2013数学建模A题优秀论文

发布时间：2014-07-01

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书

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我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

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日期： 2013 年 9 月16日

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2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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车道被占用对城市道路通行能力的影响
摘 要
本文针对车道被占用对城市道路通行能力的影响建立了相应的数学模型。 针对问题一，根据视频1，统计交通事故发生至撤离期间在相同时间段内通过横断面的车辆数，并换算成标准车当量数，得到第二、三车道被占用时的各单位时间内的实际通行能力值。用MATLAB软件画出实际通行能力随时间的变化趋势图像。该图像显示，横断面处的实际能力变化过程呈先下后上的波形变化。
针对问题二，根据视频2，按照问题一中的上述方法，得到一、二车道被占用时的实际通行能力值。将问题一和问题二得到的两个图像整合到同一坐标系里，可以清楚地看出交通事故所占车道不同对实际通行能力造成的差异很大，图像显示，占用内车道比占用外车道对实际通行能力影响更大。
针对问题三，首先确定排队的长度用车辆数来表示，然后把整个路段看成一个系统，用进入该路段的车辆数减去从该路段输出的车辆数，得到单位时间内该路段的车辆增加数量，然后再乘以事故持续时间就可以得到该路段增加的车辆数，再加上该路段中的初始车辆数就是该路段车辆排队长度。另外车流量有两个来源，一个是通过第一相位从路对面直行进入该路段的，其受到信号灯的控制，因此需要考虑信号灯的周期性来确定车流量，另一个来源于车辆右转，其不受信号灯的影响。最后得到排队长度与实际通行能力、事故持续时间和上游车流量的关系：L0q2T2.88nQxTLs. 针对问题四，利用该题所给条件，将问题三中的公式进行简化，得到公式qtQxtLs.我们将横断面的实际通行能力Qx取为问题一的平均实际通行能力1152辆/小时，统计出140米路段的车辆数，最终求解出需要290秒就可以使车辆排队长度到达上游路口。

关键词：实际通行能力；排队长度；车流量；车道


15 1


1、问题重述
车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。
车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。
视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。请研究以下问题：
1. 根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。
2. 根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
3. 构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。 4. 假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。
2、模型的假设
（1）假设大型车换算成标准车辆的换算系数是2即一辆大型车相当于两辆标准车。 （2）假设车辆在行驶过程中不受行人及自行车的影响。
（3）假设对于问题三、四中车辆从小区路口进入路段对上游车流量影响不大。 （4）假设路边无停靠车辆。
3、符号的约定
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Qx是事故横断面实际通行能力，单位是：pcu/h；
Ci表示第i个时间段；
ai表示第i段时间横断面通过的车辆数； LS表示车辆排队长度，单位是：辆；
q1表示在上游路口第一相位时由直行车道进入交通事故发生路段的车流量； q2表示在上游路口第二相位时由右转相位进入交通事故发生路段的车流量； L0表示交通事故刚发生时该路段内车辆初始排队长度；
T表示事故持续时间；
T1表示上游路口信号周期；
n表示事故持续时间内包含上游路口信号周期的个数； Cs表示一条直行车道的设计通行能力，单位:pcu/h; tg表示信号每周期内的绿灯时间；
t0表示绿灯后第一辆车启动，通过停车线的时间；
W/G0.6表示直行或右行车辆通过停车线的平均时间，单位：s/pcu; 表示折减系数；
q表示路段上游总的车流量；
t表示车辆排队长度达到140米所需时间； Nn表示单位时间段内的标准车辆数； ti表示第i个单位时间段；
4、问题的分析
（1）问题一要求描述在事故发生至撤离期间横断面处实际通行能力的变化过程，实际通行能力受车速、密度等因素制约，其可以用单位时间通过的车辆数来反映实际通行能力的大小，本题可以根据视频1统计多组在相等时间内通过的车辆数，然后分别求出在各段时间的实际通行能力并记录到表格中；然后可以找到时间和实际通行能力的对应关系并利用MATLAB软件对其进行数据处理后得到一个二维图像，根据图像及表格可以15 3
阐述其变化过程。
（2）问题二中由于交通事故发生在不同的车道，而不同的车道所占的流量比例不同，所以其对同一横截面实际通行能力影响也不相同，视频1中交通事故发生在二、三车道所占流量比例共79%，视频2中事故发生在一、二车道所占流量比例共65%，显然视频2中的实际通行能力相对大些，可以类似的找出视频2中时间和实际通行能力的的关系及图像，然后将其与视频1中的进行比较。本题可以利用MATLAB将根据视频1和视频2得到的图像放到同一个坐标系里，从而可以直观地看出交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力的影响差异。
（3）对于问题三可以把该路段看作是一个系统，把上游车流量乘以事故持续时间看作进入系统的车辆，把实际通行能力乘以时间看作是输出系统的车辆，用进入系统的量减去输出系统的量就是系统中车辆的净增加量，然后用净增加量加上系统中初始的车辆数就可以表示排队长度。
（4）题中已经告诉路段上游的车流量，而且初始排队长度为零，只需找出实际通行能力，再根据视频1中120米长的路段有24辆车左右，在这里不妨取24辆，这样就可以算出140米的路段有多少量车，再利用上一问的结论则可以求出所需时间。
5、模型的建立与求解
5.1问题一的解决方案及模型：
实际通行能力需要受到各种因素的制约，包括车流密度、速度以及交通事故等其它原因。可以用单位时间内通过的车辆数来衡量实际通行能力的大小，根据视频1可以统计相同时间段内通过横断面的车辆数，则实际通行能力的计算公式为：
aiQx,其中Ci=30s,(i=1,2, 3ci 5.1.1 所得数据见于表1: n Ci C1 C2 C3
ai
11 10 11 QX
1320 1200 1320 15 4
C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10
10 9 7 8 10 8 6 9 11 9 10 10 11 9 9 10 10 9 9 11 11 10 5 1200 1080 840 960 1200 960 720 1080 1320 1080 1200 1200 1320 1080 1080 1200 1200 1080 1080 1320 1320 1200 C11 C12 C13 C14 C15 C16 C17 C18 C19 C20 C21 C22 C23 C24 C25
15
C26 C27


