江西省宜春中学2021届高三上学期第二次月考 数学(理)试题-

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2021届高三年级第二次月考数学（理科）试卷

一、单选题（每小题5分，共60分）
1．已知命题P:x,y(0,3，xy6，则命题P的否定为（ ） A．x,y(0,3,C．x0,y0(0,3,xy6 B．x,y(0,3,D．x0,y0(0,3,xy6
x0y06 x0y06
Cx|xB，2． 已知集合AxN|x1，Bx|xA，则集合C中元素的个数为（
）A．4 B．8


C．16 D．20 3xa(x03．已知奇函数f(x，则h(2的值为（ ）
h(x(x0A．10
9B．10
9C．8 D．8
4．已知yf(x是定义在R上的函数，且f(x4f(x，如果当x[4,0时，f(x3x，则f(985（ ） A．27 B．-27 C．9 D．-9 xy10,5．记不等式组xy10,的解集为D，x,yD，使2xya成立，则实数a的取值范围y10,是（ ） A．,3
B．,5
C．5,3
D．3,
6．设alog32，blog53，cA．acb
2，则（ ）
3C．bca
D．cab
B．abc
7．已知正实数a、b满足ab2，则A．33

B．4

14最小值为（ ） ab1C．22


D．3 8．已知函数fx2是连续的偶函数，且x2时， fx是单调函数，则满足1fxf2的所有x之积为（ ）
x4A．16 B．16
C．63
D．63
29．已知函数fxaxx1，（a0），若任意x1，x21,且x1x2都有


fx1fx2x1x2A．1,
1，则实数a的取值范围（ ）
B．0,1
C．2,
D．[,
1210．对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数f（x）=x﹣[x]，则下列命题中正确的是（ ） ①函数f（x）的最大值为1； ③方程fx⑤②函数f（x）的最小值为0；
1有无数个根； ④函数f（x）是增函数． 211a是函数g(xf(xax恰有三个零点的充要条件 43B．①②③

C．②③⑤

D．③④⑤
2A．②③ 11．设fx是定义在R上的奇函数,且当x0时,fxx,若对任意的xa,a2,不等式fxa2fx恒成立,则实数a的取值范围是(

A．[2, C．0,2
B．[2,
D．[2,1][2,2]
x2ax,x212．已知函数f(x，若存在x1,x2R，且x1x2，使得fx1fx2，则2ax5,x2实数a的取值范围为（ ）． A．(,4
B．,1 4C．(,3 D．(,8
二、填空题（每小题5分，共20分） 13．函数y

1x1的递增区间是______．
log2x1,x114．已知fx1x，则,x12

f2021f______. 202015．已知函数fx2a,gx1x，若存在x1,x20,1，使得fx1gx2成立，则实x3数a的取值范围是______



x3x,xa16．设函数fx，若fx无最大值，则实数a的取值范围为______. x,xa
三、解答题（共70分）
17．（本小题10分）已知函数y＝log1(x－ax+a。
22（1）若函数的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若函数在区间(,2上是增函数，求实数a的取值范围．

18．（本小题12分）函数fxx1x2，gxxax1（aR）．
2（1）求fx7的解集； （2）当x

19．（本小题12分）四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC//AD，2,1时，fxgx恒成立，求a的取值范围．
ADDC，BCCD1，AD2，PAPD，E为PC的中点，F为AD的中点，平面PAD底面ABCD. （1）证明：平面BEF平面PAD； （2）若PC与底面ABCD所成的角为，求二面角EBFA的余弦值. 3






x23t,xOy20．（本小题12分）平面直角坐标系中，过点P2,1的直线l的参数方程为（ty1t,为参数）；以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos2a22,aR. （1）求曲线C的普通方程；
（2）若直线l与曲线C相交于M、N两点（点P在M、N之间），且PMPN2，求a的值.
21．（本小题12分）已知函数fxax1t(a0,a1是定义域为R的奇函数. xa（1）求实数t的值；
（2）若f10，不等式f(x2bxf(4x0在xR上恒成立，求实数b的取值范围； （3）若f1

22．（本小题12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示． 组别 频数

（1）已知此次问卷调查的得分Z服从正态分布N,210，近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求P36Z79.5； （2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案. （ⅰ）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费； （ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表. 132x且hxa2x2mfx在 [1,上的最小值为2，求m的值. 2a30,40
25
40,50
150
50,60
200
60,70
250
70,80
225
80,90
100

90,100
50



赠送的随机话费/元
概率

20 3
440
1
4 现市民甲要参加此次问卷调查，记X为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望．附：21014.5，若XN,2，则PX0.6827，P2X20.9545，P3X30.9973.




