A，B不一定是数集．

【解题必备】判断一个对应是不是映射，关键有两点：

（1）对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素与之对应；

（2）B中的对应元素是不是唯一的．

对于一一映射f：A→B，应满足：

（1）A中每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应；

（2）A中的不同元素对应B中的元素也不同；

（3）B中每一个元素在A中都有唯一的元素与之对应．

【知识提升】对于映射，我们通常把集合A中的元素叫原象，而把集合B中与A中元素相对应的元素叫象，集合A叫原象集，象集为C，则．象是对原象而言的，原象也是对象而言的，原象和象不可以互换．设A，B是两个集合，是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中的每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射．

（1）映射包括非空集合A，B以及对应关系f，其中集合A，B可以是数集，可以是点集，也可以是其他任何形式的集合． 当A，B为数集时，此时的映射就是函数，即函数是一种特殊的映射．

（2）集合A，B是有先后次序的，即A到B的映射与B到A的映射是不同的．

（3）集合A中每一个元素在集合B中必有唯一的元素和它对应（有，且唯一），但允许B中元素没有A中元素与之对应．

（4）A中元素与B中元素对应，可以是“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”．

1．设集合A＝｛x｜0≤x≤6｝，B＝｛y｜0≤y≤2｝，从A到B的对应法则f不是映射的是．

A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x

【答案】A

【解析】对A,当时，而．故选A．

【方法技巧】判断一个对应是否为映射，依据是映射的定义．判断方法为：先看集合A中每一个元素在集合B中是否均有对应元素．若有，看对应元素是否唯一；集合B中有剩余元素不影响映射的成立．说明一个对应不是映射，只需寻找一个反例即可．

2．给出下列四个对应，其中构成映射的是

A．（1）（2） B．（1）（4） C．（1）（3）（4） D．（3）（4）

【答案】D

【解析】根据映射的概念知，原象一定有唯一象，故（1）、（2）错，像不一定有原象，允许有相同的象，

【易错易混】映射只要求一个原象对应一个象，并没有要求一个象对应一个原象。而且每一个原象都要找到对应的象。

3．若能构成映射，下列说法正确的有

①A中的任一元素在B中必须有像且唯一；

②B中的多个元素可以在A中有相同的原像；

③B中的元素可以在A中无原像；

④像的集合就是集合B．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．已知集合A到B的映射，那么集合B中象在A中对应的原象是

A．0 B． C． D．

【答案】D

【解析】因为集合A到B的映射，在集合B中，所以,解得，故答案为D．

5．设集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，从A到B的映射的个数是

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【解析】如图：

【规律总结】一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则从A→B共有nm个不同的映射。

6．设a，b为实数，集合M＝，N＝{a，b，b－a}，映射f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b＝________．

【答案】±1

7．已知(x，y)在映射f的作用下的象是(x＋y，xy)，

求：(1)(3,4)的象；(2)(1，－6)的原象．

【解析】(1)∵x＝3，y＝4，∴x＋y＝7，xy＝12．

∴(3,4)的象为(7,12)．

(2)设(1，－6)的原象为(x，y)，则有

解得或

故(1，－6)的原象为(－2,3)或(3，－2)．

1．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是

A．B．或{1}

C．{1}D．

【答案】B

【解析】由题意可知，集合A中可能含有的元素为：当x2＝1时，x＝1，－1；当x2＝2时，x＝，－．

所以集合A可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合．无论含有几个元素，A∩B＝或{1}．故选B．

【易错易混】B集合不一定是值域，其每一个元素不一定都有原像。

2．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列不能表示从P到Q的映射的是

A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x

C．f：x→y＝x D．f：x→y＝

【答案】C

【易错易混】P是定义域，要取全所有的值，值域是Q的子集，不要求全部取到。

3．已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则f：y=–x2+2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是

A．k>1 B．k≥1 C．k<1 D．k≤1

【答案】A

【解析】∵y=–x2+2x=–（x–1）2+1≤1,∴函数的值域为（–∞，1]．∵对于实数k∈B，在集合A中不存在原象,∴k>1．故选A．

4．已知集合A={a，b}，B={–1，0，1}，从集合A到集合B的映射可能有几种？写出这些映射．

【答案】9，见解析

【解析】当a对应–1时，b对应–1或0或1，此时有3种映射关系；

当a对应0时，b对应–1或0或1，此时有3种映射关系；

当a对应1时，b对应–1或0或1，此时有3种映射关系。

共有9种映射关系．

小对应，大文章

我们设想有一家旅店，内设有限个单人房间，且所有房间都已经客满。这时，来了一位新客人，想订一个房间。“对不起，先生，所有房间都住满了，请你到其它旅店看看吧。欢迎您下次光临，谢谢！”店主说。

再设想另有一家旅店，内设无限多个单人房间，且所有房间都已经客满。这时，来了一位新客人，想订一个房间。店主说“先生，请稍等一下。”于是，他请1号房间的客人搬到2号房间，请2号房间的客人搬到3号房间，如此下去，1号房间就腾出来了。这位新来的客人就可以住进1号房间了。

再设想另有一家旅店，内设无限多个单人房间，且所有房间都已经客满。这时，又来了无穷多位客人要求订房。店主说“好的，先生们，女士们，请一会儿。”于是，他请1号房间的客人搬到2号房间，请2号房间的客人搬到4号房间，请3号房间的客人搬到6号房间，如此下去，所有的奇数号房间全都腾出来了，新来的无穷多位客人都可以住进奇数号房间了。

利用一一对应思想，我们可以解决具有“有规律而无限型”特征的问题，对培养和提高人们的逻辑思维能力和解决问题的能力大有益处．

2020高中数学 专题04 函数的概念及表示庖丁解题 新人教A版必修1