第二讲　平面向量的数量积及应用

考点1平面向量的数量积

1.若向量a,b满足|a|=,b=(-2,1),a·b=5,则a与b的夹角为(　　)

A.90° B.60° C.45° D.30°

2.已知向量a和向量b的夹角为30°,|a|=2,|b|=,则向量a和向量b的数量积a·b=(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

3.已知△ABC是边长为1的等边三角形,则(-2)·(3+4)=(　　)

A.- B.- C.-6- D.-6+

4.已知两个非零向量a与b的夹角为θ,则“a·b>0”是“θ为锐角”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.[2018郑州一中高三入学测试]已知向量a,b均为单位向量,若它们的夹角为60°,则|a+3b|等于(　　)

A. B. C. D.4

6.已知|a|=3,|b|=5,如果a∥b,则a·b=　　　. 

考点2数量积的性质和运算律

7.已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c满足c与b的夹角为120°,c·(4a+b)=5,则|c|=(　　)

A.1 B. C.2 D.2

8.已知|a|=1,b=(-1,1)且a⊥(a+b),则向量a与向量b的夹角为(　　)

A. B. C. D.

9.下列给出的关系式中正确的个数为(　　)

①0·a=0;②a·b=b·a;③a2=|a|2;

④|a·b|≤a·b;⑤(a·b)2=a2·b2.

A.1 B.2 C.3 D.4

10.(1)已知向量a,b满足(a+2b)·(5a-4b)=0,且|a|=|b|=1,则a与b的夹角θ为(　　)

A. B. C. D.

(2)已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=,|b|=2,在△ABC中,=2a+2b,=2a-6b,D为BC中点,则||等于(　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

(3)已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为(　　)

A.- B. C.- D.

考点3平面向量数量积的坐标表示

11.向量a=(2,4),b=(5,3),则a·(a-b)=(　　)

A.-10 B.14

C.(-6,4) D.-2

12.[2018湖北省部分重点中学高三起点考试]已知向量a=(3,4),b=(x,1),若(a-b)⊥a,则实数x等于　　　

13.[2018长郡中学实验班选拔考试]设a=(,m),b=(m,),且a·b=1,则|b|=　　　 

14.已知向量a=(1,),b=(3,m),且b在a上的投影为3,则向量a与b的夹角为　　　 

考点4平面向量应用举例

15.在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,P,Q分别是BC,BD的中点,如图,则向量与的夹角的余弦值为　　　 

16.若力F1,F2,F3达到平衡,且F1,F2大小均为1,夹角为60°,则F3的大小为　　　

答案

1.C　∵b=(-2,1),∴|b|==,∵|a|=,a·b=5, ∴cos<a,b>===.

又<a,b>∈[0,π],∴a与b的夹角为45°.故选C.

2.C　由题意可得a·b=|a|·|b|·cos<a,b>=2××cos 30°=3,故选C.

3.B　(-2)·(3+4)=3·-6+4·-8·=3||·||·

cos 120°-6||2+4||·||cos 120°-8||·||·cos 120°=

3×1×1×(-)-6×12+4×1×1×(-)-8×1×1×(-)=--6-2+4=-,故选B.

4.B　由a·b>0,可得到θ∈[0,),不能得到θ∈(0,);而由θ∈(0,),可以得到a·b>0.故选B.

5.C　依题意得a·b=,|a+3b|==,故选C.

6.15或-15　当a,b的夹角为0°时,a·b=15;当a,b的夹角为180°时,a·b=-15.

7. D　依题意可得|a|=,|b|=3,a∥b.由c·(4a+b)=5,可得4a·c+b·c=5.由c与b的夹角为120°,可得c与a的夹角为60°,则有b·c=|b||c|cos 120°=|c|×3×(-)=-|c|,a·c=|a||c|cos 60°=

|c|××=|c|,所以4×|c|-|c|=5,解得|c|=2,故选D.

8. D　设向量a与向量b的夹角为θ,因为a⊥(a+b),所以a·(a+b)=0,即|a|2+a·b=1+

|a||b|cos θ=1+cos θ=0,cos θ=-,θ=,故选D.

9.C　①②③显然正确.对于④,|a·b|=|a||b||cos θ|(θ为a,b的夹角),a·b=|a||b|cos θ,故a·b≤|a·b|,故④错误.对于⑤,(a·b)2=(|a||b|cos θ)2=a2·b2cos2θ≠a2·b2(θ为a,b的夹角),故⑤错误.故选C.

10.(1)C　因为(a+2b)·(5a-4b)=0,|a|=|b|=1,

所以6a·b-8+5=0,即a·b=.

又a·b=|a||b|cos θ=cos θ,所以cos θ=.因为θ∈[0,π],所以θ=.故选C.

(2)A　因为=(+)=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,

所以||2=4(a-b)2=4(a2-2b·a+b2)=4×(3-2×2××cos+4)=4,则||=2.故选A.

(3)A　由条件得λa+b=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2),

因为向量λa+b与a-2b垂直,所以(-3λ-1,2λ)·(-1,2)=0,即3λ+1+4λ=0,解得λ=-.故选A.

11.D　∵a-b=(-3,1),∴a·(a-b)=-6+4=-2.故选D.

12.7　∵(a-b)⊥a,∴(a-b)·a=0,即a2=a·b,25=3x+4⇒x=7.

13. 　依题意得+=m=1,|b|==.

14.　因为a·b=3+m,|a|==2,|b|=,由|b|cos<a,b>=3,可得|b|·=3,故=3,解得m=,故|b|==2,故cos<a,b>==,故<a,b>=,即向量a与b的夹角为.

15.　以A为原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(3,),D(1,),所以P(,),Q(,),所以=(,),=(,),所以cos<,>===.

16.　F3=-(F1+F2),故=(F1+F2)2=++2F1·F2=1+1+2×=3,故F3的大小为.

2019届高考文科数学新课标版大一轮复习考点突破：第5章 第2讲 平面向量的数量积及应用（含答案）