5.1.2根据表格数据可得到图1如下所示：

10 11 1200 1320
图一

结论：根据表格和图像可以分析出视频1中交通事故发生至撤离期间其横断面的实际通行能力呈波动形式，随着时间的推移其实际通行能力在此整个过程中不断变化。
5.2 问题2的解决方案及模型
5.21 在问题1中已经分析了其实际通行能力随时间的变化趋势，所不同的是问题1中事故出现在车道二和车道三上，而问题2中的交通事故发生在车道一和车道二上，同理可以根据视频2得到表格2如下：

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Ci C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10
ai
22 24 20 22 23 21 22 23 28 18 18 20 17 21 19 22 7 QX
2640 2880 2400 2640 2760 2520 2640 2760 3360 2160 2160 2400 2040 2520 2280 2640
C11 C12 C13 C14 C15 C16
15
C17 C18 C19 C20 C21 C22 C23 C24 C25 C26 C27 C28



5.22依据表格数据可得到如下图像
22 21 19 21 25 22 24 20 17 22 21 21 23 2640 2520 2280 2520 3000 2640 2880 2400 2040 2640 2520 2520 2760
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图2：


图3：
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结果分析：根据图像2及表格很容易分析视频2中横断面处的实际通行能力也是呈波动状态，随时间的变化而上下波动；根据图像3可以很明显的看出视频2中横断面的实际通行能力比视频1中的实际通行能力强，这是由于不同的车道流量比例不同，车道二和车道三所占的流量比例大于车道一和车道二所占比例，因此导致视频1中的实际通行能力小于视频2中的实际通行能力。
5.3 问题3的解决方案及模型
通过视频1可以发现由于交通事故导致每隔一段时间会在该路段出现堵车现象，为了避免由于定义排队标准的模糊而难以分析，不妨以车辆数来作为排队长度，该问题要求建立模型来分析排队长度与其它三个量之间的关系，由问题分析知，可以把交通事故所影响的路段看作是一个系统，车辆进入该路段为输入系统，车辆离开为输出系统，当输入系统大于输出系统时排队长度增加。
实际通行能力
路段
上游车流量
L

5.3.1 模型I：

(1 计算q1：
一条直行车道的设计通行能力计算公式：
Cs3600tgt01 【4】
T1ti其中T1=60s, tg=24s, t0=2.3s, ti=3.26s,当道路宽度为3.25m时=0.94 所以可求得Cs=432pcu/h， 且q1=Cs；
由于受到信号灯的影响q1呈周期性变化，在绿灯时q1=432pcu/h,其余时间q1=0， 因为信号灯一个周期为T1，则在事故持续时间内的周期个数：n=(2 计算事故持续时间内进入该路段的车辆数：
首先应明确q2不受信号灯的影响,所以在事故持续时间内进入该路段的车辆总数为：
24q2Tnq1360015 10 T； T1

