二阶微分方程解法

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程

教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法

教学过程：

一、二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程: 方程

y''+py'+qy=0

称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p、q均为常数.

如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.

我们看看, 能否适当选取r, 使y=erx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y=erx代入方程

y''+py'+qy=0

得

(r 2+pr+q)erx =0.

由此可见, 只要r满足代数方程r2+pr+q=0, 函数y=erx就是微分方程的解.

特征方程: 方程r2+pr+q=0叫做微分方程y''+py'+qy=0的特征方程. 特征方程的两个根r1、r2可用公式

求出.

特征方程的根与通解的关系:

(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时, 函数、是方程的两个线性无关的解.

这是因为,

函数、是方程的解, 又不是常数.

因此方程的通解为

.

(2)特征方程有两个相等的实根r1=r2时, 函数、是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.

这是因为, 是方程的解, 又

,

所以也是方程的解, 且不是常数.

因此方程的通解为

.

(3)特征方程有一对共轭复根r1, 2=α±iβ时, 函数y=e(α+iβ)x、y=e(α-iβ)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y=eαxcosβx、y=eαxsinβx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.

函数y1=e(α+iβ)x和y2=e(α-iβ)x都是方程的解, 而由欧拉公式, 得

y1=e(α+iβ)x=eαx(cosβx+isinβx),

y2=e(α-iβ)x=eαx(cosβx-isinβx),

y1+y2=2eαxcosβx, ,

y1-y2=2ieαxsinβx, .

故eαxcosβx、y2=eαxsinβx也是方程解.

可以验证, y1=eαxcosβx、y2=eαxsinβx是方程的线性无关解.

因此方程的通解为

y=eαx(C1cosβx+C2sinβx ).

求二阶常系数齐次线性微分方程y''+py'+qy=0的通解的步骤为:

第一步 写出微分方程的特征方程

r2+pr+q=0

第二步 求出特征方程的两个根r1、r2.

第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.

例1 求微分方程y''-2y'-3y=0的通解.

解 所给微分方程的特征方程为

r2-2r-3=0, 即(r+1)(r-3)=0.

其根r1=-1, r2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为

y=C1e-x+C2e3x.

例2 求方程y''+2y'+y=0满足初始条件y|x=0=4、y'| x=0=-2的特解.

解 所给方程的特征方程为

r2+2r+1=0, 即(r+1)2=0.

其根r1=r2=-1是两个相等的实根, 因此所给微分方程的通解为

y=(C1+C2x)e-x.

将条件y|x=0=4代入通解, 得C1=4, 从而

y=(4+C2x)e-x.

将上式对x求导, 得

y'=(C2-4-C2x)e-x.

再把条件y'|x=0=-2代入上式, 得C2=2. 于是所求特解为

x=(4+2x)e-x.

例 3 求微分方程y''-2y'+5y= 0的通解.

解 所给方程的特征方程为

r2-2r+5=0.

特征方程的根为r1=1+2i, r2=1-2i, 是一对共轭复根,

因此所求通解为

y=ex(C1cos2x+C2sin2x).

n 阶常系数齐次线性微分方程: 方程

y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) + ⋅ ⋅ ⋅ + pn-1y'+pny=0,

称为n 阶常系数齐次线性微分方程, 其中 p1, p2 , ⋅ ⋅ ⋅ , pn-1, pn都是常数.

二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式, 可推广到n 阶常系数齐次线性微分方程上去.

引入微分算子D, 及微分算子的n次多项式:

L(D)=Dn +p1Dn-1+p2 Dn-2 + ⋅ ⋅ ⋅ + pn-1D+pn,

则n阶常系数齐次线性微分方程可记作

(Dn +p1Dn-1+p2 Dn-2 + ⋅ ⋅ ⋅ + pn-1D+pn)y=0或L(D)y=0.

注: D叫做微分算子D0y=y, Dy=y', D2y=y'', D3y=y''', ⋅ ⋅ ⋅,Dny=y(n).

