2018高考数学全国卷含答案解析

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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学


注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共
要求的。
1．设z

12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

1i1i
2i，则


|z|
B．




A．0

1




C．1


D．2
2
2．已知集合A
A．x1x2C．x|x
xx2x20，则eRA

B．x1x2D．x|x1

1x|x2x|x2
.为更好地了解该地区农村的经
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番

济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是

建设后经济收入构成比例
A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
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D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记Sn为等差数列
A．125．设函数
A．y
an的前n项和.若3S3S2S4，a12，则a5
B．10
C．10
D．12
f(x2x
x3(a1x2ax.若f(x为奇函数，则曲线
B．y
yf(x在点(0,0处的切线方程为
xC．y2xD．yx
6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，

E为AD的中点，则EB=

A.AB－AC
31
B.
1
4

AB－AC
4
3
4
C.

3
4
AB＋ACD.
4
4
1
1
4
AB＋
3
AC
4
7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点表面上的点

M在正视图上的对应点为A，圆柱
N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为
A．
217

B．25

C．3
2
D．2
的直线与C交于M，N两点，则FMFN
8．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为=



x

3
C．7


A．5


B．6


D．8

9．已知函数f(x

，x
，
，lnxx


，0
g(xf(xxa．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0）

B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为
直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，

其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则




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A．p=p


1















B．
1
=
1

3


22
C．


=3
pp





2


2


D．

=2+3
ppp

11．已知双曲线

C
：x
1，O为坐标原点，F为C的右焦点，
过








3
y


F的直线与C的两条渐近线的交点分

别为M、N.若△OMN为直角三角形，则|MN|=A．



3







B．3



C．23

D．4

2
12．已知正方体的棱长为
最大值为A．





1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的






33

B．
23
3
C．


32
4


D．


4
32
二、填空题：本题共




4小题，每小题5分，共20分。


x2yxy1y0

200


13．若x，y满足约束条件





，则z3x2y的最大值为_____________．



14．记Sn为数列an的前n项和.若Sn2an1，则S6_____________．

15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________
种．（用数字填写答案）16．已知函数f三、解答题：共






x2sinxsin2x，则fx的最小值是_____________．

70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第


（一）必考题：60分。

17．（12分）
在平面四边形ABCD中，ADC
90，A45，AB2，BD5.

（1）求cosADB；

（2）若DC

22，求BC.
18．（12分）
如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF
BF.
平面ABFD；

（1）证明：平面PEF

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（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值
.
19．（12分）
设椭圆C:



x2

y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0.









AM的方程；
lx1
（）当与轴垂直时，求直线
（2）设O为坐标原点，证明：
2
OMA


OMB.

20．（12分）

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不
合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取下的所有产品作检验，互独立．


20件作检验，再根据检验结果决定是否对余
设每件产品为不合格品的概率都为





p(0

p1，且各件产品是否为不合格品相

（1）记20件产品中恰有（2）现对一箱产品检验了件产品的检验费用为用．



2件不合格品的概率为20件，结果恰有
f(p,求f(p的最大值点p0．
2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每
2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付







25元的赔偿费
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为
X，求EX;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21．（12分）
已知函数

















f(x


1x
xalnx．







（1）讨论f(x的单调性；
（2）若f(x存在两个极值点

x1,x2，证明：


fx1fx2

x1x2
a2．


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（二）选考题：共10分。请考生在第22．[选修4—4：坐标系与参数方程
22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线C2的极坐标方程为2

2cos
30.
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知f(x|x1||ax1|.
（1）当a
1时，求不等式f(x1的解集；
（2）若x
(0,1时不等式f(xx成立，求a的取值范围专业知识分享


.






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参考答案：
1234567891011C
B
A
B
D
A
B
D
C
A
B
13.6

14.
6315.16
16.33







2
17.（12分）






BDAB

解：（1）在△ABD中，由正弦定理得

.




sin
AsinADB
由题设知，52
，所以sinADB2



.



sin45sinADB


5
由题设知，223
ADB
90，所以cosADB
1
.






25
5
（2）由题设及（1）知，cosBDC
sin2
ADB.






5
在△BCD中，由余弦定理得


BC2BD2DC22BDDCcos
BDC

25
82222


5









5

25.
所以BC
5.
18.（12分）
解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.
又BF平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系专业知识分享
12
A
H-xyz.
















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由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=3.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.
可得PH

3
,EH
32
.












2

则H(0,0,0,P(0,0,



3
2
,D(1,,0,DP(1,,
2

333
,HP(0,0,

3
为平面ABFD的法向量.
22
HPDP

2
34

3
设DP与平面ABFD所成角为

，则sin|

|4
|HP||DP|3
.

