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《义务教育教科书·数学》八年级上册简介

人民教育出版社中学数学室　俞求是

人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册包括三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法与因式分解、分式等五章内容，学习内容包括《义务教育数学课程标准（2011年版）》中数与代数、图形与几何、综合与实践的领域。本册教学内容是初等数学的重要基础知识。

本书供八年级上学期使用，教学时间约需62课时，具体分配如下（供参考）：

第11章 三角形 约8课时

第12章 全等三角形 约11课时

第13章 轴对称 约14课时

第14章 整式的乘法与因式分解 约14课时

第15章 分式 约15课时

一、教科书内容概述

三角形是最常见的一类几何图形，本册第11章“三角形”的主要内容就是介绍三角形的一些基本概念和性质，如三角形的分类，边、高、中线、角平分线的基本概念和某些性质，三角形的内角和、外角和的性质，三角形所特有的稳定性，另外也介绍多边形的基本概念和基本性质。

研究几何图形的性质常常借助于图形之间的全等关系，本册第12章“全等三角形”就介绍几何图形的全等概念、判定全等三角形的基本事实和方法，并由此研究角的平分线。本章为后续研究各种平面几何图形提供了有力工具。

几何变换是几何研究的重要内容，也是研究图形的重要工具，而轴对称变换是一种基本的几何变换。本册第13章介绍了轴对称的基础知识，并以轴对称为工具研究等腰三角形（包括更特殊的等边三角形）以及某些特殊类型的最短路径问题。

引进字母表示数，导致算术跃进到了代数，从对具体数的计算进入式的运算，与算术中的整数和分数相对应，产生了整式和分式，研究它们的运算规律成为必要。数与式的基本运算有加、减、乘、除，在本套教科书的七上中已经研究了整式的加、减，在本册第14章“整式的乘法与因式分解”着重讨论整式的乘法，并简略地涉及整式除法，第15章则讨论分式的运算。

第14章“整式的乘法与因式分解”首先介绍整式乘法的基础知识，包括幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方，单项式、多项式的乘法运算法则，乘法公式。本章还介绍和整式乘法方向相反的运算，即因式分解，本章介绍因式分解最基本的两种方法：提公因式法和公式法。由于整式除法的复杂和困难，课程标准没有对此内容提出要求，本套教科书则只涉及运算所必须的同底数幂的除法，另举例说明了某些简单情形的单项式除以单项式、多项式除以单项式的整式除法问题，对一般的整式除法问题不作系统的讨论。

第15章“分式”介绍分式的概念和基本性质、分式的约分和通分、分式的四则运算，并把幂的概念推广到整数指数幂并讨论了其运算，本章最后介绍解分式方程。

二、编写和修订中考虑的几个问题

1．重视从客观现实中的现象和问题引入教学内容

中学数学是数学学科的基础知识，而数学作为研究数量关系和空间形式的科学，是人们实践中出现的种种数学现实的反映，也是人们不断研究、创造的知识体系,是人们在各类科研和生产实践中的有力工具，具有广泛的应用性。数学教学必须重视揭示数学与客观现实的密切联系,揭示数学结论的真理性和真实性，揭示数学理论是怎样从现实世界中得到并不断发展，必须重视数学知识体系的条理性、逻辑性，也应该重视数学在实践中巨大作用的教学。本册教科书尤其重视从客观现实世界中的现象和问题引入教学内容，让学生认识到所学知识的实践意义和价值。

纵观全书，五章教材的引言都从与各章内容紧密相关的实际问题引入教学内容。前三章是用形象的手段，借助于精选的图片来作引入，后两章则用典型的实际问题来引入知识、展开教学内容。

而在内容展开过程中，也时时关注这一点。在“三角形”这一章，从工程建筑中极常见的三角形结构实例引入三角形稳定性，从多边形的实际物体引入多边形概念。在“全等三角形”一章也穿插了许多有关全等三角形性质和判定应用的实际事例。在“轴对称”一章画轴对称图形时引入了学生非常熟悉的脚印图案说明问题。在“整式的乘法与因式分解”一章，由超级计算机的高速运算速度问题引入同底数幂的乘法，在“分式”一章，以实际计算问题说明学习分式乘除运算的必要性。