分析: 令y=erx, 则

L(D)y=L(D)erx=(rn +p1rn-1+p2 rn-2 + ⋅ ⋅ ⋅ + pn-1r+pn)erx=L(r)erx.

因此如果r是多项式L(r)的根, 则y=erx是微分方程L(D)y=0的解.

n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:

L(r)=rn +p1rn-1+p2 rn-2 + ⋅ ⋅ ⋅ + pn-1r+pn=0

称为微分方程L(D)y=0的特征方程.

特征方程的根与通解中项的对应:

单实根r 对应于一项: Cerx ;

一对单复根r1, 2=α ±iβ 对应于两项: eαx(C1cosβx+C2sinβx);

k重实根r对应于k项: erx(C1+C2x+ ⋅ ⋅ ⋅ +Ck xk-1);

一对k 重复根r1, 2=α ±iβ 对应于2k项:

eαx[(C1+C2x+ ⋅ ⋅ ⋅ +Ck xk-1)cosβx+( D1+D2x+ ⋅ ⋅ ⋅ +Dk xk-1)sinβx].

例4 求方程y(4)-2y'''+5y''=0 的通解.

解 这里的特征方程为

r4-2r3+5r2=0, 即r2(r2-2r+5)=0,

它的根是r1=r2=0和r3, 4=1±2i.

因此所给微分方程的通解为

y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x).

例5 求方程y(4)+β 4y=0的通解, 其中β>0.

解 这里的特征方程为

r4+β 4=0.

它的根为, .

因此所给微分方程的通解为

.

二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介

二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程

y''+py'+qy=f(x)

称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p、q是常数.

二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程

的通解y=Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y=y*(x)之和:

y=Y(x)+ y*(x).

当f(x)为两种特殊形式时, 方程的特解的求法:

一、 f(x)=Pm(x)eλx 型

当f(x)=Pm(x)eλx时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y*=Q(x)eλx, 将其代入方程, 得等式

Q''(x)+(2λ+p)Q'(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x).

(1)如果λ不是特征方程r2+pr+q=0 的根, 则λ2+pλ+q≠0. 要使上式成立, Q(x)应设为m 次多项式:

Qm(x)=b0xm+b1xm-1+ ⋅ ⋅ ⋅ +bm-1x+bm ,

通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, ⋅ ⋅ ⋅ , bm, 并得所求特解

y*=Qm(x)eλx.

(2)如果λ是特征方程 r2+pr+q=0 的单根, 则λ2+pλ+q=0, 但2λ+p≠0, 要使等式

Q''(x)+(2λ+p)Q'(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x).

成立, Q(x)应设为m+1 次多项式:

Q(x)=xQm(x),

Qm(x)=b0xm +b1xm-1+ ⋅ ⋅ ⋅ +bm-1x+bm ,

通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, ⋅ ⋅ ⋅ , bm, 并得所求特解

y*=xQm(x)eλx.

(3)如果λ是特征方程 r2+pr+q=0的二重根, 则λ2+pλ+q=0, 2λ+p=0, 要使等式

Q''(x)+(2λ+p)Q'(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x).

成立, Q(x)应设为m+2次多项式:

Q(x)=x2Qm(x),

Qm(x)=b0xm+b1xm-1+ ⋅ ⋅ ⋅ +bm-1x+bm ,

通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, ⋅ ⋅ ⋅ , bm , 并得所求特解

y*=x2Qm(x)eλx.

综上所述, 我们有如下结论: 如果f(x)=Pm(x)eλx, 则二阶常系数非齐次线性微分方程y''+py'+qy =f(x)有形如

y*=xk Qm(x)eλx

的特解, 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式, 而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.

例1 求微分方程y''-2y'-3y=3x+1的一个特解.

解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f(x)是Pm(x)eλx型(其中Pm(x)=3x+1, λ=0).

与所给方程对应的齐次方程为

y''-2y'-3y=0,

它的特征方程为

r2-2r-3=0.

