1.1、单个命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命题公式

2.1、若等价式AB是重言式，则称A与B等值，记作AB，并称AB是等值式

2.2、(1) 文字——命题变项及其否定的总称

2.3、设C1=lC1, C2=lcC2, C1和C2不含l和lc, 称C1C2为C1和C2(以l和lc为消解文字)的消解式或消解结果, 记作Res(C1,C2)

2.4、设S是一个合取范式, C1,C2,,Cn是一个简单析取式序列. 如果对每一个i(1in), Ci是S的一个简单析取式或者是Res(Cj,Ck)(1j<k<i), 则称此序列是由S导出Cn的消解序列. 当Cn=时, 称此序列是S的一个否证.

3.1、设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值，A1A2… Ak 为假，或当A1A2…Ak为真时，B也为真，则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确的, 并称B是有效结论.

4.1、个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体

个体常项：具体的事物，用a, b, c表示

个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示

个体域(论域)——个体变项的取值范围

4.2、谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词

谓词常项：如, F(a)：a是人

谓词变项：如, F(x)：x具有性质F

一元谓词(n=1)——表示性质

多元谓词(n2)——表示事物之间的关系

0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项

4.3、设L是一个非逻辑符集合, 由L生成的一阶语言L 的字母表包括下述符号：非逻辑符号（个体常项符号、函数符号、谓词符号）和逻辑符号（个体变项符号、量词符号、联结词符号、括号与逗号）

4.4、设R(x1, x2, …, xn)是L 的任意n元谓词，t1, t2, …, tn 是L 的任意n个项，则称R(t1, t2, …, tn)是L 的原子公式.

4.5、在公式 xA 和 xA 中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在x和 x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现.

4.6、若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭的公式，简称闭式.

6.1、A B x ( xA xB )

6.2、A = B A B B A

6.3、A B A B A B

A ⊈ B x ( xA xB )

6.4、幂集：P(A)={ x | x A } （一定包含空集）

6.5、并 AB = {x | xA xB}

交 AB = {x | xA xB}

相对补 AB = {x | xA xB}

对称差 AB = (AB)(BA)

绝对补 A = EA

6.6、广义并 A = { x | z ( zA xz )}

广义交 A= { x | z ( zA xz )}

7.1、设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作AB，且AB = {<x,y>| xAyB}.

7.2、设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.（计数：|A|=n, |A×A|=n^2, 所以 A上有2^(n^2)个不同的二元关系。)

7.3、设 A 为集合：

(1) 是A上的关系，称为空关系

(2) 全域关系 EA = {<x,y>| x∈A∧y∈A} = A×A

恒等关系 IA = {<x,x>| x∈A}

小于等于关系 LA = {<x,y>| x,y∈A∧x≤y}, A为实数子集

包含关系 R = {<x,y>| x,y∈A∧xy}, A是集合族.

7.4、关系的逆运算：R^1 = { <y, x> | <x, y>R }

7.5、关系的合成运算：RS = { <x, z> | y (<x, y>R <y, z>S) }

7.6、设 R 为 A 上的关系, n为自然数, 则 R 的 n 次幂定义为：

(1) R^0 = { <x,x> | x∈A } = IA

(2) R^(n+1) = R^nR

（在关系图中R的n次幂的求法：考察G的每个顶点xi，如果在G中从xi出发经过n步长的路径到达顶点xj,则在G’中加一条从xi到xj的边。）

7.7、设 R 为A上的关系,

(1) 若 x(x∈A→<x,x>R), 则称 R 在 A 上是自反的.

(2) 若 x(x∈A→<x,x>R), 则称 R 在 A 上是反自反的.

(3) 若xy( x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R), 则称 R 为 A上对称的关系.

(4) 若xy( x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y), 则称 R 为 A上反对称的关系.

(5) 若xyz(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R),则称 R 是A上的传递关系.

7.8、设R是非空集合A上的关系, R的自反(对称或传递)闭包是A上的关系R, 使得R满足：

(1) R是自反的(对称的或传递的)

(2) RR

(3) 对A上任何包含R的自反(对称或传递)关系R 有RR

（R的自反闭包记作r(R), 对称闭包记作s(R), 传递闭包记作t(R). ）

7.9、设R为非空集合A上的等价关系(R是自反的、对称的、传递的), x∈A，令

[x]R = {y | y∈A∧xRy} 称[x]R 为x关于R的等价类, 简称为x的等价类.

