河南省南阳市宛城区八年级（上）期中数学试卷

一、选择题

1．下列说法正确的是（　　）

A．1的立方根是﹣1 B． =±2

C．的平方根是3 D．0的平方根是0

2．下列运算正确的是（　　）

A．a2•a3=a6 B．（a3）3=a9 C．（2a2）2=2a4 D．a8÷a2=a4

3．在实数，0，，，0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），，中无理数有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

4．若改动多项式3a2+12ab+b2中某一项，使它变成完全平方式，则改动的方法是（　　）

A．只能改动第一项 B．只能改动第二项

C．只能改动第三项 D．可以改动三项中任意一项

5．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（　　）

A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1

6．下列命题不正确的是（　　）

A．立方根等于它本身的实数是0和±1

B．所有无理数的绝对值都是正数

C．等腰三角形的两边长是6和9，则它的周长是21或24

D．腰长相等，且有一个角是45°的两个等腰三角形全等

7．如图所示，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△APR≌△QPS中（　　）

A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确

8．如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正方形ABCD，点P沿直线AB从右向左移动，当出现：点P与正方形四个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有（　　）

A．7个 B．8个 C．9个 D．10个

二、填空题

9．1的算术平方根是　 　，﹣=　 　．

10．把命题“垂直于同一条直线的两直线平行”，改写成“如果…，那么…”的形式：　 　．

11．若与互为相反数，则x+y的平方根是　 　．

12．已知﹣5x2与一个整式的积是25x2+15x3y﹣20x4，则这个整式是　 　．

13．计算：（）2014×1.52013÷（﹣1）2014=　 　．

14．已知5+小数部分为m，11﹣为小数部分为n，则m+n=　 　．

15．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于点F，若△AEF的周长为16，则AB+AC的值为　 　．

16．32x=2，3y=5，则求34x﹣2y=　 　．

17．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=　 　．

18．如图所示，点B、C、E在同一直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列所有正确的结论序号为　 　

①△ACE≌△BCD，②BG=AF，③△DCG≌△ECF，④△ADB≌△CEA，⑤DE=DG，⑥∠AOB=60°．

三、解答题

19．把下列多项式分解因式

（1）2xy2﹣8x

（2）4a2﹣3b（4a﹣3b）

20．计算或化简

（1）（﹣a2b）3÷（﹣a2b）2×a3b2

（2）（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）×（232+1）

21．先化简再求值，（ab+1）（ab﹣2）+（a﹣2b）2+（a+2b）（﹣2b﹣a），其中a=，b=﹣．

22．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=17，ab=60，求阴影部分的面积．

23．阅读下列文字与例题

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．

例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n）

（2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1）=x2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x﹣y﹣1）

参考上面的方法解决下列问题：

（1）a2+2ab+ac+bc+b2=　 　；

（2）△ABC三边a、b、c满足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判断△ABC的形状．

24．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；

（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．

25．将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC=∠B1A1C=30°）按图1的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直线顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图2所示的位置，AB与A1C、A1B1交于点D、E，AC与A1B1交于点F．

（1）求证：BD=B1F；

（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直吗？并说明理由；

（3）根据图1直接判断命题“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的真假　 　（填真命题或假命题）；将图2中三角板ABC绕点C顺时针旋转至图3的位置，当AB∥CB1时，请直接写出A1D与CD的数量关系：　 　

参考答案与试题解析

一、选择题

1．下列说法正确的是（　　）

A．1的立方根是﹣1 B． =±2

C．的平方根是3 D．0的平方根是0

【解答】解：A、1的立方根是1，故选项错误；

B、=2，故选项错误；

C、=9，9的平方根是±3，故选项错误；

D、0的平方根是0，故选项正确．

故选：D．

2．下列运算正确的是（　　）

A．a2•a3=a6 B．（a3）3=a9 C．（2a2）2=2a4 D．a8÷a2=a4

【解答】解：A、应为a2•a3=a5，故本选项错误；

B、（a3）3=a9，正确；

C、应为（2a2）2=4a4，故本选项错误；

D、应为a8÷a2=a6，故本选项错误．

故选：B．

3．在实数，0，，，0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），，中无理数有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【解答】解： =0.5， =2，

