圆锥曲线

（一）选择题

1.（07山东卷(10)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为

（A） (B) (C) (D)

答案：A

2.(2009山东卷理)设双曲线word/media/image6_1.png的一条渐近线与抛物线y=xword/media/image7_1.png+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).

A. word/media/image9_1.png B. 5 C. word/media/image10_1.png D.word/media/image11_1.png

【解析】:双曲线word/media/image6_1.png的一条渐近线为word/media/image12_1.png,由方程组word/media/image13_1.png,消去y,得word/media/image14_1.png有唯一解,所以△=word/media/image15_1.png,

所以word/media/image16_1.png,word/media/image17_1.png,故选D.

答案:D.

【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.

3.(2009山东卷文)设斜率为2的直线word/media/image20_1.png过抛物线word/media/image21_1.png的焦点F,且和word/media/image22_1.png轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).

A.word/media/image23_1.png B.word/media/image24_1.png C. word/media/image25_1.png D. word/media/image26_1.png

【解析】: 抛物线word/media/image21_1.png的焦点F坐标为word/media/image27_1.png,则直线word/media/image20_1.png的方程为word/media/image28_1.png,它与word/media/image22_1.png轴的交点为Aword/media/image29_1.png,所以△OAF的面积为word/media/image30_1.png,解得word/media/image31_1.png.所以抛物线方程为word/media/image24_1.png,故选B.

答案:B.

【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数word/media/image32_1.png的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.

4、（2010山东文数）（9）已知抛物线word/media/image33_1.png，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与word/media/image34_1.png、word/media/image35_1.png两点，若线段word/media/image36_1.png的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为

（A）word/media/image37_1.png (B)word/media/image38_1.png

(C)word/media/image39_1.png (D)word/media/image40_1.png

答案：B

5、（2010山东理数）(7)由曲线y=word/media/image41_1.png,y=word/media/image42_1.png围成的封闭图形面积为

（A）word/media/image43_1.png (B) word/media/image44_1.png (C) word/media/image45_1.png (D) word/media/image46_1.png

【答案】A

【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为word/media/image47_1.pngword/media/image48_1.png,故选A。

【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。

6、（2011山东理数8）已知双曲线word/media/image49_1.png的两条渐近线均和圆C:word/media/image50_1.png相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为

A．word/media/image51_1.png B．word/media/image52_1.png C．word/media/image53_1.png D．word/media/image54_1.png

答案：A

7、（2011山东文数9）9．设M（word/media/image55_1.png，word/media/image56_1.png）为抛物线C：word/media/image57_1.png上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、word/media/image58_1.png为半径的圆和抛物线C的准线相交，则word/media/image56_1.png的取值范围是

A．（0，2） B．[0，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）

答案：C

8、(2012山东卷文(11))已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为D

(A)　(B)　　(C)　　(D)

9、（2013数学理）11．已知抛物线： 的焦点与双曲线：的右焦点的连线交于第一象限的点。若在点处的切线平行于的一条渐近线，则

（A） （B） （C） （D）

答案：11．D

10、（2013山东理）12．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为

（A）0 （B）1 （C） （D）3

答案：12．B

11、（2013山东数学文）(11)、抛物线word/media/image84_1.png的焦点与双曲线word/media/image85_1.png的右焦点的连线交word/media/image86_1.png于第一象限的点M，若word/media/image87_1.png在点M处的切线平行于word/media/image88_1.png的一条渐近线，则word/media/image89_1.png=

(A)word/media/image90_1.png (B)word/media/image91_1.png (C)word/media/image92_1.png (D) word/media/image93_1.png

答案：D

12(2013山东数学文)(12)、设正实数word/media/image94_1.png满足word/media/image95_1.png，则当word/media/image96_1.png取得最大值时，word/media/image97_1.png的最大值为

(A)0 (B)word/media/image98_1.png (C)2 (D)word/media/image99_1.png

答案：C

（二）填空题

1、（07山东理）（13）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为 ．

答案：

2、（2011山东文数15）已知双曲线word/media/image49_1.png和椭圆word/media/image109_1.png有相同的

焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程

为 ．

答案：

（三）解答题

1、（07山东理）（21）（本小题满分12分）

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为

，

(II)设，由得

，

，.

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，

，，

，

，解得

，且满足.

