二次函数笔记

一. 二次函数的解析式：

1.一般式： ,顶点是 ,对称轴是直线 ；

2.顶点式： , 顶点是 ,对称轴是直线 ；

3.两根式： , 对称轴是直线 ；

（x1、x2为二次函数图象与x轴的交点）

二. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质

四、看图识a、b、c

1. 开口方向 ←→ 的正负

2. 与y轴的交点 ←→ 的正负

3. a的符号、对称轴 ←→ 的符号

4. 当x=1时，y=a+b+c ←→ a+b+c

当x=-1时，y=a-b+c a-b+c

当x=2时，y=4a+2b+c 4a+2b+c

当x=-2时，y=4a-2b+c 4a-2b+c

5. 与x轴的交点个数 ←→ b2-4ac的正负

无交点 ←→ b2-4ac 0

1个交点 ←→ b2-4ac 0

2个交点 ←→ b2-4ac 0

6. 对称轴方程 ←→ 2a+b 、2a-b的值

x=1 ←→ 2a+b=0

x=-1 ←→ 2a-b=0

五.抛物线y=a（x-h)2+k(a≠0)的变换：

1. 平移： 2. 关于某直线（平行于x或y轴）标轴对称：

3. 绕某点旋转180°（需构造全等，利用全等求新的顶点坐标）

方法：︱a︱不变，确定变换后a的符号、顶点的坐标；

六. 二次函数与一元二次方程

1. 一元二次方程ax2+bx+c=0的解是抛物线ax2+bx+c=0与 轴交点的横坐标；

2. 可利用抛物线y=ax2+bx+c 的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似解.

3. 方程ax2+bx+c=m的解可以看做是抛物线 与直线 的交点.

4. y=ax2+bx+c(1)无论x为何值，y的值始终大于0，则a>0,△<0;

(1)无论x为何值，y的值始终小于0，则a<0,△<0.

二次函数题型

一．客观性题：

1. 求顶点坐标、对称轴、最值

2. 看图识a、b、c（笔记）

3. 根据增减性判断x(或y)的大小关系（看图象）

4. 写平移、轴对称、旋转后的解析式、写平移方法

5. 看图象写出两函数 y1>y2时x的范围

6. 给出两函数的图象，根据a、b、c 判断那个图是正确的

7.根据表格求一元二次方程的近似解

二.解答题：

1. 根据提供的解析式（1）画图；（2）求交点坐标;（3）求面积

2. 根据点坐标求解析式

3.根据实际背景及解析式求解实际问题

4.求最值（1）最大利润:设提高（或降价）x元，用含x的代数式表示出销售量，根据 总利润=单利润·销售量写出二次函数解析式

（2）最大面积：三角形中如何割最大矩形、知长宽和求矩形最大面积

注意：结合x的取值范围、抛物线的图象定最值，最值有时并非顶点

5.自建坐标系，利用求得的解析式判断能否（桥洞问题）

三.综合题类型：（见专项）

类一、第一问：根据几何条件求点坐标

第二问：求过已知点的解析式、面积

第三问：在抛物线上求满足某条件的点（面积、某特殊图形）

类二、第一问：由解析式求特殊点

第二问： 证某几何结论

第三问：抛物线上求满足某条件的点（面积、某特殊图形）

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