无理数有：，0.1010010001…，，共3个．

故选：B．

4．若改动多项式3a2+12ab+b2中某一项，使它变成完全平方式，则改动的方法是（　　）

A．只能改动第一项 B．只能改动第二项

C．只能改动第三项 D．可以改动三项中任意一项

【解答】解：若改动多项式3a2+12ab+b2中某一项，使它变成完全平方式，则改动的方法是只能改动第三项，

故选：C．

5．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（　　）

A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1

【解答】解：A、x2﹣1=（x+1）（x﹣1），故A选项不合题意；

B、x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（x﹣1），故B选项不合题意；

C、x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故C选项不合题意；

D、x2+2x+1=（x+1）2，故D选项符合题意．

故选：D．

6．下列命题不正确的是（　　）

A．立方根等于它本身的实数是0和±1

B．所有无理数的绝对值都是正数

C．等腰三角形的两边长是6和9，则它的周长是21或24

D．腰长相等，且有一个角是45°的两个等腰三角形全等

【解答】解：A、立方根等于它本身的实数是0和±1，所以A选项为真命题；

B、所有无理数的绝对值都是正数，所以B选项为真命题；

C、等腰三角形的两边长是6和9，则它的周长是21或24，所以C选项为真命题；

D、腰长相等，且有一个角是45°的两个等腰三角形不一定全等，所以D选项为假命题．

故选：D．

7．如图所示，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△APR≌△QPS中（　　）

A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确

【解答】解：如图，

在Rt△APR和Rt△APS中，

，

∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），

∴AR=AS，①③正确；

∠BAP=∠PAS，

∵AQ=PQ，

∴∠PAQ=∠APQ，

∴∠BAP=∠APQ，

∴QP∥AB，②正确，

故选：A．

8．如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正方形ABCD，点P沿直线AB从右向左移动，当出现：点P与正方形四个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有（　　）

A．7个 B．8个 C．9个 D．10个

【解答】解：当BC=BP时，△BCP为等腰三角形；

当P与B重合时，△APC为等腰三角形；

当P运动到AB边的中点时，PD=PC，此时△PCD为等腰三角形；

当P与A重合时，△PBD为等腰三角形；

当PA=AD时，△PAD为等腰三角形；

当AP=AC时，△APC是等腰三角形，这时有2个；

当BD=BP时，△BDP 是等腰三角形，这时有2个；

综上，直线AB上会发出警报的点P有9个．

故选：C．

二、填空题

9．1的算术平方根是　　，﹣=　　．

【解答】解：1的算术平方根是，﹣=﹣=．

故答案为：，．

10．把命题“垂直于同一条直线的两直线平行”，改写成“如果…，那么…”的形式：　如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行　．

【解答】解：把命题“垂直于同一条直线的两直线平行”，改写成“如果…，那么…”的形式：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．

11．若与互为相反数，则x+y的平方根是　±1　．

【解答】解：∵与互为相反数，

∴3x﹣7+3y+4=0，

3x+3y=3，

x+y=1，

即x+y的平方根是±1，

故答案为：±1．

12．已知﹣5x2与一个整式的积是25x2+15x3y﹣20x4，则这个整式是　﹣5﹣3xy+4x2　．

【解答】解：∵﹣5x2与一个整式的积是25x2+15x3y﹣20x4，

∴（25x2+15x3y﹣20x4）÷（﹣5x2）

=﹣5﹣3xy+4x2．

故答案为：﹣5﹣3xy+4x2．

13．计算：（）2014×1.52013÷（﹣1）2014=　　．

【解答】解：（）2014×1.52013÷（﹣1）2014

=（×）2013×÷1

=1×÷1

=，

故答案为：．

14．已知5+小数部分为m，11﹣为小数部分为n，则m+n=　1　．

【解答】解：∵4＜7＜9，

∴2＜＜3，

∴7＜5+＜8，8＜11﹣＜9，

∴m=5+﹣7=﹣2，n=11﹣﹣8=3﹣，

∴m+n=﹣2+3﹣=1．

故答案为：1．

15．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于点F，若△AEF的周长为16，则AB+AC的值为　16　．

