2016年淄博职业学院单招数学模拟试题（附答案解析）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案直接涂在答题卡相应位置上．

1. 已知集合则 （ ）

A． B．{ 1 } C． D．

2. 下列命题中错误的是 （ ）A．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面

B．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面

C．如果平面平面，平面平面，，那么直线平面

D．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面

3. 已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前n项和，，则的值为 （ ）

A． B． C． D．

4. 若实数a，b满足，且，则称a与b互补，记，那么是a与b互补的 （ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

5. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是 （ ）A． B．

C． D．

6. 已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为 （ ）

A．3 B．4 C． D.

7.函数在定义域内可导，若 ，且当时，，设，则 （ ）

A． B． C． D．

8.的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点中心对称 （ ）

A．向左平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

9. 已知是R上的奇函数，且当时，，则的反函数的图像大致是 （ ）

10. 有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为 （ ）

A． B． C． D．

11.已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点且则此椭圆的离心率的取值范围是 （ ）

A． B． C． D．

12. 已知球的直径SC= 4，A，B是该球球面上的两点，，，则棱锥S-ABC的体积为 （ ）

A．19 B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应位置上．

13. 已知，，则与的夹角为 .

14. 已知，且，则的值为 .

15.若一个圆的圆心在抛物线的焦点处，且此圆与直线相切，则这个圆的标准方程是 .

16．函数的定义域为A，若且时总有，则称为单函数．例如，函数是单函数．下列命题：

①函数是单函数；

②若为单函数，且则；

③若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；

④函数在某区间上具有单调性，则一定是该区间上的单函数．

其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程．

17．（本小题满分10分）在中，角所对应的边分别为，，，求及.

18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱的各棱长都是4， 是的

中点，动点在侧棱上，且不与点重合．

（I）当时，求证：；

（II）设二面角的大小为，求的最小值．

19．（本小题满分12分）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同，假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为，寿命为2年以上的概率为，从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.

（I）在第一次灯泡更换工作中，求不需要更换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；

（II））在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；

（Ⅲ）当时，求在第二次灯泡更换工作中，至少需要更换4只灯泡的概率（结果只保留两个有效数字）.

20．（本小题满分12分）已知关于x的函数，其导函数.

（Ⅰ）如果函数试确定b、c的值；

（Ⅱ）设当时，函数图象上任一点P处的切线斜率为k，若，求实数b的取值范围.

21．（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，若，且，数列的前n项和为.

（I）求证：为等比数列；

（Ⅱ）求.

22．（本小题满分12分）是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右顶点，直线、的斜率之积为

（I）求双曲线的离心率；

（II）过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于两点，为坐标原点， 为双曲线上一点，满足，求的值.

参考答案

一、1.B 2. D 3. D 4.C 5.D 6.B 7.C 8.C 9. A 10. D 11.C 12. B

二、13. 14. 15. 16. ②③④

三、17．由得，∴，

∴，∴，又，∴.

由得 ，即，

∴，，.

由正弦定理,得.

18．解法一：过E作于N，连结EF.

（I）如图1，连结NF、，由直棱柱的性质知，底面ABC侧面.

又底面侧面=AC，且底面ABC，所以侧面，

∴NF是EF在侧面内的射影，

在中，则由，得NF//，

又，故，由三垂线定理知.

（II）如图2，连结AF，过N作于M，连结ME，由（I）知侧面，根据三垂线定理得,所以是二面角C—AF—E的平面角，即.

设，在中，

在中， 故.

又，故当即当时，达到最小值，

，此时F与重合.

解法二：（I）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得

于是

故

（II）设平面AEF的一个法向量为，

则由（I）得，

于是由可得

取

又由直三棱柱的性质可取侧面

的一个法向量为，

于是由为锐角可得，∴，

由，得，即

故当，即点F与点重合时，取得最小值

19．解：（I）在第一次灯泡更换工作中，不需要更换灯泡的概率为，需要更换2只灯泡的概率为

（II）对该盏灯来说，在第一、二次都更换了灯泡的概率为；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为故所求概率为

（Ⅲ）至少换4只灯泡包括换4只和换5只两种情况.

换5只的概率为（其中为（II）中所求，下同），换4只的概率为

故至少换4只灯泡的概率为

又当时，

即满2年至少需要换4只灯泡的概率为

20．解：
（Ⅰ）因为函数在处有极值
所以 ,解得或.
（i）当时，,
所以在上单调递减，不存在极值.
（ii）当时，,
时，，单调递增;时，，单调递减;
所以在处存在极大值，符合题意.
综上所述，满足条件的值为. .

（Ⅱ）当时，函数,
设图象上任意一点，则，
因为，所以对任意，恒成立，
所以对任意，不等式恒成立.

设，故在区间上单调递减，
所以对任意，,所以.

21．解：（I） 由，得，

又因为，所以，

所以是以-2为首项，2为公比的等比数列，

所以.

(II) 由（I）知，,

故.

22．解：∵点在双曲线上，∴

由题意，可得，则

（II）由 得

设，则 ①

设

又C为双曲线上一点，，即

化简得，

又在双曲线上，所以

由①式得，，

，解得或

2016年淄博职业学院单招数学模拟试题（附答案解析）