当时，，直线过定点与已知矛盾；

当时，，直线过定点

综上可知，直线过定点，定点坐标为

2、（08山东文）22．（本小题满分14分）

已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．

（1）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；

（2）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．

解：（Ⅰ）由题意得

又，

解得，．

因此所求椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）（1）假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为，

．

解方程组得，，

所以．

设，由题意知，

所以，即，

因为是的垂直平分线，

所以直线的方程为，

即，

因此，

又，

所以，

故．

又当或不存在时，上式仍然成立．

综上所述，的轨迹方程为．

（2）当存在且时，由（1）得，，

由解得，，

所以，，．

解法一：由于

，

当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是．

当，．

当不存在时，．

综上所述，的面积的最小值为．

解法二：因为，

又，，

当且仅当时等号成立，即时等号成立，

此时面积的最小值是．

当，．

当不存在时，．

综上所述，的面积的最小值为．

3.（08山东卷22) (本小题满分14分)

如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.

（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程；

（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

（Ⅰ）证明：由题意设

由得，则

所以

因此直线MA的方程为

　　　　　　　　直线MB的方程为

所以 ①

②

由①、②得　　

因此　，即

所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时，

将其代入①、②并整理得：

　　　　　所以　x1、x2是方程的两根，

因此

又

所以

由弦长公式得

　　　　又，

所以p=1或p=2，

因此所求抛物线方程为或

（Ⅲ）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2),

则CD的中点坐标为

　设直线AB的方程为

　由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，

　代入得

　若D（x3,y3）在抛物线上，则

　因此　x3=0或x3=2x0.

即D(0，0)或

（1）当x0=0时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意.

（2）当，对于D(0，0)，此时

　　又AB⊥CD，

所以

即矛盾.

对于因为此时直线CD平行于y轴，

又

所以　　直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，

所以时，不存在符合题意的M点.

综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.

4.(2009山东卷理)（本小题满分14分）

设椭圆E: word/media/image238_1.png（a,b>0）过M（2，word/media/image239_1.png） ，N(word/media/image240_1.png,1)两点，O为坐标原点，

（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且word/media/image241_1.png？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

解:（1）因为椭圆E: word/media/image238_1.png（a,b>0）过M（2，word/media/image239_1.png） ，N(word/media/image240_1.png,1)两点,

所以word/media/image242_1.png解得word/media/image243_1.png所以word/media/image244_1.png椭圆E的方程为word/media/image245_1.png

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且word/media/image241_1.png,设该圆的切线方程为word/media/image246_1.png解方程组word/media/image247_1.png得word/media/image248_1.png,即word/media/image249_1.png,

则△=word/media/image250_1.png,即word/media/image251_1.png

word/media/image252_1.png,word/media/image253_1.png要使word/media/image241_1.png,需使word/media/image254_1.png,即word/media/image255_1.png,所以word/media/image256_1.png,所以word/media/image257_1.png又word/media/image251_1.png,所以word/media/image258_1.png,所以word/media/image259_1.png,即word/media/image260_1.png或word/media/image261_1.png,因为直线word/media/image246_1.png为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为word/media/image262_1.png,word/media/image263_1.png,word/media/image264_1.png,所求的圆为word/media/image265_1.png,此时圆的切线word/media/image246_1.png都满足word/media/image260_1.png或word/media/image261_1.png,而当切线的斜率不存在时切线为word/media/image266_1.png与椭圆word/media/image245_1.png的两个交点为word/media/image267_1.png或word/media/image268_1.png满足word/media/image241_1.png,综上, 存在圆心在原点的圆word/media/image265_1.png，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且word/media/image241_1.png.

因为word/media/image252_1.png,

所以word/media/image269_1.png,

word/media/image270_1.png

word/media/image271_1.png,

①当word/media/image272_1.png时word/media/image273_1.png

因为word/media/image274_1.png所以word/media/image275_1.png,

所以word/media/image276_1.png,

所以word/media/image277_1.png当且仅当word/media/image278_1.png时取”=”.

2 当word/media/image279_1.png时,word/media/image280_1.png.

3 当AB的斜率不存在时, 两个交点为word/media/image267_1.png或word/media/image268_1.png,所以此时word/media/image281_1.png,

综上, |AB |的取值范围为word/media/image282_1.png即: word/media/image283_1.png

【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.

5. (2009山东卷文)（本小题满分14分）

设word/media/image284_1.png,在平面直角坐标系中,已知向量word/media/image285_1.png,向量word/media/image286_1.png,word/media/image287_1.png,动点word/media/image288_1.png的轨迹为E.

（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

（2）已知word/media/image289_1.png,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且word/media/image290_1.png(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

(3)已知word/media/image289_1.png,设直线word/media/image291_1.png与圆C:word/media/image292_1.png(1相切于A1,且word/media/image291_1.png与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.

解:（1）因为word/media/image287_1.png,word/media/image285_1.png,word/media/image286_1.png,

所以word/media/image293_1.png, 即word/media/image294_1.png.