所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为

3
.
4
19.（12分）
解：（1）由已知得F(1,0，l的方程为x=1.
由已知可得，点



A的坐标为(1,


2
或(1,
2
2
.






22或y


所以AM的方程为y




2x2
2x2OMB0.

2.





（2）当l与x轴重合时，OMA
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以当l与x轴不重合也不垂直时，设

OMAOMB.

l的方程为yk(x1(k
0，A(x1,y1,B(x2,y2，y1
y2
则x1
2,x2
2，直线MA，MB的斜率之和为kMA
k


MB
x12x22.



由y1



kx1k,y2kx2k得








2kx1x23k(x1x24k
kMA




kMB
(x12(x22
.


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将yk(x1代入


x2

y21得2











(2k2
2k22k24k3
1x24k2x2k2
21
.



20.



所以，x1

x2
4k2k2
2
,x1x2



1
4k12k3
2k2
1

8k34k



则2kx1x2


3k(x1x24k




0.



从而kMA综上，
20.（12分）
kMB0，故MA，MB的倾斜角互补，所以OMA
OMA

OMB.



OMB.









解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为
f(pC202p2(1p18.因此

f(pC202[2p(1p1818p2(1p17]2C202p(1p17(110p.
令f(p
0，得p0.1.当p(0,0.1时，f(p0；当p(0.1,1时，f(p0.
所以f(p的最大值点为

p00.1.

（2）由（1）知，p

0.1.
Y:B(180,0.1，X
20225Y，
（i）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知

即X4025Y.

所以EXE(4025Y4025EY490.

（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为由于EX
21.（12分）



400元.


400，故应该对余下的产品作检验.




解:（1）f(x的定义域为(0,


，f(x
1x2
1
a

x2ax1

.

x
x2

（i）若a

2，则f(x0，当且仅当a2，x1时f(x0，所以f(x在(0,单调递减.
（ii）若a

2，令f(x


0
得，x
aa24

或x
a
a22

4
.

2

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当x

(0,

a


a2
2
4

U(

a


a22
4,


时，f(x0；











当x

(
a


a24,a2
a2
24,a
4
时，f(x0.所以f(x在(0,






a

a22


4
,(
a


a22

4,单

调递减，在(


a



a22

a22
4

单调递增.









（2）由（1）知，f(x存在两个极值点当且仅当由于f(x的两个极值点
a2.

x1,x2满足x2ax10，所以x1x21，不妨设x1x2，则x21.由于
f(x1f(x2
x1x2






11x1x2


a

lnx
1

x1


lnx2x2

2a



lnx
1
x1

lnx2x2



2a2ln2，
1x
2
x2
x







所以

f(x

1
x1

f(x2a2等价于x22lnx20.
x2x21x

1









设函数g(x


x2lnx，由（1）知，g(x在(0,







单调递减，又g(10，从而当x






(1,


时，g(x0.
所以
1

x22lnx2



0，即

f(x
1

x2x1
f(x2
x2
a


2.









22．[选修4—4：坐标系与参数方程
解:（1）由x

]（10分）
cos，y
sin得C2的直角坐标方程为(x


12y24．




（2）由（1）知C2是圆心为A(1,0，半径为2的圆．

由题设知，C1是过点B(0,2且关于
y
轴对称的两条射线．记轴右边的射线为l1，轴左边的射线为
yy
l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有
两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且









l1与C2有两个公共点．










|k2|k

4
2，故k


当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以
2

13
或k


0．
0时，l1与
经检验，当k

C2




没有公共点；当k




43





时，l1与C2只有一个公共点，
l2与C2有两个公



共点．
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当l2与C2只有一个公共点时，






A到l2所在直线的距离为2，所以







|kk2
2|1
2，故k
0或k
43
．
经检验，当k
0时，l1与C2没有公共点；当k
4时，l2与C2没有公共点．






3
综上，所求C1的方程为y4


|x|2．




3
．[选修4—5：不等式选讲]（10分）








解：（
）当


时，f(x|x1||x
1|，即f(x
2x,2,x

1
x1,

1,
1
a1











2,x
1.
故不等式f(x1

1的解集为{x|x
}．






2






（2）当x(0,1时|x1||ax1|x成立等价于当x(0,1时|ax1|1若a0，则当x(0,1时|ax1|1；






若a
0，|ax2，所以21|1的解集为0
x

1，故
0
a2．






a

a





综上，a的取值范围为(0,2]．
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成立．









23




2018高考数学全国卷含答案解析

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