7.10、设 R 为非空集合A上的等价关系, 以 R 的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集, 记做A/R, A/R = {[x]R | x∈A}

7.11、设A为非空集合, 若A的子集族π(π P(A))满足:

(1) π

(2) xy(x,yπ∧x≠y→x∩y=)

(3) ∪π = A

则称π是A的一个划分, 称π中的元素为A的划分块.

9.1、◦运算的左(或右)单位元：存在el (或er)S，对任意 x∈S有el◦x = x (或 x◦er = x)

◦运算的左(或右)零元：存在 l (或 r)∈S，对任意 x∈S 有 l ◦x = l (或 x◦ r = r)，

yl (或yr)是x的左逆元（或右逆元）：x∈S，如果存在yl (或yr)∈S使得yl◦x=e（或x◦yr=e）

9.2、设V1=<A,∘>和V2=<B,>是同类型的代数系统，f:AB，且x, yA 有 f(x∘y) = f(x)f(y), 则称 f 是V1到V2的同态映射，简称同态.

9.3、同态分类：

(1) f 如果是单射，则称为单同态

(2) 如果是满射，则称为满同态，这时称V2是V1的同态像，记作V1V2

(3) 如果是双射，则称为同构，也称代数系统V1同构于V2， 记作V1V2

(4) 如果V1=V2，则称作自同态

10.1、(1) 设V=<S, ∘ >是代数系统，∘为二元运算，如果∘运算是可结合的，则称V为半群.

(2) 设V=<S,∘>是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元，则称V是含幺半群，也叫做独异点. 有时也将独异点V 记作 V=<S,∘,e>.

(3) 设V=<S,∘>是独异点，eS关于∘运算的单位元，若aS，a1S，则称V是群. 通常将群记作G.

10.2、(1) 若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无限群. 群G 的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|.

(2) 只含单位元的群称为平凡群. 

(3) 若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔 (Abel) 群.

10.3、设G是群，a∈G，使得等式 a^k=e 成立的最小正整数k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元. 若不存在这样的正整数 k，则称 a 为无限阶元.

10.4、设G是群，H是G的非空子集，

(1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作H≤G.

(2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作H<G.

10.5、设G为群，a∈G，令H={a^k| k∈Z}，则H是G的子群，称为由 a 生成的子群，记作<a>.

10.6、设G为群,令C={a| a∈G∧x∈G(ax=xa)}，则C是G的子群，称为G的中心.

10.7、设H是G的子群，a∈G.令Ha={ha | h∈H}，称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素. 

10.8、设G是群，若存在a∈G使得：G={a^k| k∈Z} ，则称G是循环群，记作G=<a>，称 a 为G 的生成元. 

14.1、图的基本概念：

图的阶：顶点数称作图的阶，n个顶点的图称为n阶图

零图：一条边也没有的图，n阶零图记作Nn

平凡图：1阶零图N1，只有一个顶点，没有边

基图：将有向图的各条边改成无向边后所得到的无向图称为该有向图的基图

平行边：关联一对顶点的（有向或无向）边多于1条，平行边条数称为重数

多重图：含平行边的图

简单图：既不含平行边也不含环的图

完全图：每个顶点都与其余的n-1个顶点相邻

14.2、设G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>为两个无向图(两个有向图)，若存在双射函数f:V1V2, 对于vi,vjV1, (vi,vj)E1 当且仅当 (f(vi),f(vj))E2（<vi,vj>E1 当且仅当 <f(vi),f(vj)>E2 )，并且, (vi,vj)（<vi,vj>）与 (f(vi),f(vj))（<f(vi),f(vj)>）的重数相同，则称G1与G2是同构的，记作G1G2.

14.3、n (n1) 阶无向完全图——每个顶点与其余顶点均相邻的无向简单图，记作 Kn.

n (n1)阶有向完全图——每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的有向简单图.

n (n1) 阶竞赛图——基图为Kn的有向简单图.

n 阶k正则图——==k 的无向简单图

边数m分别为：n(n-1)/2 n(n-1) n(n-1)/2 nk/2

14.4、G=<V,E>, G=<V,E>

(1) GG —— G为G的子图，G为G的母图

(2) 若GG且V=V，则称G为G的生成子图

(3) V（VV且V）的导出子图，记作G[V]

(4) E（EE且E）的导出子图，记作G[E]

