第六章 共形映射

一、选择题：

1．若函数构成的映射将平面上区域缩小，那么该区域是 ( )

（A） （B） （C） （D）

2．映射在处的旋转角为( )

（A） （B） （C） （D）

3．映射在点处的伸缩率为( )

（A）1 （B）2 (C) （D）

4．在映射下，区域的像为( )

(A) （B）

（C） （D）

5．下列命题中，正确的是( )

（A）在复平面上处处保角（此处为自然数）

（B）映射在处的伸缩率为零

（C） 若与是同时把单位圆映射到上半平面的分式线性变换，那么

（D）函数构成的映射属于第二类保角映射

6．关于圆周的对称点是( )

（A） （B） （C） （D）

7．函数将角形域映射为 ( )

(A) （B） （C） （D）

8．将点分别映射为点的分式线性变换为（ ）

（A） （B）

（C） (D)

9．分式线性变换把圆周映射为( )

（A） (B)

（B） (D)

10．分式线性变换将区域:且映射为( )

（A） （B）

（C） （D）

11．设为实数且，那么分式线性变换把上半平面映射为平面的( )

（A）单位圆内部 （B）单位圆外部

（C）上半平面 （D）下半平面

12．把上半平面映射成圆域且满足的分式线性变换为( )

（A） （B） （C） （D）

13．把单位圆映射成单位圆且满足的分式线性变换为( )

(A) （B） （C） （D）

14．把带形域映射成上半平面的一个映射可写为( )

（A） （B） （C） （D）

15．函数将带形域映射为( )

（A） （B） （C） （D）

二、填空题

1．若函数在点解析且，那么映射在处具有 ．

2．将点分别映射为点的分式线性变换为 ．

3．把单位圆映射为圆域且满足的分式线性变换

4．将单位圆映射为圆域的分式线性变换的一般形式为 ．

5．把上半平面映射成单位圆且满足的分式线性变换的= 　　　 ．

6．把角形域映射成圆域的一个映射可写为 ．

7．映射将带形域映射为 ．

8．映射将扇形域：且映射为 ．

9．映射将上半平面映射为 ．

10．映射将上半单位圆：且映射为 ．

三、设是两个分式线性变换，如果记

,

试证1．的逆变换为；

2．与的复合变换为．

四、设与是关于圆周的一对对称点，试证明圆周可以写成如下形式其中．

五、求分式线性变换，使映射为，且使映射为．

六、求把扩充复平面上具有割痕：且的带形域映射成带形域的一个映射．

七、设，试求区域且到上半平面的一个映射．

八、求把具有割痕：且的单位圆映射成上半平面的一个映射．

九、求一分式线性变换，它把偏心圆域映射为同心圆环域，并求的值．

十、利用儒可夫斯基函数，求把椭圆的外部映射成单位圆外部的一个映射．

答案

第六章 共形映射

一、1．（B） 2．（D） 3．（B） 4．（A） ５．（D）

６．（C） ７．（A） ８．（C） ９．（A） 10．（D）

11．（D） 12．（B） 13．（C） 14．（B） 15．（C）

二、1．保角性与伸缩率的不变性 2． 3．

4．（为实数，） 5．

6．（为实数，） 7．角形域

8．扇形域且 9．带形域

10．下半平面

五、. 六、.

七、. 八、.

九、（为实数），.

十、.

复变函数与积分变换第六章测验题与答案