5.3.2 模型II: 事故持续时间是指从刚发生交通事故到撤离为止，当刚开始发生事故时开始计时，此时该路段已经积累了一定的车辆，此时积累的车辆数为初始排队长度记为L0，横断面的实际通行能力为Qx，综上分析可以的到排队长度Ls与事故横断面实际通行能力Qx、事故持续时间、路段上游车流量间的关系为：
L0q2T24nq1QxTLs
3600由（1）中可知q1=Cs=432pcu/h，化简后得到：
L0q2T2.88nQxTLs
5.4 问题的解决方案及模型
由上一问可知 L0qtQxtLs
q1500pcu/h,根据视频1可知当车辆排队长度达到120由于事故发生时车辆初始排队长度L00，米时车辆数约为24辆，因此当车辆排队长度为140米时，车辆数为28辆，此时Ls=28辆.题中假设路段下游方向需求不变，所以我们可以合理的认为横断面的实际通行能力为问题一的平均实际通行能力Qx=1152辆/小时 综上述可以求出t
6、模型的评价及进一步探讨
Ls290s
qQx6.1 模型的评价
（1）模型一通过视频一提供的信息，统计分析了交通事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际交通能力的变化过程为上下波动过程，并利用MATLAB软件绘制了实际通行能力随时间变化的折线图，变化过程清晰易懂。
（2）将视频一，二的变化放入同一个图中进行比较，可以清楚的看出不同车道对同一横断面实际交通能力的差异。
（3）模型三通过合理假设，利用标准车的数量求车辆排队长度，减小了动态条件下的随机误差。
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（4）模型三同样适用于银行、医院、ATM、火车售票、游乐场、飞机降落等实际问题。
6.2 模型的进一步探讨
模型三利用车辆数的变化讨论排队长度与事故横断面实际交通能力、事故持续时间、路段上游车流量的关系，同样我们也可以通过多次描点(t,Nn,(q,Nn, (Qx,Nn找到实际通行能力，事故持续时间，上游车流量三者对排队长度的影响趋势，然后用数学软件进行描点分析，找到他们之间的具体关系。模型如下：
N1N0(qQx*t1; N2N0(qQx*t2； N3N2(qQx*t3;

NiNi2(qQx*ti;

Nn1Nn2(qQx*tn1; NnNn1(qQx*tn; 由视频1可以得
N018;
Qx=[10 11 10 9 9 7 8 10 8 6 9 11 9 10 13 10 11 9 9 10 10 9 11 11 10 10];
q=[13 1 10 3 13 1 9 2 16 3 17 1 18 1 21 0 25 2 24 1 22 0 14 0 13 0];
由公式可得：
N=[21 11 11 5 9 3 4 0 8 5 13 3 12 3 11 1 16 8 23 14 26 17 20 9 12 2];
然后根据以上数据进行描点分析，可得实际通行能力，事故持续时间，上游车流量三者对排队长度的关系。

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参考文献

[1] 赵静等. 数学建模与数学实验. 北京：高等教育出版社，2008. [2] 陈东彦等. 数学建模. 北京：科学出版社， 2007. [3] 韩中庚等. 数学建模竞赛：获奖论文精选与点评.北京：科学出版社，2007. [4] 杨开春等. 城市道路交叉口通行能力的分析与应用.西安：西安文理学院学报，2005.

附 录
附录1 视频1示意图程序
x1=[1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29]; y1=[11 10 11 10 9 7 8 10 8 6 9 11 9 10 10 11 9 9 10 10 9 9 11 11 10 10 11]; y1=(y1./30.*3600; plot(x1,y1,'+',x1,y1,'r' xlabel('时间段i(每30秒为一时间段）'; ylabel('实际通行能力,辆/每小时'; title('视频一示意图'
附录2 视频二示意图程序
x2=1:1:29; y2=[22 24 20 22 23 21 22 23 28 18 18 20 17 21 19 22 22 21 19 21 25 22 24 20 17 22 21 21 23]; y2=y2.*3600./30; plot(x2,y2,'+',x2,y2,'r' xlabel('时间段i(每30s为一时间段）'; ylabel('实际通行能力,辆每小时'; title('视频二示意图'
附录3 视频一、二综合示意图程序
plot(x1,y1,'*',x1,y1,'c',x2,y2,'+',x2,y2,'r' xlabel('时间段i(每30秒为一时间段） 红色+代表视频二，蓝绿色*代表视频一'; ylabel('实际通行能力,辆/每小时'; title('视频一，二综合示意图'

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