大连市2015年高三第二次模拟考试

数学（理科）能力测试

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第I卷

一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

（1）已知集合，，则等于（　 　）

（A）{2} （B）{3} （C）{1} （D）{1，3}

（2）已知复数的共轭复数为，若||＝4，则·＝(　 　)

（A）4　 （B）2 （C）16 （D）±2

（3）对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测

数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断(　　)

（A）变量x与y正相关，u与v正相关 （B）变量x与y正相关，u与v负相关

（C）变量x与y负相关，u与v正相关 （D）变量x与y负相关，u与v负相关

（4）有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，

则不同的选法共有（ ）21世纪教育网版权所有

(A) （B） （C）（D）

（5）在△中，为边的中点，若，,则（ ）（A） （B） （C） （D）

(6) 如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为，圆上最低点与地面距离为，图中与地面垂直，以为始边，逆时针转动角到，设点与地面距离为，则与的关系式为（ ）

（A） （B）

（C） （D）

（7）如图所示的流程图，最后输出n的值是(　 　)

（A）3

（B）4

（C）5

（D）6

（8）设为抛物线的焦点，过且倾斜角为

的直线交曲线于两点（点在第一象限，点在

第四象限），为坐标原点，过作的准线的垂线，垂足

为， 则与的比为（ ）

（A） （B） 2 （C） 3 （D） 4

（9）用一个平面去截正四面体，使它成为形状，大小都相同的两个几何体，则这样的平

面的个数有（ ）

（A）6个 （B）7个 （C）10个 （D）无数个

（10）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为（ ）

（A） （B）

（C） （D）

（11)定义[]表示不超过的最大整数．设，且，则下列不等式恒成立的是（ ）

（A） （B）当时，

（C） （D）当时，

（12）对，下列四个命题：①；②；③；④，则正确命题的序号是（ ）

（A）①、② （B）① 、 ③ （C）③、④ （D）②、④

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．

二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）

（13） 如图，设抛物线的顶点为，与

轴正半轴的交点为，设抛物线与两坐标轴正半轴围成

的区域为，随机往内投一点，则点落在

△内的概率是 ．

（14）若

则的值为 ．

(15) 设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 .

（16）已知双曲线左右顶点为，左右焦点为，为双曲线上异于顶点的一动点，直线斜率为，直线斜率为，且，又内切圆与轴切于点，则双曲线方程为 ．

三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

（17）(本小题满分12分)

已知两个数列，，其中是等比数列，且，，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设的前项和为，求证：．

（18）(本小题满分12分)

某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如下表：

甲厂：

乙厂：

（Ⅰ）由以上统计数据填下面列联表，并问是否有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同的分厂有关”.

附：

w.w.w.zxxk.c.o.m （Ⅱ）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分二层）从两厂中各抽取五件零件，然后从每个厂的五件产品中各抽取两件，将这四件产品中的优质品数记为，求的分布列.

（19）(本小题满分12分)

在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，，点在线段上，且．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

（20） （本小题满分12分）

如图，已知椭圆中心在原点，焦点在轴上， 分别为左右焦点，椭圆的短轴长为2，过的直线与椭圆交于两点，三角形面积的最大值为．

（Ⅰ）求椭圆的方程（用表示）；

（Ⅱ）求三角形面积的最大值．

（21）（本小题满分12分）

已知函数， (是自然对数的底数，为常数).

(Ⅰ) 当时，求的单调区间；

(Ⅱ)若函数在区间上单调递减，求的范围

(Ⅲ)当时，函数在区间（0,1）上是否有零点？并说明理由．

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

(22)（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G.

（Ⅰ）求证：圆心O在直线AD上；

（Ⅱ）求证：点C是线段GD的中点.

(23)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(Ⅰ)求和的极坐标方程；

(Ⅱ)已知射线，将逆时针旋转得到，且与交于两点，与交于两点，求取最大值时点的极坐标.

(24)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知和是任意非零实数.

（Ⅰ）求的最小值．

（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

大连市2015年高三第二次模拟考试参考答案

数学（理科）

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一．选择题

（1）B；（2）C；（3）C；（4）B ；（5）D ；(6) D；（7）C ；（8）C；（9）D；（10）A ；

（11) D ；（12）A．

二.填空题

（13）；（14）； (15)；（16）.

三.解答题

（17）

综上：

综上：

（18）

解： (Ⅰ)列联表如下

所以有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同的分厂有关”. 6分

（Ⅱ）甲厂有4件优质品，1件非优质品，乙厂有3件优质品，2件非优质品.

从两个厂各抽取2件产品，优质品数的取值为

；；

，所以 10分

所以的分布列为

12分

（19）解： 18. （Ⅰ）证明：∵面,面，∴,

∵是的中点，△是等边三角形，∴．

∵，面，面，∴面，

面，∴．……………………………………4分

(Ⅱ)由已知，可得而.

在四边形ABCD中，．

．

．

.…………………………………8分

(Ⅲ)如图建立空间直角坐标系，

由(1)可知，BD为平面PAC的法向量，

设平面PBC的一个法向量为，,

则

令，则，故平面PBC的一个法向量为

设二面角为，有图可知为锐角，

则.………12分

（20）

（21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）当时，，

的单调增区间为；

的单调减区间为．……………………………………3分

(Ⅱ)，

，∴在单调递增，

，．……………………………………6分

（Ⅲ）假设函数在区间上有零点，

即存在，使得

即，记，

①若即

由于，有，

即证在恒成立

令，

，

当，，当，，

所以当，单调递减，当，单调递增，

而，，

故在上存在唯一的实数使得

所以，在上单调递增，在上单调递减.

而，

故在成立，

即成立. ……………………………………9分

②若即

由于，有，

即证在恒成立

令

，

当，，当，，

所以当，单调递减，当，单调递增，

而

在上存在唯一的实数使得

所以，在上单调递减，在上单调递增.

又，，

故在成立，即成立.

由①②，可得，，即存在零点. …………………………12分

(22)解：（Ⅰ），。

，

∴圆心O在直线AD上．5分

（II）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，，

， ，，

，，，

∴点C是线段GD的中点． 10分

(23)解：（1）曲线的直角坐标方程为，所以极坐标方程为

曲线的直角坐标方程为，所以极坐标方程为 4分

（2）设点极点坐标，即

点极坐标为 即

则=

8分

，，

当即时取最大值，此时极点坐标．10分

(24)解：（I）对于任意非零实数a和b恒成立，

当且仅当时取等号，

的最小值等于4． 5分

（II） 恒成立，故不大于的最小值,由（I）可知的最小值等于4．

实数x的取值范围即为不等式的解．

解不等式得 10分

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