重视从现实中的现象和问题引入教学内容的目的是指出数学的源，另一方面当然也必须讲数学的应用，即要在教科书中反映所学内容在实践中的应用价值，在这方面教科书也作了许多努力，在这次修订中也仍非常重视这一问题，如“三角形”一章增写了平面镶嵌的“数学活动”，在“全等三角形”一章也增加了一些有关全等三角形性质和判定应用的实际事例，“轴对称”一章增写了“课题学习最短路径问题”，在各章的习题中也充实了相当数量的实际应用问题。

2．重视知识探究过程的教学设计

为了让学生对于教学内容有较好的理解和掌握，就必须倡导启发式的教学，重视知识的形成过程，给学生以探究的时间和空间，让学生对所学知识有思考、理解、接受、内化的过程，虽然这主要是教学问题，但教科书编写仍必须有利于引导教师形成正确的教学方法。

本册教科书改变了以往平铺直叙的方式，重视对于教学过程的适度设计，教科书安排了许多“思考”“探究”“归纳”栏目，作了一些教材创新的尝试。

在“三角形”一章，在三角形按边分类、三角形内角和定理、多边形内角和公式等内容中，教科书都安排了思考或探究栏目。

而在“全等三角形”一章时，在“三角形全等的判定”一节设计了5个探究和3个思考，让学生经历三角形全等条件的探索过程，突出体现新教材的设计思想。首先让学生探索两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的一个或两个，两个三角形是否一定全等。然后让学生探索两个三角形满足上述六个条件中的三个，两个三角形是否一定全等，并按如下的顺序展开：

（1）三边对应相等；

（2）两边及其夹角对应相等；

（3）两边及其中一边所对的角对应相等；

（4）两角和它们的夹边对应相等；

（5）两角和其中一个角的对边对应相等；

（6）三个角对应相等。

总的发展脉络是三边，两边一角（包括（2）（3）两种情况），一边两角（包括（4）（5）两种情况），三个角，这样学生容易把握探索的过程。这样的处理也与先给出可判定全等的情况，再给出不一定能判定全等的情况的处理不同，尽量排除人为安排的因素，探索过程的脉络比较自然而清晰。最后让学生将三角形全等的条件运用于直角三角形，讨论得出直角三角形全等的条件。其中，斜边和一条直角边对应相等不能运用三角形全等的条件，又需要学生进一步加以实验探索。

在“轴对称”一章，对于轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、关于坐标轴对称的点的坐标的关系、等腰三角形的性质等内容，也都先安排学生进行折叠、测量、计算等探究、思考活动。

在“整式的乘法与因式分解”一章，整式乘法的一些基本性质是先让学生进行一些具体计算后去归纳得到规律的。对于乘法公式，也让学生将多项式的乘法法则运用到某些特殊形式的多项式相乘，让学生自己去探索、发现规律。在这一章还安排了“数学活动”栏目，活动的内容就是通过某些特殊的计算问题，让学生运用所学知识探索、发现简便的计算方法。

在“分式”一章，对于分式性质的学习充分注意让学生从分数的计算法则去思考和猜想分式的运算问题，使学生处于一种积极、主动的学习状态之中。

总之，本册教科书的各章都注意根据教学内容，适当安排一些学生的探究活动，让学生较充分地经历获得知识的过程，知道知识的来龙去脉。教材这样的安排，也更加体现学生在学习中的主体地位。

3．适当加强推理能力的培养

数学教学的一个重要任务是发展学生的数学能力，发展学生的推理能力是初中数学教学的核心任务之一，其中演绎推理能力的发展又是重点。由于考虑学生能力的发展水平，结合本册特定的教学内容，在本册教科书的编写和修订中对此给以充分的重视。