【解答】解：∵EF∥BC，

∴∠BOE=∠OBC，∠COF=∠OCB，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，

∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，

∴∠EBO=∠BOE，∠FCO=∠COF，

∴BE=OE，CF=OF，

∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC，

∵△AEF的周长为16，

∴AB+BC=16，

故答案为16．

16．32x=2，3y=5，则求34x﹣2y=　　．

【解答】解：原式=

=，

当32x=2，3y=5时，原式==．

故答案为：．

17．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=　55°　．

【解答】解：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，

∴∠1=∠EAC，

在△BAD和△CAE中，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠2=∠ABD=30°，

∵∠1=25°，

∴∠3=∠1+∠ABD=25°+30°=55°，

故答案为：55°．

18．如图所示，点B、C、E在同一直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列所有正确的结论序号为　①②③⑥　

①△ACE≌△BCD，②BG=AF，③△DCG≌△ECF，④△ADB≌△CEA，⑤DE=DG，⑥∠AOB=60°．

【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，

∴∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD，

即∠BCD=∠ACE，

∴在△BCD和△ACE中

，

故①成立；

∴∠DBC=∠CAE，

∵∠BCA=∠ECD=60°，

∴∠ACD=60°，

在△BGC和△AFC中

，

∴△BGC≌△AFC，

∴BG=AF．

故②成立；

∵△BCD≌△ACE，

∴∠CDB=∠CEA，

在△DCG和△ECF中

，

∴△DCG≌△ECF，

故③成立；

∵△BCD≌△ACE，

∴∠CDB=∠CEA，

∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴∠BCA=∠ECD=60°，

∴∠ACD=60°，

∴∠BCD=120°，

∴∠DBC+∠BDC=60°，

∴∠DBC+∠AEC=60°．

∵∠AOB=∠DBC+∠AEC，

∴∠AOB=60°．

故⑥成立；

在△ADB和△CEA中，只有AB=AC，BD=AE，两边对应相等不能得到两三角形全等；故④不成立；

若DE=DG，则DC=DG，

∵∠ACD=60°，

∴△DCG为等边三角形，故⑤不成立．

∴正确的有①②③⑥．

故答案为①②③⑥．

三、解答题

19．把下列多项式分解因式

（1）2xy2﹣8x

（2）4a2﹣3b（4a﹣3b）

【解答】解：（1）原式=2x（y2﹣4）=2x（y+2）（y﹣2）；

（2）原式=4a2﹣12ab+9b2=（2a﹣3b）2．

20．计算或化简

（1）（﹣a2b）3÷（﹣a2b）2×a3b2

（2）（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）×（232+1）

【解答】解：（1）（﹣a2b）3÷（﹣a2b）2×a3b2

=﹣a6b3÷a4b2×a3b2

=﹣a2b×a3b2

=﹣2a5b3

（2）（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）×（232+1）

=（2﹣1）（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）×（232+1）

=（22﹣1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）×（232+1）

=（24﹣1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）×（232+1）

=（28﹣1）×（28+1）×（216+1）×（232+1）

=（216﹣1）×（216+1）×（232+1）

=（232﹣1）×（232+1）

=264﹣1

21．先化简再求值，（ab+1）（ab﹣2）+（a﹣2b）2+（a+2b）（﹣2b﹣a），其中a=，b=﹣．

【解答】解：原式=a2b2﹣ab﹣2+a2+4b2﹣4ab﹣2ab﹣a2﹣4b2﹣2ab，

=a2b2﹣9ab﹣2，

当a=，b=﹣时，

原式=×+9××﹣2=+﹣2=﹣2=．

22．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=17，ab=60，求阴影部分的面积．

【解答】解：∵a+b=17，ab=60，