由于这里λ=0不是特征方程的根, 所以应设特解为

y*=b0x+b1.

把它代入所给方程, 得

-3b0x-2b0-3b1=3x+1,

比较两端x同次幂的系数, 得

, -3b0=3, -2b0-3b1=1.

由此求得b0=-1, . 于是求得所给方程的一个特解为

.

例2 求微分方程y''-5y'+6y=xe2x的通解.

解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f(x)是Pm(x)eλx型(其中Pm(x)=x, λ=2).

与所给方程对应的齐次方程为

y''-5y'+6y=0,

它的特征方程为

r2-5r +6=0.

特征方程有两个实根r1=2, r2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为

Y=C1e2x+C2e3x .

由于λ=2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为

y*=x(b0x+b1)e2x.

把它代入所给方程, 得

-2b0x+2b0-b1=x.

比较两端x同次幂的系数, 得

, -2b0=1, 2b0-b1=0.

由此求得, b1=-1. 于是求得所给方程的一个特解为

.

从而所给方程的通解为

.

提示:

y*=x(b0x+b1)e2x=(b0x2+b1x)e2x,

[(b0x2+b1x)e2x]'=[(2b0x+b1)+(b0x2+b1x)⋅2]e2x,

[(b0x2+b1x)e2x]''=[2b0+2(2b0x+b1)⋅2+(b0x2+b1x)⋅22]e2x.

y*''-5y*'+6y*=[(b0x2+b1x)e2x]''-5[(b0x2+b1x)e2x]'+6[(b0x2+b1x)e2x]

=[2b0+2(2b0x+b1)⋅2+(b0x2+b1x)⋅22]e2x-5[(2b0x+b1)+(b0x2+b1x)⋅2]e2x+6(b0x2+b1x)e2x

=[2b0+4(2b0x+b1)-5(2b0x+b1)]e2x=[-2b0x+2b0-b1]e2x.

方程y''+py'+qy=eλx[Pl (x)cosωx+Pn(x)sinωx]的特解形式

应用欧拉公式可得

eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]

,

其中, . 而m=max{l, n}.

设方程y''+py'+qy=P(x)e(λ+iω)x的特解为y1*=xkQm(x)e(λ+iω)x,

则必是方程的特解,

其中k按λ±iω不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1.

于是方程y''+py'+qy=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]的特解为

=xk eλx[R(1)m(x)cosωx+R(2)m(x)sinωx].

综上所述, 我们有如下结论:

如果f(x)=eλx [Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx], 则二阶常系数非齐次线性微分方程

y''+py'+qy=f(x)

的特解可设为

y*=xk eλx[R(1)m(x)cosωx+R(2)m(x)sinωx],

其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式, m=max{l, n}, 而k 按λ+iω (或λ-iω)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.

例3 求微分方程y''+y=xcos2x的一个特解.

解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,

且f(x)属于eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型(其中λ=0, ω=2, Pl(x)=x, Pn(x)=0）.

与所给方程对应的齐次方程为

y''+y=0,

它的特征方程为

r2+1=0.

由于这里λ+iω=2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为

y*=(ax+b)cos2x+(cx+d )sin2x.

把它代入所给方程, 得

(-3ax-3b+4c)cos2x-(3cx+3d+4a)sin2x=xcos2x.

比较两端同类项的系数, 得 , b=0, c=0, .

于是求得一个特解为 .

提示:

y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x.

y*'=acos2x-2(ax+b)sin2x+csin2x+2(cx+d)cos2x,

=(2cx+a+2d)cos2x+(-2ax-2b+c)sin2x,

y*''=2ccos2x-2(2cx+a+2d)sin2x-2asin2x+2(-2ax-2b+c)cos2x

=(-4ax-4b+4c)cos2x+(-4cx-4a-4d)sin2x.

y*''+ y*=(-3ax-3b+4c)cos2x+(-3cx-4a-3d)sin2x.

由, 得, b=0, c=0, .

二阶微分方程解法知识讲解