2016-2017学年四川省成都市经济技术开发区高中高三(上)期中数学试卷和答案(文科)

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2016-2017学年四川省成都市经济技术开发区高中高三（上）期
中数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，集合B={3，4}，则（∁UA）∩B=（）
A．{3}B．{4}C．{3，4}D．{2，3，4}
2．（5分）已知i是复数的虚数单位，若复数z（1+i）=|2i|，则复数z=（）A．i
B．﹣1+i
C．1+iD．1﹣i
cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单
3．（5分）将函数y=
位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．
B．
C．
D．

4．（5分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=（）A．3
B．4
C．5
D．6
表示的平面区域，圆C：（x﹣5）2+y2=1
5．（5分）设D为不等式组
上的点与区域D上的点之间的距离的取值范围是（）A．[
D．[
﹣1，﹣1，
）﹣1]
B．[
，
]C．[
，
]
6．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）

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A．3个B．4个C．5个D．6个
7．（5分）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．
8．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）

A．22B．23C．24D．25
9．（5分）对任意的实数x都有f（x+2）﹣f（x）=2f（1），若y=f（x﹣1）的图象关于x=1对称，且f（0）=2，则f（2015）+f（2016）=（）A．0
B．2
C．3
D．4
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F1
10．（5分）双曲线
作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．
B．
C．
D．

11．（5分）点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如右图所示，那么点P所走的
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图形是（）

A．B．C．D．

12．（5分）等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A．1+log35B．2+log35C．12D．10
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，数列{an}满足a1=3，an+1=f（an），则a2016=．
xf（x）
13
22
31
，
，
，且
，
，
14．（5分）设x，y∈R，向量则
=．
15．（5分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．16．（5分）若函数y=f（x）对定义域的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f（x1）f（x2）=1成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题：①y=②y=
是“依赖函数”；
是“依赖函数”；
③y=2x是“依赖函数”；④y=lnx是“依赖函数”；
⑤y=f（x），y=g（x）都是“依赖函数”，且定义域相同，则y=f（x）．g（x）是“依赖函数”．
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其中所有真命题的序号是．
三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）已知函数f（x）=cos（2x﹣（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b．，c，若f（）=﹣c=
且a＞b，求B和C．
=1上截得的弦长．
，b=1，
）﹣cos2x（x∈R）．
18．（12分）求直线
19．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn•Sn﹣1=0（n≥2，n∈N*），a1=．（Ⅰ）求证：{
}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）若bn=2（1﹣n）an（n≥2，n∈N*），求证：b22+b32+…+bn2＜1．
20．（12分）某企业2012年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从2013年起每年比上一年纯利润减少20万元，2013年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（2013年为第1年）的利润为500（1+
）万元（n为正整数）．
（1）设从2013年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An，Bn的表达式；
（2）依上述预测，从2013年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A和B分别是椭圆C1：（a＞b＞0）和C2：

+=1
+
=1（m＞n＞0）上的动点，已知C1的焦距为2，且
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•=0，又当动


点A在x轴上的射影为C1的焦点时，点A恰在双曲线2y2﹣x2=1的渐近线上．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；
（Ⅱ）若C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴长度相等，求|AB|2的取值范围．


选做题(请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系中xOy中，曲线C1的参数方程为
（t为参
数）；在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=10cosθ．曲线C1与C2交于A、B两点，求|AB|．
[选修4-5：不等式选讲]23．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．
（Ⅰ）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个不同的解，求a的取值范围．
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2016-2017学年四川省成都市经济技术开发区高中高三
（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，集合B={3，4}，则（∁UA）∩B=（）
A．{3}B．{4}C．{3，4}D．{2，3，4}
【解答】解：因为全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，所以CUA={2，4}，
又因为集合B={3，4}，所以（∁UA）∩B={4}，故选：B．
2．（5分）已知i是复数的虚数单位，若复数z（1+i）=|2i|，则复数z=（）A．i
B．﹣1+i
C．1+iD．1﹣i
【解答】解：∵z（1+i）=|2i|=2，∴故选：D．
3．（5分）将函数y=
cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单
．
位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．
B．
C．
D．

【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），
]=2sin（x+m+
），
∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+∵所得的图象关于y轴对称，
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∴m+=kπ+（k∈Z），
．
则m的最小值为故选：B．
4．（5分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=（）A．3
B．4
C．5
D．6
【解答】解：∵Sn为等比数列{an}的前n项和，3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，两式相减得3a3=a4﹣a3，a4=4a3，∴公比q=4．故选：B．
5．（5分）设D为不等式组
表示的平面区域，圆C：（x﹣5）2+y2=1
上的点与区域D上的点之间的距离的取值范围是（）A．[
D．[
﹣1，﹣1，
）﹣1]
作出可行域如图，
B．[
，
]C．[
，
]
【解答】解：由约束条件O（0，0），B（0，3），联立OC=5，AC=
，解得A（1，1），
，BC=．
，最
∴圆C：（x﹣5）2+y2=1上的点与区域D上的点之间的距离的最小值为大值为∴所求范围[故选：B．
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，
，
]．