∴S阴影=S正方形ABCD+S正方形EFGC﹣S△ABD﹣S△BGF

=a2+b2﹣a2﹣（a+b）•b=a2+b2﹣a2﹣ab﹣b2=a2+b2﹣ab

=（a2+b2﹣ab）= [（a+b）2﹣3ab]=×（172﹣3×60）=．

23．阅读下列文字与例题

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．

例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n）

（2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1）=x2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x﹣y﹣1）

参考上面的方法解决下列问题：

（1）a2+2ab+ac+bc+b2=　（a+b）（a+b+c）　；

（2）△ABC三边a、b、c满足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判断△ABC的形状．

【解答】解：（1）原式=（a+b）2+c（a+b）=（a+b）（a+b+c）；

故答案为：（a+b）（a+b+c）；

（2）a2﹣ab﹣ac+bc=0，

整理得：a（a﹣b）﹣c（a﹣b）=0，即（a﹣b）（a﹣c）=0，

解得：a=b或a=c，

则△ABC为等腰三角形．

24．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；

（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．

【解答】（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，

∠ACB=90°，

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CAD=∠CBD=45°，

∴∠CAE=∠BCG，

又∵BF⊥CE，

∴∠CBG+∠BCF=90°，

又∵∠ACE+∠BCF=90°，

∴∠ACE=∠CBG，

在△AEC和△CGB中，

∴△AEC≌△CGB（ASA），

∴AE=CG，

（2）解：BE=CM．

证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，

∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，

∴∠CMA=∠BEC，

又∵∠ACM=∠CBE=45°，

在△BCE和△CAM中，，

∴△BCE≌△CAM（AAS），

∴BE=CM．

25．将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC=∠B1A1C=30°）按图1的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直线顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图2所示的位置，AB与A1C、A1B1交于点D、E，AC与A1B1交于点F．

（1）求证：BD=B1F；

（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直吗？并说明理由；

（3）根据图1直接判断命题“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的真假　真命题　（填真命题或假命题）；将图2中三角板ABC绕点C顺时针旋转至图3的位置，当AB∥CB1时，请直接写出A1D与CD的数量关系：　A1D=CD　

【解答】解：（1）由题意知，BC=BC1，∠B=∠B1，∠ACB=∠A1CB1=90°，

由旋转知，∠A1CB=∠ACB1，

在△BCD和△B1CF中，，

∴△BCD≌△B1CF，

∴BD=B1F；

（2）AB与A1B1垂直，

理由：∵旋转角为30°，

∴∠ACA1=30°，

∴∠B1CF=90°﹣30°=60°，

∵∠B1=60°，

∴∠B1FC=180°﹣∠B1﹣∠ACB1=60°，

∴∠AFE=60°，

∵∠A=30°，

∴∠AEF=180°﹣∠A﹣∠AFE=90°，

∴AB⊥A1B1；

（3）由题意知，∠BAC=∠B1AC=30°，∠B=∠B1，

∴△ABA1是等边三角形，

∴BB1=AB，

∵BB1=BC+B1C=2BC，

∴BC=AB，

∴直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，

故答案为：真命题；

∵AB∥CB1，

∴∠ACB1=∠A=30°，

∴∠ACD=90°﹣30°=60°，

∴∠ADC=180°﹣∠A﹣∠ACD=90°，

在Rt△ACD中，∠A=30°，

∴CD=AC（直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半），

∵AC=A1C，

∴CD=A1C，

∵A1D+CD=A1C，

∴A1D=CD，

故答案为：A1D=CD．

南阳市宛城区八年级上期中数学试卷（有答案）