在本册书的一个重要教学内容是“三角形”中三角形内角和定理的证明问题。对于此定理，从小学的直观操作知道结论，到现在要认识证明结论的必要性，再到定理证明方法的获得，这实际上是提高对于数学这门学科的特点认识的一次很大飞跃，也是从合情推理水平提高到演绎推理水平的一次大飞跃，而这又是必须经历的过程，否则就是一个很大的缺憾和漏洞。精心安排教学，帮助学生完成这一飞跃，是初中数学教学的一项重要任务。本册教科书对于这一点给予了充分的重视，为此，教科书首先安排了一个画图找规律的“信息技术应用”栏目，让学生利用软件对某些结论作了探究，为后续教学作了铺垫和准备。在第11.2节，则首先回顾结论，并也回忆小学是怎样知道这一结论的，然后指出结论证明的必要性，再让学生通过操作发现证明的途径方法。不仅如此，教科书在“阅读与思考 为什么要证明”里，又以师生对话的形式对此问题进一步加以阐述。这样的安排，对于帮助学生对数学学科的特点的认识，掌握学习数学的正确方法，正确认识几何结论，都有重要意义。

当然，推理能力的培养途径，不仅仅局限于定理证明的教学中，而是贯穿于整个教学内容的展开过程的各个环节中的。教科书也正是这样来认识和安排的，本册教科书的修订都在一定程度上加强了一些教学环节的设计，例如，各类几何图形概念体系和结构的建立、三角形全等判定内容的展开、全等判定方法的辨析、整式和分式运算法则从一般到特殊的归纳和推导、分式方程增根问题的分析讨论，这些内容都比较典型地反映了对培养推理能力的考虑。

另外，教科书在推理能力的培养上也注意不脱离学生普遍的能力水平，注意减缓坡度，循序渐进，逐渐提高教学要求，特别对于证明的要求方面逐渐提高要求，逐渐加大难度。

4．注意加强相关知识的联系合理安排内容结构

合理组建内容结构体系直接影响学生对知识理解的程度，直接影响教学效果。本书注意加强相关知识的联系，合理安排内容结构。

在“全等三角形”一章，教科书把三角形的画法与三角形全等条件的探索相结合，不是直接给出三角形全等的判定方法的基本事实，而是让学生画出与已知三角形某些元素对应相等的三角形，画完以后，再剪剪量量比比，在此基础上再启发学生思考判定两个三角形全等需要什么条件。这样，让学生自己动手画图，就会对相关结论有深刻的印象。把三角形的画法与三角形全等条件的探索相结合，从教学实验的效果来看，这样安排比单独讲三角形的画法效果好，单独讲容易让学生觉得单调、枯燥、乏味。

在“轴对称”一章，把图形的变换与对图形性质的研究紧密地相结合，本书先安排了轴对称的内容，再安排等腰三角形的内容。这样就可以从变换的角度认识等腰三角形，也应用的轴对称变换研究了等腰三角形，从而加强了两者之间的联系。另外，在本章中安排“用坐标表示轴对称”的内容，也是为了数形结合，加强知识之间的联系。

在“整式的乘法与因式分解”一章，将整式的乘法与因式分解安排在同一章，也加强了它们的联系。另外，让学生用借助面积认识乘法公式，可以使学生从数形结合的角度加深对有关公式的理解，认识数与形之间的密切联系，并逐步培养学生应用数形结合的思想和方法分析、解决数学问题的能力。例如，在本章中的教学中，学生就很容易借助图形认识是一个错误的结论。

三、对教学的几个建议

1．重视培养学生学习数学的良好情感态度

新版《义务教育数学课程标准》对于义务教育阶段数学教学中培养学生良好情感态度方面提出了新的更高的要求，这就是要了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。应该重视在教学中把这些要求真正落到实处。

在本册教科书的教学中，就要注意培养学生良好情感态度。要结合教学内容说明学习数学知识的价值和意义，初步了解所学知识的广泛应用价值，树立正确的学习目的；要在知识的探究过程中培养学生数学学习的兴趣；通过学生在知识学习过程中所取得的进步，让学生获得数学学习的信心。本书中几何问题证明的问题数量增多了，难度也加大了，方法也多样了，对学生具有更大的挑战性，所以，在教学中要精选练习题，精心设计学生的训练过程，要让学生在学习练习过程中有较多的思考探究时间和空间，把时间和空间还给学生，给学生以探索、研究的机会，鼓励学生得到对于问题、习题的具有创造性的解答；要提倡一题多解，提倡一解多题；教学中要发挥教师的主导作用，俗话说，名师出高徒，在教学中，教师要发挥主导作用，要多教给学生一些办法。教学既要重视通性通法，但也要教一些解决特殊问题的办法和技巧。这就要培养学生的观察能力，既懂通法，也懂一些解决特殊类型问题的巧妙方法，让学生更加聪明，让学生通过学习知识增长才干来获得对于数学的良好情感和态度。要用辩证唯物主义的理论指导数学教学，研究数学教育的一般规律和特殊规律。要通过循序渐进的教学，使学生掌握基础知识，基本技能，发展能力，同时使他们具有顽强的学习毅力，在数学学习中有更充足的信心，培养实事求是的科学态度，独立思考、勇于探索创造的精神。