6．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）

A．3个B．4个C．5个D．6个
【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=3，则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3），∴
=（﹣3，﹣3，3），
设P（x，y，z），∵∴
∴|PA|=|PC|=|PB1|=|PD|=|PA1|=|PC1|=|PB|=|PD1|=
，
=
．
，3，
，
共4个．
=（﹣1，﹣1，1），
=（2，2，1）．
=，，
故P到各顶点的距离的不同取值有故选：B．
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7．（5分）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，∴由古典概型公式得到P=故选：D．
8．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）
=，
第9页（共20页）




A．22B．23C．24D．25
【解答】解：第1次执行循环体后，S=的条件，则n=12，第2次执行循环体后，S=第3次执行循环体后，S=故输出的n值为24，故选：C．
9．（5分）对任意的实数x都有f（x+2）﹣f（x）=2f（1），若y=f（x﹣1）的图象关于x=1对称，且f（0）=2，则f（2015）+f（2016）=（）A．0
B．2
C．3
D．4
=3，不满足退出循环的条件，则n=24，≈3.1056，满足退出循环的条件，
=
，不满足退出循环
【解答】解：y=f（x﹣1）的图象关于x=1对称，则函数y=f（x）的图象关于x=0对称，即函数f（x）是偶函数，
令x=﹣1，则f（﹣1+2）﹣f（﹣1）=2f（1），即f（1）﹣f（1）=2f（1）=0，即f（1）=0，
则f（x+2）﹣f（x）=2f（1）=0，即f（x+2）=f（x），
则函数的周期是2，又f（0）=2，
则f（2015）+f（2016）=f（1）+f（0）=0+2=2，
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故选：B．
10．（5分）双曲线
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F1
作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．
B．
C．
D．

【解答】解：将x=c代入双曲线的方程得y=即M（c，）
在△MF1F2中tan30°=即
=


解得e==故选：D．
11．（5分）点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如右图所示，那么点P所走的图形是（）

A．B．C．D．

【解答】解：由题意可知：
对于A、B，当p位于A，B图形时，函数变化有部分为直线关系，不可能全部是曲线，
由此即可排除A、B，
对于C，其图象变化不会是对称的，由此排除C，
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故选：D．


12．（5分）等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A．1+log35B．2+log35C．12D．10
【解答】解：∵等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，∴a5a6=a4a7=9，
∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1×a2×…×a10）=log3（a5a6）5==10．故选：D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，数列{an}满足a1=3，an+1=f（an），则a2016=1．
xf（x）
13
22
31

【解答】解：an+1=f（an），a1=3．∴a2=f（a1）=f（3）=1，a3=f（a2）=f（1）=3，a4=f（a3）=f（3）=1，…
第12页（共20页）



∴an=∴a2016=1．故答案为：1．
，
14．（5分）设x，y∈R，向量则
=15．
，
，
，，，且，，
【解答】解：∵∴
=3x﹣6=0，3y+6=0，
解得x=2，y=﹣2，
∴=（2，1），=（1，﹣2）．则
=9+6=15．
故答案为：15．
15．（5分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为78．【解答】解：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a．根据题意可知：75x+80y=（x+y）×a，且所以a=78，
则这次考试该年级学生平均分数为78．故答案为：78．
16．（5分）若函数y=f（x）对定义域的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f（x1）f（x2）=1成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题：①y=
是“依赖函数”；
=40%．
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②y=是“依赖函数”；
③y=2x是“依赖函数”；④y=lnx是“依赖函数”；
⑤y=f（x），y=g（x）都是“依赖函数”，且定义域相同，则y=f（x）．g（x）是“依赖函数”．
其中所有真命题的序号是②③．【解答】解：在①中，若x1=2，则
．
此时f（x1）f（x2）=1可得f（x2）=4，x2=±2，不唯一，所以命题①错误．在②③中，两个函数都是单调的，且函数值中没有零，每取一个x1，方程f（x1）f（x2）=1都有唯一的x2值，所以都是真命题．
在④中，y=lnx当x1=1时，f（x1）=0此时f（x1）f（x2）=1无解，所以是假命题．在⑤中，如果f（x）g（x）=1，则任意x1，都对应无数个x2，所以命题⑤也是假命题．
故答案为：②③．
三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）已知函数f（x）=cos（2x﹣（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b．，c，若f（）=﹣c=
且a＞b，求B和C．
）﹣cos2x=
sin2x﹣cos2x=
sin（2x，b=1，
）﹣cos2x（x∈R）．
【解答】解：（1）f（x）=cos（2x﹣﹣
），
≤2x﹣
≤2kπ+
令2kπ﹣，x∈Z，解得：kπ﹣
，kπ+
≤x≤kπ+，x∈Z，
则函数f（x）的递增区间为[kπ﹣（2）∵f（B）=∵0＜B＜π，∴﹣
sin（B﹣＜B﹣
）=﹣＜
]，x∈Z；
）=﹣，
，∴sin（B﹣
，
第14页（共20页）