14.5、简单通路(路径)/回路(圈)；所有边各异的通路/回路

初级通路(路径)/回路(圈)；所有边各异，所有顶点也各异的通路/回路

14.6、无向图的连通性

(1) 顶点之间的连通关系：G=<V,E>为无向图

① 若 vi 与 vj 之间有通路，则 vivj

② 是V上的等价关系 R={<u,v>| u,v V且uv}

(2) G的连通性与连通分支

① 若u,vV，uv，则称G连通

② V/R={V1…,Vk}，称G[V1], G[V2], …,G[Vk]为连通分支，其个数 p(G)=k (k1)；

k=1，G连通

14.7、G=<V,E>, VV

V为点割集——p(GV)>p(G)且有极小性

v为割点——{v}为点割集

14.8、G=<V,E>, EE

E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性

e是割边（桥）——{e}为边割集

14.9、G为连通非完全图

点连通度—(G) = min{ |V |V 为点割集 } 规定 (Kn) = n1；若G非连通，(G) = 0

边连通度——(G) = min{|E|E为边割集} 若G非连通，则(G) =0

14.10、D=<V,E>为有向图

D弱连通(连通)——基图为无向连通图

D单向连通——vi,vjV，vivj （vi 可达 vj）或 vjvi

D强连通——vi,vjV，vivj （vi 与vj 相互可达）

14.11、设 G=<V,E>为一个无向图，若能将 V分成 V1和V2(V1V2=V，V1V2=)，使得 G 中的每条边的两个端点都是一个属于V1，另一个属于V2，则称 G 为二部图 ( 或称二分图、偶图等 )，称V1和V2为互补顶点子集，常将二部图G记为<V1,V2,E>.

又若G是简单二部图，V1中每个顶点均与V2中所有的顶点相邻，则称G为完全二部图，记为 Kr,s，其中r=|V1|，s=|V2|.

15.1、(1) 欧拉通路——经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶点的通路.

(2) 欧拉回路——经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶点的回路.

15.2、(1) 哈密顿通路——经过图中所有顶点一次仅一次的通路.

(2) 哈密顿回路——经过图中所有顶点一次仅一次的回路.

16.1、(1) 无向树——连通无回路的无向图

(2) 平凡树——平凡图

(3) 森林——至少由两个连通分支（每个都是树）组成

16.2、设G为无向图

(1) G的树——T 是G 的子图并且是树

(2) G的生成树——T 是G 的生成子图并且是树

(3) 生成树T的树枝——T 中的边

(4) 生成树T的弦——不在T 中的边

(5) 生成树T的余树——全体弦组成的集合的导出子图

16.3、T是G=<V,E,W>的生成树 (避圈法)

(1) W(T)——T各边权之和

(2) 最小生成树——G的所有生成树中权最小的

17.1、(1) G可嵌入曲面S——若能将G除顶点外无边相交地画在S上

(2) G是可平面图或平面图——G可嵌入平面

(3) 平面嵌入——画出的无边相交的平面图

(4) 非平面图——无平面嵌入的无向图

17.2、若在简单平面图G中的任意两个不相邻的顶点之间加一条新边所得图为非平面图，则称G为极大平面图.

17.3、若G1G2，或经过反复插入或消去2度顶点后所得G1G2，则称G1与G2同胚.

18.1、设G=<V,E>，E* E，

(1) E* 为边覆盖集——vV，eE，使得v与e关联

(2) E* 为极小边覆盖——E* 的真子集不是边覆盖

(3) 最小边覆盖——边数最少的边覆盖

(4) 边覆盖数1——最小边覆盖中元素个数

18.2、设G=<V,E>, E*E，

(1) 匹配(边独立集)E*——E*中各边均不相邻

(2) 极大匹配E*——E*中不能再加其他边了

(3) 最大匹配——边数最多的匹配

(4) 匹配数——最大匹配中的边数，记为1

18.3、设M为G中一个匹配.

(1) vi 与vj 被M匹配——(vi,vj)M

(2) v为M饱和点——有M中边与v关联

(3) v为M非饱和点——无M中边与v关联

(4) M为完美匹配——G中无M非饱和点

(5) M的交错路径——从M与EM中交替取边构成的G中路径

(6) M的可增广交错路径——起、终点都是M非饱和点的交错路径

(7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈

18.4、设G=<V1,V2,E>为二部图，|V1||V2|，M是G中最大匹配，若V1中顶点全是M饱和点，则称M为G中完备匹配. |V1|=|V2| 时完备匹配变成完美匹配.

18.5、(1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，使相邻顶点有不同颜色

(2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G的顶点着色

(3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色的.

18.6、(1) 地图——连通无桥平面图（嵌入）与所有的面

(2) 国家——地图的面

(3) 两个国家相邻——它们的边界至少有一条公共边

考试必备离散数学概念总结