本书内容蕴含了数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点，蕴含了运动变化、普遍联系等观点。如由于实际的需要产生了整式和分式，并使整式和分式的理论得到丰富和发展，同时这些理论又用于解决实际问题。而整式和分式运算、轴对称等内容则生动地反映了变化发展、相互联系、相互转化的观点。在教学中，要利用这些内容对学生进行辩证唯物主义观点的教育，提高学生的思想水平。

2．加强信息技术在教学中的运用

现代信息技术为数学教学提供了强大的工具，使数学教学更加生动、形象、高效。在本册的教学中要加强信息技术的应用，帮助学生对于数学知识有更好地理解，提高教学质量。

本册书前三章内容属于图形与几何领域，而后两章的代数内容也有许多可以借助图形的形象思维，用数形结合的办法来进行教学，这就要求在教学中更加重视信息技术工具的应用，使教学更加形象、生动，更好地把数学与实际联系起来以说明数学学习的价值和目的，更好地说明几何图形的性质，更好地说明图形的平移、对称、全等等图形的变换、变化。为此，教材已经专门设置了一些“信息技术应用”的拓展内容供教学参考，而在实际教学中，老师们尚有更宽广的拓展空间。例如，利用图形软件通过图形的变化来对某些几何结论作合情推理，让学生对结论有更好的认识，也可以直接展现一些图形以说明结论证明的多种方法、途径，也可以展示一些数学知识的实际应用的多样性、丰富性。利用软件可以方便地画出一个图形的轴对称图形，由此可以观察对称点所连线段与对称轴的关系，也可以让轴对称图形或对称轴的位置发生变化，观察结论是否仍然成立。也可以很好地利用软件来展现习题解法的多样性，培养学生更强的解题能力；还可以用技术手段去展示学生学习中的突出表现、优秀的事例，表扬先进，鞭策后进。

3. 通过教学夯实基础

本册的教学内容都是初等数学的基础知识，对于后续学习影响很大，要切实通过教学夯实基础。要通过本册的教学，使学生的推理能力有较大的提高，运算能力也有较大的提高。要加强本册教学内容的研究，教学研究不要局限于教学方法的抽象、空洞、乏味的理论说教，更要联系内容，联系学生学习实际，联系具体数学内容，拓展研究领域，扎实开展教学实际问题的研究。要特别重视培养学生的运算能力，提高正确性、迅速性、简捷性。许多初中学生在数学学习中往往一学就会、一听就懂，但却一做就错、一考就倒。要研究解决这些问题，让学生真正学会、听懂，少出错，考出好成绩。一定要研究学生学习中出现的具体问题，研究具体对策，解决具体问题。

在本册的教学中，还要注意抓住教学中的重点、关键，克服教学的难点。在“三角形”一章，要切实让学生理解三角形内角和定理证明的必要性，这不仅对于理解结论本身有意义，而且对于今后整个数学课程的学习都有重要意义；在“全等三角形”一章，则要让学生真正掌握判定三角形全等的三个基本事实，掌握判定三角形全等的常用方法，认识判定全等三角形在今后研究其他几何图形中的重要工具作用；在“整式的乘除与因式分解”一章的教学中，要让学生熟练掌握幂的运算性质、单项式与单项式的运算性质，做到正确、迅捷；分式运算能力也是应用极其广泛的运算能力，一定要夯实基础。因式分解是解析式的一种恒等变形，因式分解不但在解方程等问题中极其重要，在数学科学其他问题和一般科学研究中也具有广泛应用，是重要的数学基础知识，但因式分解历来是初中数学的教学难点，要研究克服这个难点的办法，让学生切实打好基础。

2013-05-10 人教网

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