∴B﹣=﹣，即B=，
=
，
又b=1，c=
∴由正弦定理得：sinC==，
∵C为三角形的内角，∴C=当C=则B=
18．（12分）求直线
=1上截得的弦长．
或
，
；当C=．
时，A=
（不合题意，舍去），
时，A=，C=
【解答】解：直线可化为

将
代入双曲线方程得（2+t）2﹣（
t）2=1
即t2﹣4t﹣6=0，∵△＞0，∴t1+t2=4，t1×t2=﹣6设直线与双曲线的交点为A、B由参数t的几何意义知|AB|=|t1﹣t2|=∴直线
=
=1上截得的弦长为2
=2




19．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn•Sn﹣1=0（n≥2，n∈N*），a1=．
第15页（共20页）



（Ⅰ）求证：{}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）若bn=2（1﹣n）an（n≥2，n∈N*），求证：b22+b32+…+bn2＜1．
【解答】解：（Ⅰ）由an+2Sn•Sn﹣1=0（n≥2，n∈N*），得Sn﹣Sn﹣1+2Sn•Sn﹣1=0，所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
．
，

，故{}是等差数列．
所以

（Ⅲ）所以b22+b32++bn2


．
20．（12分）某企业2012年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从2013年起每年比上一年纯利润减少20万元，2013年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（2013年为第1年）的利润为500（1+
）万元（n为正整数）．
（1）设从2013年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An，Bn的表达式；
（2）依上述预测，从2013年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
【解答】解：（1）依题设，An=（500﹣20）+（500﹣40）+…+（500﹣20n）=490n﹣10n2；
Bn=500[（1+）+（1+

）+…+（1+）]﹣600=500n﹣﹣100．
第16页（共20页）


（2）Bn﹣An=（500n﹣=10n2+10n﹣
﹣100）﹣（490n﹣10n2）
﹣10]．
﹣100=10[n（n+1）﹣
因为函数y=x（x+1）﹣﹣10在（，+∞）上为增函数，
﹣10≤12﹣
﹣10＜0；
当1≤n≤3时，n（n+1）﹣当n≥4时，n（n+1）﹣∴仅当n≥4时，Bn＞An．
﹣10≥20﹣﹣10＞0．
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．
21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A和B分别是椭圆C1：（a＞b＞0）和C2：
+
=1（m＞n＞0）上的动点，已知C1的焦距为2，且
•
=0，又当动
+
=1
点A在x轴上的射影为C1的焦点时，点A恰在双曲线2y2﹣x2=1的渐近线上．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；
（Ⅱ）若C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴长度相等，求|AB|2的取值范围．

【解答】解：（I）双曲线2y2﹣x2=1的渐近线方程为又C1的焦距为2，∴半焦距c=1．∴a2﹣b2=1，解得a2=2，b=1．∴椭圆C1的标准方程为
；
，∴，
第17页（共20页）



（II）∵C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴长度相等，∴m2=n2+1，2n=2a=2
，解得n2=2，m2=3，
．
∴椭圆C2的标准方程为
（1）当直线OA的斜率k存在且k≠0时，设直线OA的方程为y=kx，联立
，
可得
，y2=
，
∴|OA|2=
=1+．
联立
，可得x2=，y2=
，
∴|OB|2=∵
•
=0，
=3﹣，
∴|AB|2=|OA|2+|OB|2=4+=4﹣
≥4﹣
﹣=

，当且仅当时取等号，
又|AB|2＜4，∴|AB|2＜4．
（2）当直线OA的斜率不存在时，可得|AB|2=4．综上（1）（2）可得：|AB|2的取值范围是
选做题(请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]
．
第18页（共20页）



22．（10分）在直角坐标系中xOy中，曲线C1的参数方程为
（t为参
数）；在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=10cosθ．曲线C1与C2交于A、B两点，求|AB|．【解答】解：在ρ=10cosθ的两边同乘以ρ，得ρ2=10ρcosθ，
则曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=10x，…（3分）将曲线C1的参数方程代入上式，得（6+
t）2+t2=10（6+
t﹣24=0，
t），
整理，得t2+
设这个方程的两根为t1，t2，则t1+t2=﹣
，t1t2=﹣24，
=3
．…（10分）
所以|AB|=|t2﹣t1|=
[选修4-5：不等式选讲]23．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．
（Ⅰ）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个不同的解，求a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）若a=0，f（x）=|x+1|﹣|x|=，
∴当x＜﹣1时，不等式即﹣1≥0，解得x∈∅．
当﹣1≤x＜0时，不等式即2x+1≥0，解得x≥﹣．综合可得﹣≤x＜0．当x≥0时，不等式即1≥0，恒成立，故不等式的解集为x≥0．综上，不等式的解集为[﹣，+∞）．（5分）
（Ⅱ）设u（x）=|x+1|﹣|x|，则函数u（x）的图象和y=x的图象如右图：由题意易知，把函数y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）
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与y=x的图象始终有3个交点，从而﹣1＜a＜0．（10分）



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2016-2017学年四川省成都市经济技术开发区高中高三(上)期中数学试卷和答案(文科)

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