2021届高三年级第二次数学（理科）月考试卷答题卡

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、 14、 15、 16、 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17、（本题满分10分）

18、（本小题满分12分）







19、（本小题满分12分）





20、（本小题满分12分）










21、（本小题满分12分）



22、 （本小题12分）









2021届高三年级第二次月考数学（理科）试卷答案
D C D B A A D D A A
A A 13．,1 14．2020 15．1,1 16． a17． （1）xR,x2axa0,则a24a00a4
2y＝log(x－ax+a在区间(,2上是增函数， 1（2） 因为函数223
92故只需fxxaxa在,2上单调递减，且fx0. a则2且2222aa0，
解得a22且a221. 故a22,222
18．（1）4,3；（2）3,0. 2x1,x2,【详解】 解：（1）fxx1x2，所以fx3,2x1,，
2x1,x1.所以解不等式组2x172x1x1或或，解得4x2或2x1或372x17x21x3， ∴fx7的解集是4,3
（2）由（1）知，当2x1时，fx3， 由fxgx知，3x2ax1． 故x2ax40在2,1上恒成立. 令hxxax4，则242a40,h20, ，即h10,1a40,
解得3a0， 故a的取值范围为3,0. 19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【详解】 （Ⅰ）又又
7. 7BC//DF 四边形BCDF是平行四边形 BF//CD. CDAD，BFAD. 面PAD面ABCD，面PAD面ABCDAD，


BF面ABCD BF面PAD 且BF面BEF 平面BEF平面PAD. （Ⅱ）连结PF，PAPD，F为AD中点，PFAD
又PF平面PAD，平面PAD平面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD， PF底面ABCD，
又BFAD，以FA，FB，FP分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设P0,0,t，C1,1,0，取平面ABCD的法向量n10,0,1，PC1,1,t，B0,1,0，
sin3n1PCn1PC，tt223， t6
2116P0,0,6，E2,2,2
设平面EBF的法向量n2x,y,z，
116z0n2FExy，令z1， x6，n2222nFBy02设二面角EBFA的平面角为 cos6,0,1. n1n2n1n27
7又为钝角，cos77. ，即二面角EBFA的余弦值为77
20．（1）x2y2a2；（2）a2. 【详解】 （1）由曲线C的极坐标方程为cos2即2a22，可得cos2a，
22cossina，即2222cos22sin2a2，



又因为xcos，ysin，代入可得x2y2a2， 所以曲线C的普通方程为x2y2a2. （2）设点M、N对应的参数分别为t1、t2，
3x2t2将直线l的参数方程代入x2y2a2， y1t2整理得t2231t23a220， 2可得223183a20，t1t223a，
2由参数t的几何意义知PMPNt1t2t1t2，可得t1t22， 因为点P在M、N之间，所以t1t20，
2所以t1t22，即23a2，解得a24（满足），
所以a2. 21．（1）t2（2）(3,5（3）m2
【详解】 （1）因为fx是定义域为R的奇函数，所以f00， 所以11t0，所以t2， （2）由（1）知：fxax1(a0,a1， ax因为f10，所以a所以fxax10，又a0且a1，所以a1，
a1是R上的单调递增，又fx是定义域为R的奇函数， ax所以fxbxf4x0fxbxfx4xbxx4
2222即x2bxx40在xR上恒成立， 所以b1160，即3b5，
所以实数b的取值范围为3,5. （3）因为f11133，所以a，解得a2或a（舍去）， 2a2221111所以hx22x2x2m2xx2xx2m2xx2， 2222


令ufx2x12guu2mu2， ，则x2因为fx2x13uf1在上为增函数，且，所以x1， Rx22因为hx22x12mfx在1,上的最小值为2， 2x2322所以guu2mu2在,上的最小值为2，
因为guu22mu2um2m2的对称轴为um 所以当m232时， gumingm2m2，解得m2或m2（舍去）， 2当m25331733m2，解得m， 时， guming224122综上可知：m2. 22．（1）0.8186；（2）见解析. 【详解】 （1）由题意可得35254515055200652507522585100955065，
100021014.5，36652965214.52，
易知79.56514.5，
P36Z79.5P2ZP2ZPZP2X2PX0.95450.68270.8186；
22（2）根据题意，可得出随机变量X的可能取值有20、40、60、80元，
1331113313PX20，PX40，
248242443211331111PX602，PX80. 2441624432所以，随机变量X的分布列如下表所示：
X
P

20
3
840
13
3260
3
1680
1
32


所以，随机变量X的数学期望为EX2040
38133175. 60803216322

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