当m=0时,方程表示两直线,方程为word/media/image295_1.png;

当word/media/image296_1.png时, 方程表示的是圆

当word/media/image297_1.png且word/media/image298_1.png时,方程表示的是椭圆;

当word/media/image299_1.png时,方程表示的是双曲线.

(2).当word/media/image289_1.png时, 轨迹E的方程为word/media/image300_1.png,设圆心在原点的圆的一条切线为word/media/image301_1.png,解方程组word/media/image302_1.png得word/media/image303_1.png,即word/media/image304_1.png,

要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=word/media/image305_1.png,

即word/media/image306_1.png,即word/media/image307_1.png, 且word/media/image308_1.png

word/media/image309_1.png,

要使word/media/image241_1.png, 需使word/media/image254_1.png,即word/media/image310_1.png,

所以word/media/image311_1.png, 即word/media/image312_1.png且word/media/image307_1.png, 即word/media/image313_1.png恒成立.

所以又因为直线word/media/image314_1.png为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为word/media/image315_1.png,word/media/image316_1.png, 所求的圆为word/media/image317_1.png.

当切线的斜率不存在时,切线为word/media/image318_1.png,与word/media/image300_1.png交于点word/media/image319_1.png或word/media/image320_1.png也满足word/media/image290_1.png.

综上, 存在圆心在原点的圆word/media/image317_1.png，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且word/media/image241_1.png.

(3)当word/media/image289_1.png时,轨迹E的方程为word/media/image300_1.png,设直线word/media/image291_1.png的方程为word/media/image321_1.png,因为直线word/media/image291_1.png与圆C:word/media/image292_1.png(1相切于A1, 由（2）知word/media/image322_1.png, 即word/media/image323_1.png ①,

因为word/media/image291_1.png与轨迹E只有一个公共点B1,

由（2）知word/media/image324_1.png得word/media/image325_1.png,

即word/media/image326_1.png有唯一解

则△=word/media/image327_1.png, 即word/media/image328_1.png, ②

由①②得word/media/image329_1.png, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点,

由word/media/image308_1.png 中word/media/image330_1.png,所以,word/media/image331_1.png,

B1(x1,y1)点在椭圆上,所以word/media/image332_1.png,所以word/media/image333_1.png,

在直角三角形OA1B1中,word/media/image334_1.png因为word/media/image335_1.png当且仅当word/media/image336_1.png时取等号,所以word/media/image337_1.png,即

当word/media/image336_1.png时|A1B1|取得最大值,最大值为1.

【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.

6、（2010山东文数）（22）（本小题满分14分）

如图，已知椭圆word/media/image339_1.png过点.

word/media/image340_1.png，离心率为word/media/image341_1.png，左、右焦点分别为word/media/image342_1.png、

word/media/image343_1.png.点word/media/image344_1.png为直线word/media/image345_1.png上且不在word/media/image346_1.png轴上的任意

一点，直线word/media/image347_1.png和word/media/image348_1.png与椭圆的交点分别为word/media/image349_1.png、word/media/image350_1.png

和word/media/image351_1.png、word/media/image352_1.png，word/media/image353_1.png为坐标原点.

（I）求椭圆的标准方程；

（II）设直线word/media/image354_1.png、word/media/image355_1.png的斜线分别为word/media/image356_1.png、word/media/image357_1.png.

（i）证明：word/media/image358_1.png；

（ii）问直线word/media/image359_1.png上是否存在点word/media/image360_1.png，使得直线word/media/image361_1.png、word/media/image362_1.png、word/media/image363_1.png、word/media/image364_1.png的斜率word/media/image365_1.png、word/media/image366_1.png、word/media/image367_1.png、word/media/image368_1.png满足word/media/image369_1.png？若存在，求出所有满足条件的点word/media/image370_1.png的坐标；若不存在，说明理由.

7、（2010山东理数）（21）（本小题满分12分）

如图，已知椭圆word/media/image374_1.png的离心率为word/media/image375_1.png，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点word/media/image376_1.png为顶点的三角形的周长为word/media/image377_1.png.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设word/media/image378_1.png为该双曲线上异于顶点的任一点，直线word/media/image379_1.png和word/media/image380_1.png与椭圆的交点分别为word/media/image381_1.png和word/media/image382_1.png.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线word/media/image384_1.png、word/media/image385_1.png的斜率分别为word/media/image386_1.png、word/media/image387_1.png，证明word/media/image388_1.png；

（Ⅲ）是否存在常数word/media/image389_1.png，使得word/media/image390_1.png恒成立？若存在，求word/media/image389_1.png的值；若不存在，请说明理由.

【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为word/media/image391_1.pngword/media/image375_1.png，得word/media/image392_1.png，又word/media/image393_1.pngword/media/image377_1.png，所以可解得word/media/image394_1.png，word/media/image395_1.png，所以word/media/image396_1.png，所以椭圆的标准方程为word/media/image397_1.png；所以椭圆的焦点坐标为（word/media/image398_1.png，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为

word/media/image399_1.png。

【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，

8、（2011山东理数22）已知动直线word/media/image401_1.png与椭圆C: word/media/image402_1.png交于Pword/media/image403_1.png、Qword/media/image404_1.png两不同点，且△OPQ的面积word/media/image405_1.png=word/media/image406_1.png,其中O为坐标原点.

（Ⅰ）证明word/media/image407_1.png和word/media/image408_1.png均为定值;

（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求word/media/image409_1.png的最大值；

（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得word/media/image410_1.png?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.

答案：（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，

所以

因为在椭圆上，

因此 ①

又因为

所以 ②

由①、②得

此时

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为

由题意知m，将其代入，得

，

其中

即 …………（*）

又

所以

因为点O到直线的距离为

所以

又

整理得且符合（*）式，

此时

综上所述，结论成立。

（II）解法一：

（1）当直线的斜率存在时，

由（I）知

因此

（2）当直线的斜率存在时，由（I）知

所以

所以，当且仅当时，等号成立.

综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为

解法二：

因为

所以

即当且仅当时等号成立。

因此 |OM|·|PQ|的最大值为

（III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得

证明：假设存在，

由（I）得

因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，

而这三点的两两连线中必有一条过原点，

与矛盾，

所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.

9、（2011山东文数22）在平面直角坐标系word/media/image453_1.png中，已知椭圆word/media/image454_1.png．如图所示，斜率为word/media/image455_1.png且不过原点的直线word/media/image456_1.png交椭圆word/media/image457_1.png于word/media/image458_1.png，word/media/image459_1.png两点，线段word/media/image460_1.png的中点为word/media/image461_1.png，射线word/media/image462_1.png交椭圆word/media/image457_1.png于点word/media/image463_1.png，交直线word/media/image464_1.png于点word/media/image465_1.png．

（Ⅰ）求word/media/image466_1.png的最小值；

（Ⅱ）若word/media/image467_1.png∙word/media/image468_1.png，

（i）求证：直线word/media/image469_1.png过定点；

（ii）试问点word/media/image471_1.png，word/media/image472_1.png能否关于word/media/image473_1.png轴对称？若能，求出此时word/media/image474_1.png的外接圆方程；若不能，

请说明理由．

答案：（I）解：设直线，

由题意，

由方程组得

，

由题意，

所以

设，

由韦达定理得

所以

由于E为线段AB的中点，

因此

此时

所以OE所在直线方程为

又由题设知D（-3，m），

令x=-3，得，

即mk=1，

所以

当且仅当m=k=1时上式等号成立，

此时 由得

因此 当时，

取最小值2。

（II）（i）由（I）知OD所在直线的方程为

将其代入椭圆C的方程，并由

解得

又，

由距离公式及得

由

因此，直线的方程为

所以，直线

（ii）由（i）得

若B，G关于x轴对称，

则

代入

即，

解得（舍去）或

所以k=1，

此时关于x轴对称。

又由（I）得所以A（0，1）。

由于的外接圆的圆心在x轴上，可设的外接圆的圆心为（d，0），

因此

故的外接圆的半径为，

所以的外接圆方程为

10、(2012山东卷文(21)) (本小题满分13分)

如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.

(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；

(Ⅱ) 设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.

(21)(I)……①

矩形ABCD面积为8，即……②

由①②解得：，

∴椭圆M的标准方程是.

(II)，

设，则，

由得.

.

当过点时，，当过点时，.

①当时，有，

，

其中，由此知当，即时，取得最大值.

②由对称性，可知若，则当时，取得最大值.

③当时，，，

由此知，当时，取得最大值.

综上可知，当和0时，取得最大值.

11、（2013山东数学（理））22．(本小题满分13分) 椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值.

答案：22．解：（Ⅰ）由于，将代入椭圆方程得

由题意知，即 又

所以， 所以椭圆方程为

（Ⅱ）由题意可知： =,=,设其中，将向量坐标代入并化简得：m（，因为，

所以，而，所以

（3）由题意可知，l为椭圆的在p点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：

，所以，而，代入中得

为定值。

（7年真题推荐）山东省高考数学 真题分类汇编 圆锥曲线